陕西省西安市名校2023-2024学年高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析）

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一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知点A（2，1），B（3，2），则直线AB的倾斜角为（）

A．30°B．45°C．60°D．135°

2．（5分）在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则（）

A．l∥αB．l⊥αC．lα或l∥αD．l与α斜交

3．（5分）已知直线倾斜角为60°，在y轴上的截距为﹣2，则此直线方程为（）

A．y＝x+2B．y＝﹣x+2C．y＝﹣x﹣2D．y＝x﹣2

（多选）4．（5分）若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列式子可以化简为零向量的是（）

A．+2+2+B．2+2+3+3+

C．++D．﹣+﹣

5．（5分）在空间直角坐标系中，若，，且，则＝（）

A．B．C．D．

6．（5分）已知点M（1，﹣2），N（m，2），若线段MN的垂直平分线的方程是+y＝1，则实数m的值是（）

A．﹣2B．﹣7C．3D．1

7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，与点（﹣1，2，1）关于平面xOz对称的点为（）

A．（﹣1，﹣2，1）B．（﹣1，2，1）

C．（﹣1，﹣2，﹣1）D．（1，﹣2，﹣1）

8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，则x+y+z＝（）

A．1B．2C．D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9．（5分）如果AB＜0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（多选）10．（5分）三棱锥A﹣BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为，若，则二面角A﹣BD﹣C的大小可能为（）

A．B．C．D．

（多选）11．（5分）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列说法正确的是（）

A．与是共线向量

B．与同向的单位向量是（，，0）

C．和夹角的余弦值是

D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）

（多选）12．（5分）已知直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，则下列表述正确的有（）

A．直线l2的斜率为

B．若直线l1垂直于直线l2，则实数m＝﹣18

C．直线l1倾斜角的正切值为3

D．若直线l1平行于直线l2，则实数m＝2

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为．

14．（5分）已知，，，若，，三向量共面，则实数λ等于．

15．（5分）直线ax+y+a﹣3＝0恒过定点．

16．（5分）在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，D，D1分别是AB，A1B1的中点，AC＝BC＝1，A1A＝2．则二面角D﹣A1C﹣C1的余弦值是．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分）

17．（10分）如图是一个机器人手臂的示意图．该手臂分为三段，分别可用向量，，代表．

（1）若用向量代表整条手臂，求；

（2）求所代表的点与原点之间的距离．

18．（12分）已知△ABC的顶点坐标为A（﹣5，﹣1），B（﹣1，1），C（﹣2，3）．

（1）试判断△ABC的形状；

（2）求AC边上的高所在直线的方程．

19．（12分）如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点．

（1）求证：MN⊥平面PCD；

（2）求PD与平面PMC所成角的正弦值．

20．（12分）已知直线l1：（m+2）x+my﹣8＝0与直线l2：mx+y﹣4＝0，m∈R．

（1）若l1∥l2，求m的值；

（2）若点P（1，m）在直线l2上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程．

21．（12分）已知直线l：kx﹣y+2+4k＝0（k∈R）．

（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为的正方形，CC1⊥BC，BC＝1，AB＝2．

（1）证明：平面A1BC⊥平面ABC1；

（2）在线段A1B上是否存在点M，使得CM⊥BC1，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年陕西省西安工业大学附中高二（上）第一次月考数学试卷（10月份）

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【分析】根据两点间斜率公式求解即可．

【解答】解：，

又因为0°≤α＜180°

所以α＝45°．

故选：B．

【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率，考查运算求解能力，属于基础题．

2．【分析】根据＝0可知⊥，从而得出结论．

【解答】解：由＝2×1+（﹣2）×3+1×4＝0，可知⊥．

∴l∥α或lα．

故选：C．

【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．

3．【分析】利用点斜式即可得出．

【解答】解：由题意可得直线方程为：y＝xtan60°﹣2，即y＝x﹣2，

故选：D．

【点评】本题考查了点斜式方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

4．【分析】直接利用向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．

【解答】解：对于A：＝＝，故A错误；

对于B：2+2+3+3+＝，故B正确；

对于C：＝，故C错误；

对于D：＝，故D正确．

故选：BD．

【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

5．【分析】由，得＝0求出x，从而可求出的坐标，进而可求出其模．

【解答】解：因为），＝（1，﹣1，x），且，

所以x＝0，得x＝0，

所以＝（1，﹣1，0），所以），

所以|．

故选：B．

【点评】本题考查向量数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6．【分析】由题意可得点M、N的中点（，0）在直线x+2y﹣2＝0上，代入可得m的方程，解方程可得m的值．

【解答】解：∵线段MN的垂直平分线的方程是x+2y﹣2＝0，

∴点M、N的中点（，0）在直线x+2y﹣2＝0上，

∴+2×0﹣2＝0，解得m＝3，

故选：C．

【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及中点坐标公式，属基础题．

7．【分析】在空间直角坐标系Oxyz中，与点（x，y，z）关于平面xOz对称的点为（x，﹣y，z）．

【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，

与点（﹣1，2，1）关于平面xOz对称的点为（﹣1，﹣2，1）．

故选：A．

【点评】本题考查在空间直角坐标系Oxyz中，与点（x，y，z）关于平面xOz对称的点的坐标等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得．

【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，

PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，，

因为EC＝2PE，所以，

所以

＝

＝

＝

＝

＝

＝，

又，所以，则x+y+z＝1．

故选：A．

【点评】本题考查空间向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．【分析】由直线的方程求出斜率和在y轴上的截距，可得结论．

【解答】解：∵直线Ax+By+C＝0，即y＝﹣x﹣，

∵AB＜0，BC＞0，∴直线的斜率﹣＞0，在y轴上的截距﹣＜0，

故直线Ax+By+C＝0经过第一、三、四象限，

故选：ACD．

【点评】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题．

10．【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果．

【解答】解：∵二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，

∴二面角A﹣BD﹣C的大小可能为或．

故选：BC．

【点评】本题考查二面角的概念，向量法求解二面角问题，属基础题．

11．【分析】利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．

【解答】解：空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），

对于A，＝（2，1，0），＝（﹣1，2，1），∴与不是共线向量，故A错误；

对于B，＝（2，1，0），＝（，，0），故B正确；

对于C，＝（2，1，0），＝（﹣3，1，1），

∴和夹角的余弦值是：

cos＜＞＝＝＝﹣，故C错误；

对于D，＝（2，1，0），＝（﹣1，2，1），

设平面ABC的法向量＝（x，y，z），

则，取x＝1，得＝（1，﹣2，5），故D正确．

故选：BD．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．

12．【分析】利用直线l1的方程，考虑斜率不存在的情况可判断选项A，利用两条直线垂直的充要条件可判断选项B，利用倾斜角与斜率的关系可判断选项C，利用两条直线平行的充要条件可判断选项D．

【解答】解：直线l1：3x+y﹣3＝0，直线l2：6x+my+1＝0，

当m＝0时，直线l2的斜率不存在，故选项A错误；

当直线l1垂直于直线l2，则有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故选项B正确；

直线l1的斜率为﹣3，故倾斜角的正切值为﹣3，故选项C错误；

当直线l1平行于直线l2，则，解得m＝2，故选项D正确．

故选：BD．

【点评】本题考查了直线与直线位置关系的应用，涉及了直线斜率、直线倾斜角的应用，解题的关键是正确理解直线方程与斜率、倾斜角直线的关系，属于中档题．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．【分析】根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式解方程即可．

【解答】解：∵直线的一个方向向量为（2，1），

∴直线l的斜率为k＝，

∴直线l的方程为y﹣1＝（x﹣0），即y＝．

故答案为：y＝．

【点评】本题考查直线方程、直线的方向向量、斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．【分析】由，，三向量共面，得，（x≠0，y≠0），列方程组，能求出结果．

【解答】解：∵，，，，，三向量共面，

∴，（x≠0，y≠0），

∴（2，﹣1，3）＝（﹣x，4x，﹣2x）+（3y，2y，λy）＝（﹣x+3y，4x+2y，﹣2x+λy），

∴，

解得x＝﹣，y＝，

∴实数λ＝4．

故答案为：4．

【点评】本题考查实数值的求法，考查向量共面定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．【分析】将直线化简为a（x+1）+y﹣3＝0，令，即可求解．

【解答】解：直线ax+y+a﹣3＝0，即a（x+1）+y﹣3＝0，

令，解得x＝﹣1，y＝3，

故直线ax+y+a﹣3＝0恒过定点（﹣1，3）．

故答案为：（﹣1，3）．

【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．

16．【分析】建系，分别求平面DA1C、平面A1CC1的法向量，利用空间向量求二面角．

【解答】解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

可得，

设平面DA1C的法向量为，则，

令x＝2，则可得，

由题意可得：平面A1CC1的法向量，

则，

由图形可知：二面角D﹣A1C﹣C1为钝角，所以其余弦值为．

故答案为：．

【点评】本题考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查运算求解能力，属于中档题．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分）

17．【分析】（1）根据已知条件，结合向量的坐标运算公式，即可求解．

（2）根据已知条件，结合空间向量的模公式，即可求解．

【解答】解：（1）由题意．

（2）由题意．

【点评】本题主要考查向量的坐标运算公式，以及空间向量的模公式，属于基础题．

18．【分析】（1）由题意利用两条直线垂直的条件判断AB⊥BC，可得结论．

（2）先求出AC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求得AC边上的高所在直线的方程．

【解答】解：（1）∵直线AB的斜率为＝，直线BC的斜率为＝﹣2，

∴直线AB和直线BC的斜率之积等于﹣1，故AB⊥BC，

∴△ABC为直角三角形．

（2）因为直线AC的斜率为＝，所以，AC边上高线所在直线的斜率为﹣，

故AC边上的高所在直线的方程是y﹣1＝﹣（x+1），即3x+4y﹣1＝0．

【点评】本题主要考查两条直线垂直的条件，用点斜式求直线的方程，属于基础题．

19．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得MN⊥平面PCD．

（2）利用直线PD的方向向量，平面PMC的法向量，计算线面角的正弦值．

【解答】解：（1）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，

则M（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），N（1，1，1），D（0，2，0）．

则，

，所以MN⊥PC，MN⊥PD，

由于PC∩PD＝P，所以MN⊥平面PCD．

（2），，

设平面PMC的法向量为，

则，

令z＝1，则x＝2，y＝﹣1，所以．

设直线PD与平面PMC所成角为θ，则．

【点评】本题主要考查线面垂直的判定定理和直线与平面所成的角，属于中档题．

20．【分析】（1）由题意可知m≠0，所以有，且≠4，从而求出m的值．

（2）将点P（1，m）的坐标代入直线l2的方程中，求出m的值，从而得到点P的坐标，根据题意可知直线l的斜率一定存在且不为0，设出直线l的方程，利用在两坐标轴上的截距之和为0，列出方程可求出直线l的方程．

【解答】解：（1）∵l1∥l2，∴两直线的斜率都存在，

∴，且≠4，

∴m＝﹣1．

（2）∵点P（1，m）在直线l2上，

∴m+m﹣4＝0，∴m＝2，

∴P（1，2），

由题意可知，直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1）（k≠0），

令x＝0得，y＝2﹣k，令y＝0得，x＝1﹣，

∵在两坐标轴上的截距之和为0，

∴2﹣k+1﹣＝0，

解得k＝1或2，

∴直线l的方程为x﹣y+1＝0或y＝2x．

【点评】本题主要考查了直线的一般方程，考查了两直线平行的位置关系，是基础题．

21．【分析】（1）根据题意可得，由此求得k的范围．

（2）由题意可得S＝OAOB＝8k+8+，利用基本不等式求得它的最小值，可得此时直线l的方程．

【解答】解：（1）∵直线l：kx﹣y+2+4k＝0，即y＝kx+4k+2，

∵它不经过第四象限，

∴，求得k≥0，即k的取值范围为[0，+∞）．

（2）直线l交x轴的负半轴于点A（，0），交y轴的正半轴于点B（0，4k+2），k＜0，

O为坐标原点，设△AOB的面积为S，则S＝OAOB＝（4k+2）＝8k+8+≥8+2＝16，

当且仅当8k＝时，即k＝时，取等号，故S的最小值为16，此时，k＝，直线l：x﹣2y