上海市浦东新区2023年届高三数学上学期期末质量抽测试卷

浦东区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷〔含答案〕 2016.1留意：1.答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.2.32150130一、填空题〔本大题共有1236〕只要求直接填写结果，每个空格填对得3则一律得零分. 集合A=xx3,B xx2，则AICR

B 2,3r

r(1,m)

m 1向量a

2,1,b

平行，则22x3y1 2 3 x,y x 2y 2

的系数矩阵1 3n13n12n3n2n1计算：lim 3nizizz满足

12i

0〔i为虚数单位，则z 52x110的二项开放式中的第八项为960x3某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30方向，与A相距6.0海里.船由A向正北方向航行8.1海里到达C处，这时灯塔B与船相距 4.2 海里〔准确到0.1海里〕34 3 3 34 38．cos( ) , , ，则sin 232 5 1023 如图，正方体ABCDABCD

，AA

2，E为棱CC D C11 1 1 1 11 1的中点，则AE 与平面B1

BCC1

所成的角为AE1 BE2 5512 55arctan

〔arcsin2，arccos 〔结果用反三角表示〕3D5 33DCAf(x)g(x)2xyx对AB称，令h(x)f(1x，则关于函数h(x)有以下命题：①h(x)的图像关于原点对称； ②h(x)的图像关于y轴对称；③h(x)的最大值为0； ④h(x)在区间(1,1)上单调递增。其中正确命题的序号为 ②③ 〔写出全部正确命题的序号。r

ur 有一列向量a

：a(x,y

(x,y

(x,y

),假设从其次项起，每一项n 1 1 1 2 2

n n

r与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列。等差向量列a ，满ur

r n1

(18,15)an

中模最小的向量的序号n 4或5。fx2sinx,gx3x1,则fx与gx图像交点的横坐标之和为 17 .二、选择题〔本大题共有1236分〕每题都给出四个选项，其中有且只有一个选项313．假设ab0，那么以下不等式中正确的选项是„„„„„„„„„„„„„〔B〕1 1 1 1aa(A) (B) (C)abb2 (D)a2abaab b14．设:x1且y2，:xy3，是成立的„„„„„„„„„„〔A 〕) 充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件方程kx24y2

4kx轴的椭圆，则实数k的取值范围是„„„„〔D〕(A)k4 (B)k4 (C)k4 (D)0k4甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是„„„„〔C 〕4)14

13

)1

126直线axby0与圆x2y2axby0的位置关系是„„„„„„„„„〔B 〕26)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不能确定5〔单位：分钟〕分别为x,y,10,11,9，这组数据的平均102，则xy的值为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„〔A〕(A)4 (B)3 (C)2 (D)119．f(x)(xRf(x)f(xsinx，当0xf(x)0，则6

)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„〔A〕23(A)1 (B) (C)0 (D)1232 2S SS S4 20．假设底面直径和高相等的圆柱的侧面积是SS SS S4 S SS S2 (S SS S2

(B)

(C)

(D)2 4函数f(x)存在反函数f1(xyfx1过点3,3，则函数f1x恒过点„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„〔B〕(A)4,3 (B)3,4 (C)3,2 (D)2,345一个弹性小球从1054上一次高度的5

处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„〔C 〕(A)50 (B)80 (C)90 (D)100SRf(x)f(x)a〔常数a0，④f(x)在(0,)上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自

f(x

)df

(x)2aarctanx ，f

axx(x) ，0 xa1x

x0

12x1

2 x21f(x) 0

(x)a

S函数”的个数为„„„„〔D〕3 xax

4x0

2x

1(A) 1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六r

段后可以形成一正六角星，如下图的正六角星的中心为点Ox,y分别为点O到两个顶点的向量.假设将点O12r r个顶点的向量，都写成为axby的形式，则ab的最大值为〔C〕(A) 3 (B)4 (C)5 (D)6FEO三、解答题〔878〕解答以下各题必需写出必要的步骤．FEO25〔此题总分值8分〕OAOB,OC交与点OAD//BCOC的中点.DE//AOC．

C1OBEF分别2B证明在OBC中由于E,F分别为BC,OC的中点，A D1FE//

OB„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分21又由于AD// OB，所以由平行公理和等量代换知，FE//AD，2所以四边形ADEF 是平行四边形„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分DE//AF„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分又由于AF 平面AOC，所以DE//平面AOC„„„„„„„„„„„„„8分26〔此题总分值8分〕6f(x)2sinxyf(x)的图像向右平移6

个单位，再把横坐标缩短到2原来的1〔纵坐标不变，得到函数yg(x)的图像，求函数yg(x)的解析式，并写出它2的单调递增区间．6yf(x)，yf(x)的图像向右平移6

y2sin(x

„„2分6再把横坐标缩短到原的

1 6〔纵坐标不变，得到g(x)2sin(2x )。„„„„„„4分626322632由2k2

2x

2k

kZ，可得k

xk

,kZ66yg(x)的单调递增区间为k66

,k

kZ„„„„„„„„„„„„8分3327〔此题总分值8分，第1小题4分、第2小题4分〕r r 两个向量ar r

1log2

x,log 2

,b

log2

x,1〔1〕假设abx的值；r r 1 〔2〕求函数f(x)ab,x4,2的值域。r r〕Qa

log2

xlog2

xlog2

x0log2

x(log2

x2)0log2

x0或log2

x24x1或x1为所求的解；„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分4〔2〕f(x)log2

x(log2

2

x21Qx1 log

4,2, 2log2

x11,2log2

x20,4所以值域为1,3。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分n28〔此题总分值10分，第1小题4分、第2小题6n1数列1

的前nS

3n2 n，求an

n 2 2的通项公式a；n当n2a3

an1an1

恒成立，求的取值范围.解:〔1〕QS n

n2 n22 2a Sn

Sn1

n2

„„„„„„„„„„„„„„„„2分n1时也成立,a11na 3n2naa

〔2〕a

n1

3n1

3n23(n3n23(n1)3(n3(n1)n

3nb 3nn1

42203(n1)3(n1)n 2

28,28.3329〔此题总分值14分，第1小题4分、第2小题5分、第3小题5分〕33在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,yaxaxbyc0 0a2b2

)、直线l:axbyc0 P(xy0 0x2

到直线l:axbyc0的方向距离。4设椭圆 y21上的任意一点P(x,y)到直线l41

:x2y0,l2

:x2y0的方向距离分别为1 2

，求1 2

的取值范围。设点E(t,0F(t,0到直线lxcos2ysin20的方向距离分别为、1 ，试问是否存在实数t，对任意的都有2 1

1成立？假设存在，求出t的值；不存在，说明理由。a2lmxyn0Exa2

1〔ab0，设椭圆E的b2Fb2

到直线l的方向距离分别为、

满足

b2，且直线lx轴的交点为1 2 1 2 1 2A、与y轴的交点为B，试比较AB 的长与ab的大小。44x2 x2441〕由点P(x,y)在椭圆

1y2

1由题意 1

x2y5、52

x2y，于是51 25

2x245 „„„„„„2分554 4555又2x2得0x24，即 551 2

„„„„„„„„„„„„„„„„4分2(x24y2) 8 4 4〔也可以先求出21

2

，再利用根本不等式易得 〕5555 1 2555假设存在实数t，满足题设，由题意1

tcos2 (t(tcos2)(tcos2)cos24sin2cos24sin2

tcos2cos2cos24sin2于是1 2

1„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分34t2cos2cos24sin2(3t2cos20对任意的都成立只要3t20即可，所以t3故存在实数tt

，对任意的都有31 23

1成立。„„„„„„„„„„„9分x24〔学生通过联想，推断直线xcos2ysin20是椭圆 y21的切线，又证明43 b2从而得到t31 2

也给分〕FF

的坐标分别为(c,0、(c,0，于是c2a2b21 2mcn mcn n2m2c21m211m21m21 n

于是11m2m2nm2

m2a2m又A( ,0)，B(0,n)即|AB|2m

n2„„„„„„„„„„„„„„„„„12分m2n2 bm2m2所以 n2a2m2

b2

m2a2

b2

2ab(ab)2综上AB ab„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分30〔此题总分值6分〕A(1,0)B(1,0)，点Cx轴正半轴上，过线段BC的nDi

BCLiPiyA(LiPiyA(1,0)O B(1,0)D D1 2D3D iDn1Cxi iP使APB取得最大值的位置 记 作 Pi〔i1,2,3,L,n1在一条圆锥曲线，对任意的正整 数 n2 ， 点P(i1,2,n1)都在这条i曲线上？说明理由。解：存在一条双曲线，对任意的正整数n2，点P(i1,2, ,n1)都在这条双曲线上„„1i分A(1,0),B(1,0)，设|BC|bP(x,yx1,y0xib，nx1APBPBCx1x1tanx1

y ，tanPBC y所以tanAPB2(2(x1)(x1)y

(x1)(x1)yxyx1 x1y1y2y当i1,2,3, ,n1肯定时，xy(x1)(x2)所以(x1)(xy(x1)(x2)

i|BC|为常数n此时tanAPB取得最大值，„„„„„5y当且仅当(x1)(x1)y时等号成立，yx2y2

1x1,y0P在一条双曲线上。„„„„6i31121324351,x0定义符号函数sgnx1,x0 .a,bR,fxxxasgnx11,x0f2f(1)关于af2f(1)的最小值.当b1fx在0,1上有唯一零点，求a的取值范围.2存在afx0x1,2恒成立，求b的取值范围.a3,a2〕Qf(2)f(1)22ab1ab22a1aa5,1a2，3a,a1f2f(1)最小值为1。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分〔2〕当b

xxa1,x11时，fx 2

x0,1fxxxa1。2 xxa

1,x1 2 2fxxxa1

0xxa

1。xa

1„„„„„„5分gxxah(x)

2 2 2x2x1。在同一坐标系中分别作出这两个函数在0,12x 1 3 由图像可得a,2 2 2,.„„„„„„„„„„„„„„„„7分 〔3〕x1,2fxxxabfx0xab，x所以b0b

x1,2恒成立，x xxbaxbx1,2恒成立，x xg(x)xbx1,2的最大值和h(x)xbx1,2x xgxmax

hx 。minQb0,gxxb在x1,2上单调递增，所以gx g22b。x max 2对于函数h(x)xbx1,2时，hx

1b,1b02 b4b1.„„10分〔i〕

xb1,2

min

b2 ,b4b 22b1b 3 2 4b1b 〔ii〕 4bb 222b4〔iii〕 b 222b2

b4。„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分3 3 3212142325b1

a1 1a 两个无穷数列a ,b 分别满足 1a

，b

，其中nN*，设数n n a n1 n

2 n12bn列an

n

的前n项和分别为S,T，n nn

n

n

n

的通项公式；假设数列满足存在唯一的正整数k〔k2使得c c 称数列“k坠n k k1 n点数列”①假设数列an

为“5S；n②假设数列an

n

q坠点数列”，是否存在正整数m，使Sm1

T，假设存在，求m的最大值；假设不存在，说明理由。m解答：

,b

a

a 2，b

2b,b

2b

,nN，n n n1