以三次函数为背景下的高考文科数学压轴题的解法探究

以三次函数为背景下的高考文科数学压轴题的解法探究高中数学教师欧阳文丰近年来不少高考文科数学压轴题都是以三次函数为载体来考察导数知识的应用。从这些试题来看，考查的切入点大多是以导数的几何意义、最值、单调性，通过不等式恒成立等问题的形式，进一步考查数形结合、分类讨论等数学思想。三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数，这类问题的难点是研究其中的参数的取值范围。破解难点的方法是对三次函数求导后,化归成二次函数,通过二次函数根的分布求解,或利用数形结合思想画出函数的极大值、极小值后进行对比分析，求出参数的取值范围。解三次函数的问题，可借助导数工具进行研究，推进了二次函数性质的深化与二次函数方法的研究。对三次函数而言，重点掌握三次函数的4种图象。1、函数单调性、极值点个数情况。=，记=，（其中x1,x2是方程=0的根，且x1<x2）a>0a<0>00>00单调性在上,是增函数；在上,是减函数；在R上是增函数在上，是增函数；在上，是减函数；在R上是减函数极值点个数20202、三次函数的最值问题。函数若，且，则：；。下面以近年高考文科数学压轴题几个试题为例，具体解析运用导数工具来研究函数的高考数学命题意图。例题1（2011全国卷1高考文数21）已知函数(Ⅰ)证明：曲线（Ⅱ）若求a的取值范围.【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.解：（I）由得曲线在x=0处的切线方程为由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2）（II）由得.（i）当时，没有极小值；(ii)当或时，由得故.由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是例题2（2014全国卷2高考文数21）已知函数，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k<1时，曲线与直线只有一个交点。解：（Ⅰ），曲线在点（0，2）处的切线方程为由题设得，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设由题设知当时，，单调递增，，所以在（-1，0）有唯一实根。当时，令，则在单调递减，在单调递增，所以所以在没有实根。综上在R由唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。例题3（2010天津卷文20）已知函数f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-f(x)极大值当等价于， 解不等式组得-5<a<5.因此.若a>2，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）>0等价于即，解不等式组得或.因此2<a<5.综合（1）和（2），可知a的取值范围为0<a<5.附：练习题1、（2010全国Ⅱ卷文21）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。2、（2010北京卷18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。3、（2009江西卷）设函数．（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．附练习题答案：解:①式无解，②式的解为，因此的取值范围是.2、解：由得因为的两个根分别为1,4，所以（*）（Ⅰ）当时，又由（*）式得解得又因为曲线过原点，所以故（Ⅱ）由于a>0,所以“在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“在（-∞，+∞）内恒成立”。由（*）式得。又解得即的取值范围3、解：(1),因为,,即恒成立,所以,得，即的最大值为