专题01直线与方程（解析版）

专题01直线与方程一、单选题1．在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】结合直线的图像，利用直线的斜率与纵截距进行判断.【解析】因为直线总在直线的上方，所以直线与直线平行，且直线在y轴上的截距必大于直线在y轴上的截距，所以，．故A，B，D错误.故选：C.2．已知直线，，若，则实数的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用一般式下两直线垂直的充要条件“”即可求解【解析】由．故选：A．3．已知直线与的交点在第四象限，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出两直线的交点，再解不等式组即得解.【解析】联立解得，由直线与的交点在第四象限可得，解得，即实数的取值范围为．故选：C．4．已知直线，以下结论不正确的是（

）A．不论a为何值时，与都互相垂直B．当a变化时，与分别经过定点和C．不论a为何值，与都关于直线对称D．如果与交于点为坐标原点，则的最大值是【答案】C【分析】根据直线垂直的条件可判断A;求出直线与所过的定点，可判断B；在上任取点，求出其关于直线的对称点，判断是否满足方程，判断C;求出与交点，求出的表达式，可判断D.【解析】对于A，恒成立，与互相垂直恒成立，故A正确；对于B，直线，当a变化时，恒成立，所以恒过定点；，当a变化时，恒成立，所以恒过定点，故B正确；对于C，在上任取点，，其关于直线对称的点的坐标为，代入，则左边为不恒等于0，故C不正确；对于D，联立,解得,即，所以|MO|＝≤，所以的最大值是，故D正确，故选;C5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.【解析】如图所示，设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．故选：A．6．已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（

）．A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】根据直线与两坐标轴截得等腰三角形可得直线得斜率为1或-1，利用直线方程得点斜式即可求解.【解析】解：由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或-1，故直线方程为或，即或.故选：C.7．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（

）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】根据斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可.【解析】如图所示：因为，所以当直线过点且与线段相交时，的斜率的取值范围是或，故选：B8．已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得直线的定点，进而求得点P到直线l的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可【解析】可化为：设直线的定点为，点P到直线l的距离为，则有：x+y−2=02x−3y+1=0可得：为直线的定点则有：，此时为点P到直线l的最大距离若在直线上，则有：，即可得：不可能在直线上，则有：综上可得：故选：A9．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得到直线与直线和直线分别平行时或直线过直线和直线的交点时，三条直线不能构成三角形，再分别计算相应的值即可.【解析】由题知：①当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.即.②当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.即.③当直线过直线与直线交点时，三条直线不能构成三角形.所以，解得，将代入，解得.所以实数的取值集合为.故选：D.10．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，将表示成a的函数，求出函数的值域的作答.【解析】依题意，，直线l的方向向量，则有，解得，因此，，因当时，取最小值，则有，所以的取值范围是.故选：D11．对于直线：（），现有下列说法：①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变；②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限；③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；④当取不同数值时，可得到一组平行直线．其中正确的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误．【解析】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确；故选：C12．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条；③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条．其中，所有真命题的序号是．A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④【答案】D【解析】∵直线与轴，轴交点的坐标分别是：，，∴，当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，∴当，在时，有两个值；当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，当时，在时，有两个值；∴当时，仅有一条直线使的面积为，故①不正确；当时，仅有两条直线使的面积为，故②正确；当时，仅有三条直线使的面积为，故③正确；当时，仅有四条直线使的面积为，故④正确；综上所述，真命题的序号是②③④，故选D.二、多选题13．已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（

）A．直线l的倾斜角是B．若直线m：＝0，则l⊥mC．点到直线l的距离是2D．过与直线l平行的直线方程是【答案】BCD【分析】对A，根据斜率判断即可；对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；对C，根据点到线的距离公式求解即可；对D，先求得的斜率，再根据点斜式求解即可【解析】对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B正确；对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C正确；对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D正确；故选：BCD．14．已知直线，直线，过点的直线与，的交点分别为，，若，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据已知直线的方程知：且距离、倾斜角为，结合确定直线与，的夹角，进而可得直线的倾斜角，写出直线的方程即可.【解析】由题设，显然且它们的距离，而，易知：直线与，的夹角为.而，即，的倾斜角为，∴直线的倾斜角为0或，又直线过.∴或.故选：AC15．下列说法不正确的是（

）A．经过，两点的直线的方向向量为，则B．“或-1”是“直线与直线互相平行”的充要条件C．直线的倾斜角的取值范围是D．过，两点的直线方程为【答案】BCD【分析】根据直线的方向向量定义判断A,根据直线平行公式判断B,根据斜率和倾斜角的关系判断出C,根据两点式的限制条件判断D即可得出结果.【解析】对于A,由已知可得,则可看作经过两点的直线的方向向量，则，A正确；对于B，若与互相平行，则有：，解得或-1（舍），B错误；对于C，，时斜率不存在，此时直线倾斜角为，时，，则，时，.即倾斜角取值范围,综上倾斜角,C错误.对于D，必须在且的条件下才成立，无此条件，则D错误.故选：BCD.16．如图，直线相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是（）A．距离坐标为（0，0）的点有1个 B．距离坐标为（0，1）的点有2个C．距离坐标为（1，2）的点有4个 D．距离坐标为（x，x）的点在一条直线上【答案】ABC【解析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【解析】对于A，若距离坐标为（0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离坐标为（0，0)的点只有1个，A正确，对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线的距离为0，到直线的距离为1，P在直线上，到直线的距离为1，符合条件的点有2个，B正确，对于C，若距离坐标为（1，2)，即P到直线的距离为1，到直线的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线相距为2的两条平行线和与直线相距为1的两条平行线的交点，C正确，对于D，若距离坐标为（x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在2条相互垂直的直线上，D错误，故选：ABC17．对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，则下列说法正确的是（

）A．若点C是线段AB的中点，则B．在中，若，则C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【分析】对于AC，根据距离的新定义分析判断，对于B，举例判断，对于D，根据距离的新定义结合图形分析判断【解析】对于A，，故A正确；对于B，取，则，而，不满足，故B错误；对于C，设，则，因为，同理，所以，故C正确；对于D，设正方形ABCD的边长为a，当正方形的边与坐标轴平行时，易知，如图，设AB与x轴的夹角为，由图可知，故D正确.故选：ACD18．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，、，点Р满足，设点Р所构成的曲线为C，下列结论正确的是（

）A．C的方程为B．在C上存在点D，使得C．在C上存在点M，使M在直线上D．在C上存在点N，使得【答案】AD【分析】通过设出点P的坐标，利用，即可求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据BCD三个选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案.【解析】设点，由，得，化简得，即，故A选项正确；对于B选项，设，由得，又，联立方程可知无解，故B选项错误；对于C选项，设，由M在直线上得，又，联立方程可知无解，故C选项错误；对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确.故选：AD.三、填空题19．若直线k的斜率满足，则该直线的倾斜角α的范围是______．【答案】【分析】根据斜率范围得到，数形结合求出直线的倾斜角α的范围.【解析】根据，得到，结合正切的函数图象可得：.故答案为：20．若直线与重合，则正数a、b的和为______.【答案】12【分析】根据题意可得，解方程即可求出正数a、b，从而得出结果.【解析】由题意可得，解得或，又因为，所以，因此，故答案为：12.21．在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为__．【答案】【分析】如图，作出关于直线的对称点，作出关于轴的对称点，则连结，交直线于，交轴于，则的周长的最小值等于.【解析】解：如图，作出关于直线的对称点，作出关于轴的对称点，连结，交直线于，交轴于，，，三角形的周长为线段的长，由两点间线段最短得此时三角形的周长最小，三角形的周长最小时，最小值为：．故答案为：．22．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是______.【答案】【分析】由题意可得点坐标及，设，利用三角函数分别表示，，由三角恒等变换后求正弦型函数的值域得解.【解析】由题意可知，动直线经过定点，动直线，即，经过点定点，m≠0时，动直线和动直线的斜率之积为，两条直线垂直，m=0时，两条直线也垂直，又是两条直线的交点，，.设，则，，由且，可得，，，，，，，，故答案为：23．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成和角，过点作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，则直线AB的方程是________.【答案】【分析】由题意求出直线的方程，设得到AB的中点的坐标，由A，P，B三点共线求出，得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程可得答案.【解析】由题意可得，，所以直线，设，所以AB的中点C.由点C在直线上，且A，P，B三点共线得解得，所以,又，所以＝，所以，即直线AB的方程为.24．在平面直角坐标系中，定义两点、之间的“直角距离”为：，现有以下命题：①若P、Q是x轴上的两点，则；②已知，，则为定值；③原点O与直线上任意一点P之间的直角距离的最小值为；④若表示P、Q两点间的距离，那么．其中真命题是__________（写出所有真命题的序号）【答案】①②③④【分析】由根据新定义可判断①；根据三角函数的有界性和同角关系可判断②；由直角距离定义以及绝对值函数求最值可判断③；由两点距离公式和基本不等式可判断，可判断④．【解析】若P、Q是x轴上的两点，则，故；故①正确；已知，,则为定值，故②正确；设，则，在上单调递减，在上单调递增，故当时，，故③正确若表示、两点间的距离，那么，，，，即，则，故④正确；故答案为：①②③④四、解答题25．已知的顶点边上的中线所在的直线方程为的平分线所在直线方程为.(1)求直线的方程；(2)在线段上是否存在点，满足，若存在，求点坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）设写出的中点，由点在直线上求得，令关于的对称点为求坐标，最后应用点斜式写出直线方程即可.（2）联立直线方程求坐标，由在线段上，设，根据垂直关系求参数n并判断点的存在性.（1）由题意知，在角平分线上，设，则的中点，在直线上，所以，解得：，故.设关于的对称点为，则，可得，即由在直线上，则，所以直线为，即.（2）为直线与直线的交点，联立可得在线段上，为在线段上，设，因为，所以，解得，因为，所以存在.26．已知点和，P为直线上的动点.(1)求关于直线的对称点，，(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点的中点在直线上，直线和直线垂直，列出方程，解方程即可得出答案；（2），当且仅当三点共线时，取等号，即可求出的最小值为，代入即可得出答案.（1）关于直线的对称点设为，，则，解得，，所以的坐标为.（2）由（1）及已知得：，当且仅当三点共线时，取等号，则的最小值为：．27．已知直线及点，，．(1)试在上求一点，使最小，并求这个最小值；(2)试在上求一点，使最大，并求这个最大值．【答案】(1)，，最小值为(2)，最大值为【分析】（1）求出关于直线的对称点的坐标，线段与直线的交点为，最小值为；（2）求出关于直线的对称点的坐标，射线与直线的交点为，最大值为．（1）设关于直线的对称点的坐标，则，解得，即，则的直线方程为：，联立，解得，即交点为，，此时最小，最小为；（2）设关于直线的对称点的坐标，则，解得，得，直线的方程为，即，联立，解得，即，由对称性知，，（当且仅当、、三点共线时取“”，上的点，是使最大的点．此时最大值为；28．已知直线经过定点P．(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当取最小值时，求直线l的方程．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）将变形为，解方程组，即可证明结论；（2）设直线l的倾斜角为，可表示出，即得的表达式，利用换元法，结合三角函数性质，求出当取最小值时参数的值，即可求得答案.（1）证明：由可得：，由可得，所以l经过定点；即直线l过定点,且定点在第二象限，所以无论k取何值，直线l始终经过第二象限．（2）设直线l的倾斜角为，则，可得，所以，令，因为，可得，即，将两边平方可得：，所以，所以，因为在上单调递增，所以，故，所以，当且仅当时取等号，此时，可得，所以，所以直线的方程为．29．已知两条直线，．(1)若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为，，求；(2)若，直线与垂直，且______，求直线的方程．从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中，使满足条件的直线有且仅有一条，并作答．条件①：直线过坐标原点；条件②：坐标原点到直线的距离为1；条件③：直线与交点的横坐标为2．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由，不重合，且垂直于同一条直线，得到，列出方程组，求得，再利用两平行线间的距离公式，即可求解.（2）当时，得到直线和的方程，根据题意设直线的方程为，分别选择①②③，根题设条件，求得的值，即可求解.（1）解：若，不重合，且垂直于同一条直线，所以，则，解得，即直线，，即为，，可得两平行线间的距离为，即.（2）解：当时，直线，因为直线与垂直，可设直线的方程为，若满足条件①：由直线过坐标原点，可得，此时直线的方程为.若满足条件②：由坐标原点到直线的距离为1，可得，解得，此时直线的方程为.若满足条件③：由，联立方程组，解得，因为直线与交点的横坐标为2，即，解得，此时直线的方程为.30．已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求：（1）求证：不论为何实数，直线过定点P；（2）分别求和时，所对应的直线条数；（3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.【答案】（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）①时，2条直线；

②时，3条直线；

③时，4条直线.【分析】（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点；（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；（3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数．【解析】（1）直线可化为，令，解得，∴不论为何实数，直线过定点.（2）由题意知，直线的斜率存在，且，设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为；∴的面积为；令，得，时，方程化为，解得，有两个正根，即有两条直线；时，方程化为，，方程无实数根，即无直线；综上知，时有两条直线；令，得，时，方程化为，解得，有两个正根，即有两条直线；时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线；综上知，时有四条直线；（3）由题意得，，时，方程化为，解得，有两个正根，即有两条直线；时，方程化为，，时，，方程无实数根，此时无直线；时，，方程有一负根，此时有一条直线；时，，解得，方程有两负根，即有两条直线；综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线；所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个；时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个；时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个．【点睛】本题考查直线恒过定点、集合元素个数的判断，考查函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力．31．如图所示，将一块直角三角形板ABO置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线MN的斜率为k，问：（1）求直线MN的方程；（2）若的面积为，求的表达式；（3）若S为的面积，问是否存在实数m，使得关于S的不等式有解，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）利用点斜式方程，即可求得直线的方程，得到答案；（2）联立直线方程求出直线交点的坐标，进而求得的范围，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，由，即可得到答案；（3）根据有解问题最值法，先分离变量，再利用二次函数性质求函数最小值，即可求解．【解析】（1）依题意，点，直线的斜率为，由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为．（2）由题意，因为，可得直线OA方程为，直线AB方程为，联立方程组，解得，因为，所以或，又由，解得，∵，∴所以由弦长公式可得，又由点P到直线OM的距离为，所以．（3）由题意，可得，设，令，即，函数在为单调递增函数，所以当时，的最小值为，当时，的最大值为，即，所以，又且，所以，可得的最小值为，所以实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了直线