河北省2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）③（含解析）

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一．一次函数综合题（共1小题）

1．（2023裕华区二模）如图，直线l1：y＝x+4与y轴，x轴交于点A，B，直线l2与y轴，x轴交于点A，C，OC＝2OA．

（1）求点A的坐标及直线l2的解析式；

（2）点在直线l3上，

①直接写出直线l3的解析式；

②若点D在△ABC内部（含边界），求m的取值范围；

③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线l3向上平移n个单位长度（n为整数），直线l3在第二象限恰有2023个整点，直接写出n的值．

二．二次函数综合题（共1小题）

2．（2023安次区二模）用绘图软件绘制抛物线m：y＝﹣x2﹣2x+3与动直线l：y＝a相交于两点，图1为a＝3时的视窗情形．

（1）求图1中A，B两交点之间的距离；

（2）如图2，将图1中的直线l绕点B旋转得到l'，且l'经过抛物线m与x轴的交点C，M为抛物线BC段上一动点，过点M作MN∥y轴与BC交于点N，求MN的最大值；

（3）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心（例如：将图1中坐标系的单位长度变为原来的2倍，如图3，其可视范围就由﹣6≤x≤6及﹣5≤y≤5变成了﹣12≤x≤12及﹣10≤y≤10）．若l与m的交点分别是点P和Q（4，a），为能看到抛物线m在点P，Q之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的k倍，求整数k的值．

三．三角形综合题（共2小题）

3．（2023武安市二模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB向点B运动，到点B停止．同时点Q从点A出发，沿AC﹣CB的线路向点B运动，在边AC上的速度为每秒个单位长度，在边BC上的速度为每秒2个单位长度，到B停止，以PQ为边向右或右下方构造等边△PQR，设P的运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）填空：BC＝，AC＝．

（2）当Q在AC上，R落在BC边上时，求t的值．

（3）连结BR．

①当Q在边AC上，BR与△ABC的一边垂直时，求△PQR的边长．

②当Q在边BC上且R不与点B重合时，判断BR的方向是否变化，若不变化，说明理由．

4．（2023滦州市二模）如图，AD是△ABC的高，BD＝3，AD＝DC＝4，P是边AB上一动点，过点P作BC的平行线l，交AD于点E，交AC于点F，Q是直线l上一动点，点P从点B出发，沿BA匀速运动，点Q从点P出发沿直线l向右匀速运动，当点P运动到点A时，P，Q同时停止．设点P与点Q在同一时刻开始运动，且运动速度相同，设点P的运动距离是x．

（1）在运动过程中，点P到BC的距离为（用含x的代数式表示）；

（2）求证：点Q在∠ABC的角平分线上；

（3）当直线l平分△ABC的面积时，求x的值；

（4）当点Q与点C之间的距离小于时，直接写出x的取值范围．

四．四边形综合题（共1小题）

5．（2023藁城区二模）如图，在△ACD中，AB为CD边上的中线，点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AC向终点C运动．同时点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA向终点A运动，连接EF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，以EF、FG为边作正方形EFGH．设点E运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）AB的长为；

（2）求点E到AB的距离；（用含t的代数式表示）

（3）当点G落在AB上时，求EF的长；

（4）连结FH．当FH与AC平行或垂直时，直接写出t的值．

五．圆的综合题（共3小题）

6．（2023丰润区二模）如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝10，，点P是射线AB上一点，连接PQ，⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC相交于另一点D．

（1）PQ的最小值是，当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径：

（2）分别求出AP＝4与AP＝12时，圆心O到直线AB的距离；

（3）直接写出当⊙O与线段AQ只有一个公共点时，AP的取值范围．

7．（2023路北区二模）如图1，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4．点P为射线AB上一动点，在射线DA上取一点E，连接DP，EP，使∠DPE＝60°．作△APE的外接圆，设圆心为O．

（1）当圆心O在AB上时，AE＝；

（2）当点E在边AD上时，

①判断⊙O与DP的位置关系，并证明；

②当AP为何值时，AE有最大值？并求出最大值；

（3）如图2，连接AC，若PE∥AC，则AP＝；将优弧PE沿PE翻折交射线AC于点Q，则PQ的弧长＝．

8．（2023安次区二模）已知如图，△ABC是腰长为4的等腰直角三角形，∠ABC＝90°，以A为圆心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点M、N．点E是半圆A上任意一点，连接BE，把BE绕点B顺时针旋转90°到BD的位置，连接ED、CD．

（1）求证：△EBA≌△DBC；

（2）当BE与半圆A相切时，求弧EM的长；

（3）直接写出△BCD面积的最大值．

六．几何变换综合题（共1小题）

9．（2023清苑区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC上一点，点E在AB边上，连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F．

（1）如图1，当D为BC的中点时，求证：AE＝CF．

（2）如图2，在（1）的条件下，过点A作AG∥DE交BC于点G，点M在AB边上，连接CM交AG于点N，交DE于点H，且MA＝MN．

①猜想NH和CF的数量关系，并说明理由．

②求证：CN＝AF﹣CF．

（3）如图3，若AB＝6，DE⊥AB，P为点B关于DE的对称点（点B，P不重合），连接PD，PF，当△DPF为直角三角形时，直接写出BD的值．

七．相似形综合题（共1小题）

10．（2023安次区二模）在△ABC中，AB＝AC＝8，．点D在线段BC上运动（不与点B、C重合）．如图1，连接AD，作∠ADE＝∠B，DE与AC交于点E．

（1）求证：△ABD∽△DCE．

（2）若∠B＝40°，当∠ADB为多少度时，△ADE是等腰三角形？

（3）如图2，当点D运动到BC中点时，点F在BA的延长线上，连接FD，∠FDE＝∠B，点E在线段AC上，连接EF．

①△BDF与△DFE是否相似？请说明理由．

②设EF＝x，△EDF的面积为S，试用含x的代数式表示S．

河北省2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）③

参考答案与试题解析

一．一次函数综合题（共1小题）

1．（2023裕华区二模）如图，直线l1：y＝x+4与y轴，x轴交于点A，B，直线l2与y轴，x轴交于点A，C，OC＝2OA．

（1）求点A的坐标及直线l2的解析式；

（2）点在直线l3上，

①直接写出直线l3的解析式；

②若点D在△ABC内部（含边界），求m的取值范围；

③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线l3向上平移n个单位长度（n为整数），直线l3在第二象限恰有2023个整点，直接写出n的值．

【答案】（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+4；

（2）①m的取值范围是﹣3≤m≤；

②n的值为2023．

【解答】解：（1）∵在y＝x+4中，令x＝0得y＝4，

∴点A的坐标为（0，4），

∴OA＝4，

∵OC＝2OA，

∴OC＝8，

∴C（8，0），

设直线I2的解析式为y＝kx+4，

将C（8，0）代入y＝kx+4得：8k+4＝0，

解得k＝﹣，

∴直线I2的解析式为y＝﹣x+4；

（2）①由在直线l3上，设x＝m，y＝m+，

∴y＝x+，

∴直线l3的解析式为：y＝x+；

②当m≤0时，D（m，m+）在直线y＝x+4下方且在x轴上方（包括边界），

∴0≤m+≤m+4，

解得m≥﹣3，

∴﹣3≤m≤0；

当m＞0时，同理可得；

0≤m+≤﹣m+4，

解得：﹣5≤m≤，

∴0＜m≤；

综上所述，m的取值范围是﹣3≤m≤；

③将直线y＝x+向上平移n个单位长度所得直线解析式为y＝x++n，

在y＝x++n中，令y＝0得x＝﹣5﹣2n，

∴平移后的直线与x轴交点为（﹣5﹣2n，0），

由平移后的直线y＝x++n在第二象限恰有2023个整点知，在第二象限，直线y＝x++n上的点的横坐标有2023个奇数，

∴﹣2024×2+1≤﹣5﹣2n＜﹣2023×2+1，

解得2023＜n≤2023，

∵n为整数，

∴n的值为2023．

二．二次函数综合题（共1小题）

2．（2023安次区二模）用绘图软件绘制抛物线m：y＝﹣x2﹣2x+3与动直线l：y＝a相交于两点，图1为a＝3时的视窗情形．

（1）求图1中A，B两交点之间的距离；

（2）如图2，将图1中的直线l绕点B旋转得到l'，且l'经过抛物线m与x轴的交点C，M为抛物线BC段上一动点，过点M作MN∥y轴与BC交于点N，求MN的最大值；

（3）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心（例如：将图1中坐标系的单位长度变为原来的2倍，如图3，其可视范围就由﹣6≤x≤6及﹣5≤y≤5变成了﹣12≤x≤12及﹣10≤y≤10）．若l与m的交点分别是点P和Q（4，a），为能看到抛物线m在点P，Q之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的k倍，求整数k的值．

【答案】（1）AB＝2；

（2）当时，MN的最大值为；

（3）5．

【解答】解：（1）将y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3中，

得3＝﹣x2﹣2x+3，

解得：x1＝﹣2，x2＝0，

∴点A（﹣2，3），点B（0，3），

∴AB＝2．

（2）将y＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3中，得：0＝﹣x2﹣2x+3，

解得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴点C（﹣3，0）．

设直线BC为y＝kx+n，

∴，

解得：，

∴直线l'的解析式为y＝x+3．

设点M坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则点N坐标为（t，t+3），且﹣3≤t≤0，

则，

∴当时，MN的最大值为．

（3）将x＝4代入到y＝﹣x2﹣2x+3中，得y＝﹣21，

∴Q（4，﹣21）．

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，

∴抛物线m的对称轴为直线x＝﹣1．

∵点P与点Q关于x＝﹣1对称，

∴P（﹣6，﹣21）．

通过P，Q两点坐标可知，若能看到m在点P，Q之间的一整段图象，应使视窗下边缘在P，Q两点下方，视窗左右边缘没有影响，

∴﹣5k≤﹣21，解得k≥4.2，

故最小整数k的值为5．

三．三角形综合题（共2小题）

3．（2023武安市二模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝2，点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB向点B运动，到点B停止．同时点Q从点A出发，沿AC﹣CB的线路向点B运动，在边AC上的速度为每秒个单位长度，在边BC上的速度为每秒2个单位长度，到B停止，以PQ为边向右或右下方构造等边△PQR，设P的运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）填空：BC＝1，AC＝．

（2）当Q在AC上，R落在BC边上时，求t的值．

（3）连结BR．

①当Q在边AC上，BR与△ABC的一边垂直时，求△PQR的边长．

②当Q在边BC上且R不与点B重合时，判断BR的方向是否变化，若不变化，说明理由．

【答案】（1）1，；

（2）t＝．

（3）BR的方向不变．证明见解析部分．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，

∴BC＝AB＝1，AC＝BC＝，

故答案为：1，；

（2）如图1中，

∵AQ＝t，AP＝t，

∴＝＝，

∴＝，

∵∠A＝∠A，

∴△PAQ∽△CAB，

∴∠APQ＝∠C＝90°，

当点R落在BC上时，PQ＝QR＝t，

∵△PQR是等边三角形，

∴∠PQR＝∠AQP＝60°，

∴∠CQR＝60°，

∴∠CRQ＝30°，

∴QR＝2CQ，

∴t＝2（﹣t），

解得t＝，

∴当t的值为时，点R落在BC上．

（3）①如图1中，当t＝时，点R落在BC上，此时BR⊥AC，此时PQ＝．

如图2中，当BR⊥AB时，

∵AP+PB＝2，

∴t+t＝2，

∴t＝，

∴PQ＝．

综上所述，满足条件的PQ的值为或．

②当Q在边BC上且R不与点B重合时，BR的方向不变化．

理由：如图3中，在BA上截取BT，使得BT＝BQ．

∵BT＝BQ，∠QBT＝60°，

∴△BQT是等边三角形，

∵△PQR是等边三角形，

∴∠TQB＝∠QTB＝∠PQR＝60°，

∴∠TPQ＝∠BQR，

∵QT＝QB，QP＝QR，

∴△TQP≌△BQR（SAS），

∴∠QTB＝∠QBR＝60°，

∴∠ABR＝120°，

∴BR的方向不变，

当点R在AB的下方时，同法可得∠ABR＝60°，

∴BR的方向不变．

4．（2023滦州市二模）如图，AD是△ABC的高，BD＝3，AD＝DC＝4，P是边AB上一动点，过点P作BC的平行线l，交AD于点E，交AC于点F，Q是直线l上一动点，点P从点B出发，沿BA匀速运动，点Q从点P出发沿直线l向右匀速运动，当点P运动到点A时，P，Q同时停止．设点P与点Q在同一时刻开始运动，且运动速度相同，设点P的运动距离是x．

（1）在运动过程中，点P到BC的距离为（用含x的代数式表示）；

（2）求证：点Q在∠ABC的角平分线上；

（3）当直线l平分△ABC的面积时，求x的值；

（4）当点Q与点C之间的距离小于时，直接写出x的取值范围．

【答案】（1）；

（2）证明见解析过程；

（3）；

（4）．

【解答】（1）解：过点P作PM⊥BC，如图所示，

∵AD是△ABC的高，

∴△BMP∽△BDA，

∴，

∵BD＝3，AD＝4，

在Rt△BDA中，由勾股定理得：AB＝5，

∵点P的运动距离是x，

∴，

∴；

（2）证明：连接BQ，如图所示，

由题意得：BP＝PQ＝x，

∴∠PBQ＝∠PQB，

又∵l∥BC，

∴∠PQB＝∠QBC，

∴∠PBQ＝∠QBC，

即点Q在∠ABC的角平分线上．

（3）解：由题意BP＝x，AD是△ABC的高，BD＝3，AD＝4，

在Rt△BDA中，由勾股定理得：AB＝5，

则AP＝5﹣x，

∵l∥BC，

∴△APF∽△ABC，

∵直线l平分△ABC的面积，

∴，即，

解得，（不合题意，舍去），

∴．

（4）解：过点Q作QR⊥BC，连接QC，如图所示，

当时，

∵CQ2＝QR2+CR2，

∴，

整理得：64x2﹣448x+735＝0，

解得：或，

∴点Q与点C之间的距离小于时，．

四．四边形综合题（共1小题）

5．（2023藁城区二模）如图，在△ACD中，AB为CD边上的中线，点E从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AC向终点C运动．同时点F从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BA向终点A运动，连接EF，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，以EF、FG为边作正方形EFGH．设点E运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）AB的长为4；

（2）求点E到AB的距离；（用含t的代数式表示）

（3）当点G落在AB上时，求EF的长；

（4）连结FH．当FH与AC平行或垂直时，直接写出t的值．

【答案】（1）4；

（2）t；

（3）t＝1；

（4）t的值为或．

【解答】解：（1）∵AC＝AD＝2，CB＝BD＝2，

∴AB⊥CD，

∴∠B＝90°，AC＝2，BC＝2，

∴AB＝＝＝4，

故答案为：4；

（2）过E作ET⊥AB于T，

由题意得：AE＝t，

∴sinA＝＝，

∴＝，

∴TE＝t，即点E到边AB的距离是t；

（3）当点G落在边AB上时，EF⊥AB，

同（2）可得：EF＝t，

∵BF＝2t，

∴AF＝4﹣2t，

∴tanA＝＝＝＝，

∴＝，

解得t＝1；

（4）当FH⊥AC时，如图：

∵四边形EFGH是正方形，

∴FH⊥EG，

∴EG在AC上，

由题可知，BF＝2t，AE＝t，

∴AF＝AB﹣BF＝4﹣2t，

∵∠B＝90°＝∠AKF，∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AKF，

∴＝＝，即＝＝，

∴KF＝，AK＝，

∵EK＝KF，即AK﹣AE＝KF，

∴﹣t＝，

解得t＝，

当FH∥AC时，过F作FW⊥AC于W，如图：

∵BF＝2t，

∴AF＝4﹣2t，

∵∠AWF＝90°＝∠B，∠A＝∠A，

∴△AWF∽△ABC，

∴＝＝，即＝＝，

∴AW＝，WF＝，

∵AE＝t，

∴EW＝AE﹣AW＝t﹣，

∵FH∥AC，

∴∠WEF＝∠EFH＝45°，

∴EW＝WF，

∴t﹣＝，

解得t＝，

∴t的值为或．

五．圆的综合题（共3小题）

6．（2023丰润区二模）如图，已知Q是∠BAC的边AC上一点，AQ＝10，，点P是射线AB上一点，连接PQ，⊙O经过点A且与QP相切于点P，与边AC相交于另一点D．

（1）PQ的最小值是8，当圆心O在射线AB上时，求⊙O的半径：

（2）分别求出AP＝4与AP＝12时，圆心O到直线AB的距离；

（3）直接写出当⊙O与线段AQ只有一个公共点时，AP的取值范围．

【答案】（1）8，圆的半径为：3；

（2）当AP＝4时，圆心O到直线AB的距离为：；当AP＝12时，圆心O到AB距离为：；

（3）AP≥12．

【解答】解：（1）如图1，

当PQ⊥AB时，PQ最小，

∴tan∠BAC＝，

设PQ＝4k，AP＝3k，

∴（4k）2+（3k）2＝102，

∴k1＝2，k2＝﹣2（舍去），

∴PQ＝8，AP＝6，

∵点O在AB上，

∴AP是⊙O的直径，

∴⊙O的半径为：3，

故答案为：8；

（2）如图2，

当AP＝4时，连接PO，作OT⊥AB于T，作QR⊥AB于R，

∴AT＝PT＝AP＝2，∠OTP＝∠PRQ＝90°，

∴∠TOP+∠OPT＝90°，

∵PQ是⊙O的切线，

∴OP⊥PQ，

∴∠OPQ＝90°，

∴∠OPT+∠RPQ＝90°，

∴∠TOP＝∠RPQ，

∴△POT∽△QRP，

∴，

∴，

∴OT＝，

∴O到直线AB的距离为：，

如图3，

当AP＝12时，作QR⊥AP于R，连接OP，

∵AR＝6，

∴QR经过圆心O，

由上知：∠OPQ＝90°，

∴∠QPR+∠OPR＝90°，∠O+∠OPR＝90°，

∴∠QPR＝∠O，

∵∠QRP＝∠PRO＝90°，

∴△QPR∽△POR，

∴，

∴，

∴OR＝，

∴圆心O到AB距离为：；

（3）由（2）知：当AP＝12时，⊙O与线段AQ只有一个公共点，

∴AP≥12．

7．（2023路北区二模）如图1，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4．点P为射线AB上一动点，在射线DA上取一点E，连接DP，EP，使∠DPE＝60°．作△APE的外接圆，设圆心为O．

（1）当圆心O在AB上时，AE＝1；

（2）当点E在边AD上时，

①判断⊙O与DP的位置关系，并证明；

②当AP为何值时，AE有最大值？并求出最大值；

（3）如图2，连接AC，若PE∥AC，则AP＝8；将优弧PE沿PE翻折交射线AC于点Q，则PQ的弧长＝．

【答案】（1）1；

（2）①DP与⊙O相切；

②1；

（3）8，．

【解答】解：（1）∵AP是⊙O的直径，

∴∠AEP＝90°，

∴∠ADP＝∠AEP﹣∠DPE＝90°﹣60°＝30°，

∴∠ADP+∠DAB＝90°，

∴∠APD＝90°，

∴AP＝ADcos∠DAB＝4cos60°＝2，

∴AE＝APcos∠DAB＝2cos60°＝1，

故答案为1；

（2）①如图1，

DP与⊙O相切，理由如下：

作直径PF，连接EF，

∴∠PEF＝90°，

∴∠EPF+∠F＝90°，

∵＝，

∴∠F＝∠DAB，

∵∠DPE＝∠DAB，

∴∠DPE＝∠F，

∴∠DPE+∠EPF＝90°，

∴∠DPF＝90°，

即：DP⊥PF，

∵点P在⊙O上，

∴DP与⊙O相切；

②∵∠DAB，∠PDE＝∠ADP，

∴△DPE∽△DAP，

∴，

∴DE＝＝，

∴AE＝AD﹣DE＝4﹣，

∴当DP最小时，AE最大，

此时DP⊥AB，

由（1）知：AP是⊙⊙的直径，AE＝1，

∴AE的最大值为：1；

（3）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，

∴∠DAC＝∠BAC＝＝30°，

∵PE∥AC，

∴∠APE＝∠BAC＝30°，

∵∠DPE＝60°，

∴∠DPA＝∠DPE﹣∠APE＝60°﹣30°＝30°，

∴∠ADP＝90°，

∴AP＝2AD＝2×4＝8，

∵点O关于PE的对称点时A点，

∴优弧PE沿PE翻折后的弧的圆心是点A，圆心角是30°，

∴＝＝，

故答案为：8，．

8．（2023安次区二模）已知如图，△ABC是腰长为4的等腰直角三角形，∠ABC＝90°，以A为圆心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点M、N．点E是半圆A上任意一点，连接BE，把BE绕点B顺时针旋转90°到BD的位置，连接ED、CD．

（1）求证：△EBA≌△DBC；

（2）当BE与半圆A相切时，求弧EM的长；

（3）直接写出△BCD面积的最大值．

【答案】（1）见解答；

（2）π；

（3）4．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，

∴BA＝BC．

由旋转可得∠EBD＝90°，EB＝DB，

∴∠EBA+∠ABD＝∠DBC+∠ABD，

∴∠EBA＝∠DBC，

在△EBA和△DBC中，

，

∴△EBA≌△DBC（SAS）．

（2）∵BE与半圆A相切，

∴∠AEB＝90°，

∵AB＝4，AE＝2，

∴，

∴∠EAB＝60°，

∴的长＝＝π．

（3）根据题意，得点D在以点C为圆心，以2为半径的半圆上运动，

过点D作DQ⊥BC于点Q，

∴S△BCD＝BCDQ＝2DQ，

当CD⊥BC时，CB的高DQ取得最大值，

此时△BCD也取得最大值．

∴S△BCD＝2DQ＝2×2＝4．

六．几何变换综合题（共1小题）

9．（2023清苑区二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC上一点，点E在AB边上，连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F．

（1）如图1，当D为BC的中点时，求证：AE＝CF．

（2）如图2，在（1）的条件下，过点A作AG∥DE交BC于点G，点M在AB边上，连接CM交AG于点N，交DE于点H，且MA＝MN．

①猜想NH和CF的数量关系，并说明理由．

②求证：CN＝AF﹣CF．

（3）如图3，若AB＝6，DE⊥AB，P为点B关于DE的对称点（点B，P不重合），连接PD，PF，当△DPF为直角三角形时，直接写出BD的值．

【答案】（1）证明见解答过程；

（2）①NH＝CF；理由见解答过程；②证明见解答过程；

（3）BD的长为2或3．

【解答】（1）证明：连接AD，如图：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，

∴AD＝CD，∠EAD＝∠C＝45°，∠ADC＝90°，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF＝90°＝∠ADC，

∴∠EDA＝∠FDC，

∴△EDA≌△FDC（ASA），

∴AE＝CF；

（2）①解：NH＝CF，理由明如下：

如图：

∵MA＝MN，

∴∠MAN＝∠MNA，

∵AG∥DE，

∴∠MEH＝∠MAN＝∠MNA＝∠MHE，

∴ME＝MH，

∴MA﹣ME＝MN﹣MH，即AE＝NH，

由（1）知AE＝CF，

∴NH＝CF；

②证明：过B作BK⊥DE于K，过C作CT⊥DE交ED延长线于T，如图：

∵∠BKD＝90°＝∠T，BD＝CD，∠BDK＝∠CDT，

∴△BKD≌△CTD（AAS），

∴BK＝CT，

由①知，∠MEH＝∠MHE，

∴∠BEK＝∠CHT，

∵∠BKE＝90°＝∠T，

∴△BKE≌△CTH（AAS），

∴BE＝CH，

∵AB＝AC，AE＝CF，

∴BE＝AF，

∴CH＝AF，

∴CN+HN＝AF，

∵HN＝CF，

∴CN+CF＝AF，

∴CN＝AF﹣CF；

（3）解：①当∠DPF＝90°时，如图：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝45°，

∵DE⊥AB，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∵P为点B关于DE的对称点，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴∠BDP＝∠BDE+∠PDE＝90°，

∴∠BDP＝∠DPF，

∴BD∥PF，

∵DE⊥DF，DE⊥AB，

∴DF∥AB，

∴四边形BDFP是平行四边形，

∴∠APF＝∠B＝45°，BD＝PF