江苏省苏州市景范中学2023-2024学年高二上数学期末联考试题含解析

江苏省苏州市景范中学2023-2024学年高二上数学期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.2．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（）A.当x增大时，θ先增大后减小 B.当x增大时，θ先减小后增大C.当d增大时，θ先增大后减小 D.当d增大时，θ先减小后增大3．若函数在上为单调增函数，则m的取值范围（）A. B.C. D.4．设数列、都是等差数列，若，则等于（）A. B.C. D.5．根据如下样本数据，得到回归直线方程，则x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A. B.C. D.6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件7．已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=18．某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元.设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）A. B.C. D.9．将一枚均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现两次点数为3的概率为（）A. B.C. D.10．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.11．设变量满足约束条件：，则的最小值（）A. B.C. D.12．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，有且只有一个零点，则实数的取值范围是_______.14．小明同学发现家中墙壁上灯光边界类似双曲线的一支.如图，P为双曲线的顶点，经过测量发现，该双曲线的渐近线相互垂直，AB⊥PC，AB=60cm，PC=20cm，双曲线的焦点位于直线PC上，则该双曲线的焦距为____cm.15．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.16．设实数、满足约束条件，则的最小值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为弘扬中华优秀传统文化，鼓励全民阅读经典书籍，某市举行阅读月活动，现统计某街道约10000人在该活动月每人每日平均阅读时间（分钟）的频率分布直方图如图：（1）求x的值；（2）从该街道任选1人，则估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率.18．（12分）设函数（1）若在处取得极值，求a的值；（2）若在上单调递减，求a的取值范围19．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，直线过与交于两点，的周长为8（1）求的方程；（2）过作直线交于两点，且向量与方向相同，求四边形面积的取值范围20．（12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直问题：已知直线过点M（3，5），且______（1）求的方程；（2）若与圆相交于点A、B，求弦AB的长21．（12分）如图，在直棱柱中，已知，点分别的中点.（1）求异面直线与所成的角的大小；（2）求点到平面的距离；（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是?若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.22．（10分）（1）某校运动会上甲、乙、丙、丁四名同学在100m、400m、800m三个项目中选择，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同学选报100m、400m、800m三个项目，每项均有一人报名，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同学争夺100m、400m、800m三项冠军，共有多少种可能的结果？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果【详解】因为，所以，即所以，由双曲线的定义，知，设，则，易得，如图，作，为垂足，则，所以，即，即双曲线的离心率为.故选：B2、C【解析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d=0，则，由函数的单调性可判断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数研究函数的单调性可判断.【详解】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，则，所以，，设平面AMN的法向量为，则，即，令，则，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，对于A，B选项，令d=0，则，显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；对于C，D，对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，当在下方时，，设，则对于给定的，为定值，此时设二面角为，二面角为，则二面角为，且，故，而，故即，当时，为减函数，故为增函数，当时，为增函数，故为减函数，故先增后减，故D错误.当在上方时，，则对于给定的，为定值，则有二面角为，且，因，故为增函数，故为减函数，综上，对于给定的，随的增大而减少，故选：C.3、B【解析】用函数单调性确定参数，使用参数分离法即可.【详解】，在上是增函数，即恒成立，；设，；∴时，是增函数；时，是减函数；故时，，∴；故选：B.4、A【解析】设等差数列的公差为，根据数列是等差数列可求得，由此可得出，进而可求得所求代数式的值.【详解】设等差数列的公差为，即，由于数列也为等差数列，则，可得，即，可得，即，解得，所以，数列为常数列，对任意的，，因此，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的求解，通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键，另外，在求解有关等差数列基本问题时，可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.5、B【解析】作出散点图，由散点图得出回归直线中的的符号【详解】作出散点图如图所示．由图可知，回归直线＝x＋的斜率＜0，当x＝0时，＝＞0.故选B【点睛】本题考查了散点图的概念，拟合线性回归直线第一步画散点图，再由数据计算的值6、B【解析】根据垂直关系的性质可判断.【详解】由题，，则或，若，则或或与相交，故充分性不成立；若，则必有，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.7、A【解析】由题意得，双曲线的焦距为，即，又双曲线的渐近线方程为，点在的渐近线上，所以，联立方程组可得，所以双曲线的方程为考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质8、D【解析】设该设备第年的营运费为万元，利用为等差数列可求年平均盈利额，利用基本不等式可求其最大值.【详解】设该设备第年的营运费为万元，则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，则该设备使用年的营运费用总和为，设第n年的盈利总额为，则，故年平均盈利额为，因为，当且仅当时，等号成立，故当时，年平均盈利额取得最大值4.故选：D.【点睛】本题考查等差数列在实际问题中的应用，注意根据题设条件概括出数列的类型，另外用基本不等式求最值时注意检验等号成立的条件.9、D【解析】利用次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率计算公式直接求解.【详解】解：将一枚均匀的筛子先后抛掷3次，每次出现点数为3的概率都是至少出现两次点数为3的概率为：故选：D10、D【解析】由在上恒成立，再转化为求函数的取值范围可得【详解】由已知，在上是增函数，则在上恒成立，即，，当时，，所以故选：D11、D【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，当经过A时，的最小值为-8，故选D.12、A【解析】构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.【详解】设，则，∴在R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题知方程，，有且只有一个零点，进而构造函数，利用导数研究函数单调性与函数值得变化情况，作出函数的大致图像，数形结合求解即可.【详解】解：因为函数，，有且只有一个零点，所以方程，，有且只有一个零点，令，则，，令，则所以为上的单调递减函数，因为，所以当时，；当时，；所以当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，且，时，，故的图像大致如图所示，所以方程，，有且只有一个零点等价于或.所以实数的取值范围是故答案为：14、【解析】建立直角坐标系，利用代入法、双曲线的对称性进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐标系，设双曲线的标准方程为：，因为该双曲线的渐近线相互垂直，所以，即，因为AB=60cm，PC=20cm，所以点的坐标为：，代入，得：，因此有，所以该双曲线的焦距为，故答案为：15、【解析】参变分离，可得，设，求导分析单调性，可得，即得解【详解】因为，所以不等式可化为，设，则，设，由于故在上单调递增，且，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，则，即.故答案为：16、2【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线后可得目标函数的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：将初始直线平移至点时，可取最小值，由可得，故，故答案为：2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）0.7【解析】（1）利用概率和为1计算可得的值；（2）求频率分布直方图中每人每日平均阅读时间超过60分钟的概率即为这个人阅读时间超过60分钟的概率.【小问1详解】由得【小问2详解】，估计这个人的每日平均阅读时间超过60分钟的概率为18、（1）（2）【解析】(1)对求导,再根据题意有,据此列式求出;(2)由题可知对恒成立,即对恒成立,因此求出在区间上的最小值即可得出结论.【详解】(1),则,因为在处取得极值,所以,解得,经检验,当时,在处取得极值;(2)因为在上单调递减,所以对恒成立,则对恒成立,∵当时,,∴,即a的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用函数的单调性与极值求参,需要学生对相关基础知识牢固掌握且灵活运用.19、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件直接求出半焦距，及长半轴长即可作答.(2)根据给定条件结合椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，设出直线l的方程，与椭圆C的方程联立，借助韦达定理、对勾函数性质计算作答.【小问1详解】依题意，椭圆半焦距，由椭圆定义知，的周长，解得，，因此椭圆的方程为.【小问2详解】依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，由消去并整理得：，则，，因与方向相同，即，又椭圆是以原点O为对称中心的中心对称图形，于是得，即四边形为平行四边形，其面积，则，令，则，则，显然在上单调递增，则当时，，即，从而可得，所以四边形面积的取值范围为.【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积20、（1）（2）【解析】(1)可依次根据直线方程的点斜式、“两直线平行，斜率相等”、“两直线垂直，斜率相乘为－1”求直线l的方程；(2)利用垂径定理即可求圆的弦长.【小问1详解】选条件①：∵直线过点(3，5)及(－1，2)，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即；选条件②：∵直线的斜率为，直线与直线平行，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为；即；选条件③：∵直线的斜率为，直线与直线垂直，∴直线的斜率为，依题意，直线的方程为，即；【小问2详解】圆心为(2，3)，半径为2，圆心到直线的距离为∴21、（1）（2）（3）不存在，理由见解析【解析】（1）由题意，以点A为原点，方向分别为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.，利用向量法求解异面直线成角即可.（