江苏省南京市南京民办实验学校2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试卷（含解析）

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一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

1．下列四个图形中，不是轴对称图形的为

A．B．C．D．

2．如图，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是

A．B．C．D．

3．等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为

A．6B．8C．10D．8或10

4．一个钝角三角形的两边长为3、4，则第三边可以为

A．4B．5C．6D．7

5．如图，在四边形中，，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用、、、来表示它们的面积，那么下列结论正确的是

A．B．C．D．

6．如图，在四边形与四边形中，，，．下列条件中：①，；②，；③，；④，．添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形．上述条件中符合要求的有

A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④

二．填空题（共10小题，每小题2分，共20分）

7．角是轴对称图形，它的对称轴是．

8．如图，在和中，，，只需补充条件，就可以根据“”得到．

9．如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，连接．则的周长为．

10．一个等腰三角形的顶角为，则它的一个底角为．

11．如图，是等边三角形，若，，，则．

12．如图，将绕点逆时针旋转到的位置，、、在一条直线上．若，则．

13．如图，四边形沿直线对折后重合．若，则结论：①；②；③；④中，正确的是（填上正确结论的序号）．

14．如图，中，，平分，，，则的长是．

15．如图，四边形中，，，连接、．是的中点，连接、．若，则的面积为．

16．如图，在四边形中，，．若这个四边形的面积为16，求的值是．

三．解答题（本大题共9小题，共68分）

17．（5分）如图，，，点、在上，．求证：．

18．（6分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．

（1）画出关于直线对称的图形△；

（2）在直线上找一点，使；（要求在直线上标出点的位置）

（3）连接、，计算四边形的面积．

19．（7分）在中，是的中点，，，垂足分别为、，且．

求证：是等腰三角形．

20．（8分）请利用直尺与圆规用两种不同的方法作的平分线．（不写作法，保留作图痕迹）

21．（8分）如图，在中，，垂足为，且．平分，且，垂足为，交于点．

（1）求证：；（2）求证：．

22．（8分）如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点．

（1）求证：为等腰三角形；

（2）已知，，求的长．

23．（8分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知、、都是格点．

（1）小明发现是直角，请补全他的思路；

（2）请用一种不同于小明的方法说明是直角．

24．（8分）如图1，在中，，点，分别在和上，且，则．

探究发现：

如图2，在中，仍然有条件“，点，分别在和上”．若，则与是否仍相等？若相等，请证明；若不相等，请举反例说明．

25．（10分）“面积法”是指利用图形面积间的等量关系寻求线段间等量关系的一种方法．

例如：在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、，为腰上的高．

如图①，当点在边上时，我们可得如下推理：

（1）【变式】如图②，在上例的条件下，当点运动到的延长线上时，试探究、、之间的关系，并说明理由．

（2）【迁移】如图③，点是等边内部一点，作、、，垂足分别为、、，若，，．求的边长．

（3）【拓展】若点是等边所在平面内一点，且点到三边所在直线的距离分别为2、3、6．请直接写出等边的高的所有可能

江苏省南京市南京民办实验学校2023~2024学年八年级上学期10月月考数学试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．下列四个图形中，不是轴对称图形的为

A．B．

C．D．

【考点】轴对称图形

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：，，选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

故选：．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．如图，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是

A．B．C．D．

【考点】全等三角形的判定

【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

【解答】解：．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；

．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；

．，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；

．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是，，，，两直角三角形全等还有．

3．等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为

A．6B．8C．10D．8或10

【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质

【分析】分2是腰长与底边两种情况讨论求解．

【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，

，

不能组成三角形；

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，

能组成三角形，

周长，

综上所述，三角形的周长为10．

故选：．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．

4．一个钝角三角形的两边长为3、4，则第三边可以为

A．4B．5C．6D．7

【考点】：三角形三边关系；：勾股定理

【分析】设第三边为，根据三角形的三边关系求出的取值范围，再由三角形是钝角可求得的最小值即可解题．

【解答】解：设第三边为，

若这个三角形为直角三角形，则第三边为，

钝角大于直角，

，

三角形第三边小于其余两边和，

，

故选：．

【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了三角形三边关系，本题中根据勾股定理求是解题的关键．

5．如图，在四边形中，，分别以四边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用、、、来表示它们的面积，那么下列结论正确的是

A．B．

C．D．

【考点】勾股定理

【分析】连接，根据勾股定理可得甲的面积乙的面积丙的面积丁的面积，依此即可求解．

【解答】解：连接，

由勾股定理得，，

甲的面积乙的面积丙的面积丁的面积，

故选：．

【点评】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．

6．如图，在四边形与四边形中，，，．下列条件中：①，；②，；③，；④，．添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形．上述条件中符合要求的有

A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④

【考点】全等图形

【分析】连接、，通过证明△，△，即可得到结论．

【解答】解：符合要求的条件是①③④，

证明：连接、，

在与△中，

，

△，

，，

，

，

，

在和△中，

，

△，

，，，

，

四边形和四边形中，

，，，，

，，，，

四边形四边形．

同理根据③④的条件证得四边形四边形．

故选：．

【点评】此题主要考查了全等形，全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．

二．填空题（共10小题）

7．线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线或线段本身所在的直线；角是轴对称图形，它的对称轴是．

【考点】：轴对称图形

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：线段是轴对称图形，它的对称轴是：线段的垂直平分线或线段本身所在的直线；

角是轴对称图形，它的对称轴是：角的平分线所在直线．

故答案为：线段的垂直平分线或线段本身所在的直线；角的平分线所在直线．

【点评】本题考查轴对称图形的概念，注意掌握轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

8．如图，在和中，，，只需补充条件，就可以根据“”得到．

【考点】直角三角形全等的判定

【分析】根据直角三角形全等的判定方法解决此题．

【解答】解：补充条件：．

在和中，

，

．

故答案为：．

【点评】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决本题的关键．

9．如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，连接．则的周长为8．

【考点】线段垂直平分线的性质

【分析】由的垂直平分线分别交于，交于，可得，继而可得的周长．

【解答】解：的垂直平分线分别交于，交于，

，

在中，，，

的周长为：．

故答案为：8．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

10．一个等腰三角形的顶角为，则它的一个底角为．

【考点】等腰三角形的性质

【分析】由已知顶角为，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．

【解答】解：等腰三角形的顶角为，

它的一个底角为．

故填

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．

11．如图，是等边三角形，若，，，则130．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质

【分析】由等边三角形性质得出，，再由证得，得出，由三角形内角和定理求出，即可得出答案．

【解答】解：是等边三角形，

，，

在与中，

，

，

，

，

，

故答案为：130．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

12．如图，将绕点逆时针旋转到的位置，、、在一条直线上．若，则40．

【考点】旋转的性质

【分析】由旋转的性质可得，，进而得，再根据、、在一条直线上即可求解．

【解答】解：将绕点逆时针旋转到的位置，

，，

，

，

故答案为：40．

【点评】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键．

13．如图，四边形沿直线对折后重合．若，则结论：①；②；③；④中，正确的是①②③（填上正确结论的序号）．

【考点】全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）

【分析】由翻折的性质可知：，，，由平行线的性质可知，从而得到，故此，从而可知四边形为菱形，最后依据菱形的性质判断即可．

【解答】解：由翻折的性质可知：，，，

，

，

，

，

．

四边形为菱形，

，，，．

故答案为：①②③．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质，证得四边形为菱形是解题的关键．

14．如图，中，，平分，，，则的长是2.5．

【考点】勾股定理

【分析】过作于，根据勾股定理可得，根据角平分线性质可得，根据三角形面积公式求出，即可求出．

【解答】解：过作于，

在中，，，，

，

平分，

，

，即，

解得，

．

故答案为：2.5．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

15．如图，四边形中，，，连接、．是的中点，连接、．若，则的面积为．

【考点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得，，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，即可得是等腰直角三角形，即可求解．

【解答】解：，是的中点，

，

，，，

由三角形的外角性质得，，

，

，

四边形中，，，

，

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

16．如图，在四边形中，，．若这个四边形的面积为16，求的值是8．

【考点】：勾股定理

【分析】连接．设，，．根据勾股定理和四边形的面积，得到关于，，的方程组，再进一步运用消元法，得到关于，的方程即可．

【解答】解：连接．

设，，．

根据勾股定理，得

，

①，

又，

②，

①②，得

，

所以．

即．

【点评】此题综合运用了勾股定理和直角三角形的面积公式，能够巧妙对方程组进行变形．

三．解答题（共9小题）

17．如图，，，点、在上，．求证：．

【考点】全等三角形的判定与性质

【分析】由“”可证，可得结论．

【解答】证明：，

，

在和中，

，

，

．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．

18．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1．

（1）画出关于直线对称的图形△；

（2）在直线上找一点，使；（要求在直线上标出点的位置）

（3）连接、，计算四边形的面积．

【考点】：线段垂直平分线的性质；：作图轴对称变换

【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，过中点作交直线于点，点即为所求；

（3）根据列式计算即可得解．

【解答】解：（1）△如图所示；

（2）如图所示，过中点作交直线于点，此时；

（3）．

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

19．在中，是的中点，，，垂足分别为、，且．

求证：是等腰三角形．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定

【分析】根据中点的定义可得到，再根据即可判定，从而可得到，根据等角对等边可得到，即是等腰三角形．

【解答】证明：是的中点，

，

，，

，

，，

，

，

，

是等腰三角形．

【点评】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定与性质的综合运用．

20．请利用直尺与圆规用两种不同的方法作的平分线．（不写作法，保留作图痕迹）

【考点】作图—复杂作图

【分析】①以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，连接即可；②在，上截取，，，，使，，连接，，过交点和点作射线即可．

【解答】解：如图，的平分线即为所求．

【点评】本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本作图方法．

21．如图，在中，，垂足为，且．平分，且，垂足为，交于点．

（1）求证：；

（2）求证：．

【考点】直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质

【分析】（1）证明即可．

（2）证明，可得，由（1）知：，即可解决问题．

【解答】证明：（1），

，

平分，

，

在和中，

，

，

；

（2），，

，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

22．如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点．

（1）求证：为等腰三角形；

（2）已知，，求的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质

【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论；

（2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．

【解答】（1）证明：，

，

又平分，

，

又在和中

，

，

，

为等腰三角形；

（2）解：连接，

，平分，

垂直平分，

，

，

，

，

又，

，

又中，，

，

，

．

．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．

23．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知、、都是格点．

（1）小明发现是直角，请补全他的思路；

（2）请用一种不同于小明的方法说明是直角．

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答即可；

（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．

【解答】解：（1），，，

，

是直角三角形，

；

（2）过点作于，过作于，

由图可知：，，，

在和中，

，

，

，

在中，，

，

，

，，三点共线，

，

．

【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答．

24．如图1，在中，，点，分别在和上，且，则．

探究发现：

如图2，在中，仍然有条件“，点，分别在和上”．若，则与是否仍相等？若相等，请证明