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文档简介
吉林省白山市抚松县六中2024届数学高二上期末综合测试模拟试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若双曲线的离心率为3,则的最小值为()A. B.1C. D.22.已知数列是首项为,公差为1的等差数列,数列满足.若对任意的,都有成立,则实数的取值范围是()A., B.C., D.3.若双曲线(,)的焦距为,且渐近线经过点,则此双曲线的方程为()A. B.C. D.4.已知抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6,且该抛物线的准线与双曲线(,)的两条渐近线所围成的三角形面积为,则双曲线C的离心率为()A.3 B.4C.6 D.95.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手”,其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的()A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要6.已知点P是圆上一点,则点P到直线的距离的最大值为()A.2 B.C. D.7.空间四点共面,但任意三点不共线,若为该平面外一点且,则实数的值为()A. B.C. D.8.已知等比数列的前n项和为,若,,则()A.250 B.210C.160 D.909.已知直线l1:ax+2y=0与直线l2:2x+(2a+2)y+1=0垂直,则实数a的值为()A.﹣2 B.C.1 D.1或﹣210.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为3,则点到另一焦点的距离为()A.1 B.3C.5 D.711.已知各项都为正数的等比数列,其公比为q,前n项和为,满足,且是与的等差中项,则下列选项正确的是()A. B.C D.12.向量,向量,若,则实数()A. B.1C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.有公共焦点,的椭圆和双曲线的离心率分别为,,点为两曲线的一个公共点,且满足,则的值为______14.设椭圆,点在椭圆上,求该椭圆在P处的切线方程______.15.已知抛物线的焦点坐标为,则该抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是___________.16.若“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,则a的最小值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某项目的建设过程中,发现其补贴额x(单位:百万元)与该项目的经济回报y(单位:千万元)之间存在着线性相关关系,统计数据如下表:补贴额x(单位:百万元)23456经济回报y(单位:千万元)2.5344.56(1)请根据上表所给的数据,求出y关于x的线性回归直线方程;(2)为高质量完成该项目,决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀,3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人,用X表示抽取的3人中考核优秀的人数,求随机变量X的分布列与期望.参考公式:18.(12分)如图,已知顶点,,动点分别在轴,轴上移动,延长至点,使得,且.(1)求动点的轨迹;(2)过点分别作直线交曲线于两点,若直线的倾斜角互补,证明:直线的斜率为定值;(3)过点分别作直线交曲线于两点,若,直线是否经过定点?若是,求出该定点,若不是,说明理由.19.(12分)如图,在正方体中,为的中点,点在棱上(1)若,证明:与平面不垂直;(2)若平面,求平面与平面的夹角的余弦值20.(12分)已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.(1)求C的方程;(2)过点的直线l交C于A,B两点,且N为线段的中点,求直线l的方程.21.(12分)在2021年“双11”网上购物节期间,某电商平台销售了一款新手机,现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”,从购买了该款手机的顾客中抽取1000人,每人在规定区间内给出一个“满意度”分数,评分在60分以下的视为“不满意”,在60分到80分之间(含60分但不含80分)的视为“基本满意”,在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按,,,,分成5组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.(2)若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人,再从这20人中随机抽取3人,记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.①写出X的分布列,并求数学期望;②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴,其他被调查者将获得50元话费补贴,请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.22.(10分)已知直线l:,圆C:.(1)当时,试判断直线l与圆C的位置关系,并说明理由;(2)若直线l被圆C截得的弦长恰好为,求k的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由双曲线的离心率为3和,求得,化简,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,双曲线的离心率为3,即,即,又由,可得,所以,当且仅当,即时,“”成立.故选:D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略:1、利用基本不等式求最值时,要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件;2、若多次使用基本不等式时,容易忽视等号的条件的一致性,导致错解;3、巧用“拆”“拼”“凑”:在使用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.2、D【解析】由等差数列通项公式得,再结合题意得数列单调递增,且满足,,即,再解不等式即可得答案.【详解】解:根据题意:数列是首项为,公差为1的等差数列,所以,由于数列满足,所以对任意的都成立,故数列单调递增,且满足,,所以,解得故选:3、B【解析】根据题意得到,,解得答案.【详解】双曲线(,)的焦距为,故,.且渐近线经过点,故,故,双曲线方程为:.故选:.【点睛】本题考查了双曲线方程,意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.4、A【解析】由题意求得抛物线的准线方程为,进而得到准线与双曲线C的渐近线围成的三角形面积,求得,再结合和离心率的定义,即可求解.【详解】由题意,抛物线上一横坐标为5的点到焦点的距离为6,根据抛物线定义,可得,即,所以抛物线的准线方程为,又由双曲线C的两条渐近线方程为,则抛物线的准线与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积为,解得,又由,可得,所以双曲线C的离心率.故选:A.5、B【解析】由题意,“不破楼兰”可以推出“不还”,但是反过来“不还”的原因有多种,按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意,“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件,即“不破楼兰”可以推出“不还”,但是反过来“不还”的原因有多种,比如战死沙场;即如果已知“还”,一定是已经“破楼兰”,所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选:B6、C【解析】求出圆心到直线的距离,由这个距离加上半径即得【详解】由圆,可得圆心坐标,半径,则圆心C到直线的距离为,所以点P到直线l的距离的最大值为.故选:C7、A【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间四点共面,但任意三点不共线,,解得:.故选:A.8、B【解析】设为等比数列,由此利用等比数列的前项和为能求出结果【详解】设,等比数列的前项和为为等比数列,为等比数列,解得故选:B9、B【解析】由题意,利用两直线垂直的性质,两直线垂直时,一次项对应系数之积的和等于0,计算求得a的值【详解】∵直线l1:ax+2y=0与直线l2:2x+(2a+2)y+1=0垂直,∴a×2+2×(2a+2)=0,求得a=﹣,故选:B10、D【解析】由椭圆的定义可以直接求得点到另一焦点的距离.【详解】设椭圆的左、右焦点分别为、,由已知条件得,由椭圆定义得,其中,则.故选:.11、D【解析】根据题意求得,即可判断AB,再根据等比数列的通项公式即可判断C;再根据等比数列前项和公式即可判断D.【详解】解:因为各项都为正数的等比数列,,所以,又因是与的等差中项,所以,即,解得或(舍去),故B错误;所以,故A错误;所以,故C错误;所以,故D正确.故选:D.12、C【解析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为向量,向量,若,则,解得:,故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】可设为第一象限的点,,,求出,,化简即得解.【详解】解:可设为第一象限的点,,,由椭圆定义可得,由双曲线的定义可得,可得,,由,可得,即为,化为,则故答案为:414、【解析】由题意可知切线的斜率存在,所以设切线方程为,代入椭圆方程中整理化简,令判别式等于零,可求出的值,从而可求得切线方程【详解】由题意可知切线的斜率存在,所以设切线方程为,将代入中得,,化简整理得,令,化简整理得,即,解得,所以切线方程为,即,故答案为:15、【解析】根据题意,求得,得到焦点坐标,结合抛物线的定义,得到,根据,求得,即可求解.【详解】由抛物线的焦点坐标为,可得,解得,设抛物线上的任意一点为,焦点为,由抛物线的定义可得,因为,所以,所以抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是.故答案为:.16、3【解析】解出不等式x2-x-6>0,由“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,求出a的最小值.【详解】由x2-x-6>0,解得x<-2或x>3.因为“x2-x-6>0”是“x>a”的必要不充分条件,所以{x|x>a}是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a≥3,故答案为:3.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的应用,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)分布列答案见解析,数学期望:【解析】(1)根据表中的数据和公式直接求解即可,(2)由题意可知,的可能取值为0,1,2,3,然后求各自对应的概率,从而可求得分布列和期望【小问1详解】.,...【小问2详解】由题意可知,的可能取值为0,1,2,3.,,分布列为0123.18、(1);(2)证明见解析;(3).【解析】(1)设点M,P,Q的坐标,将向量进行坐标化,整理即可得轨迹方程;(2)设点,,直线的倾斜角互补,则两直线斜率互为相反数,用斜率公式计算得到,即可计算kAB;(3)若,由两直线斜率积为-1,可得到关于与的等量关系,写出直线AB的方程,将等量关系代入直线方程整理可得直线AB经过的定点【详解】(1)设,,.由,得,即.因为,所以,所以.所以动点的轨迹为抛物线,其方程为.(2)证明:设点,,若直线的倾斜角互补,则两直线斜率互为相反数,又,,所以,,整理得,所以.(3)因为,所以,即,①直线的方程为:,整理得:,②将①代入②得,即,当时,即直线经过定点.【点睛】本题考查直接法求轨迹方程,考查直线斜率为定值的求法和直线恒过定点问题.19、(1)证明见解析(2)【解析】(1)设正方体的棱长为,以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,计算出,即可证得结论成立;(2)利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.【小问1详解】证明:以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为,则、、、,由得点的坐标为,,,因为,所以与不垂直,所以与平面不垂直【小问2详解】解:设,则,,因为平面,所以,所以,得,且,即,所以,,设平面的法向量为,由,取,可得,因为平面,所以平面的一个法向量为,所以,所以平面与平面所成夹角的余弦值为20、(1)(2)【解析】(1)根据抛物线的定义可得,求得,即可得出答案;(2)设,利用点差法求出直线l的斜率,再利用直线的点斜式方程即可得出答案.【小问1详解】解:由抛物线定义可知:,解得:,∴C的方程为;【小问2详解】解:设,则,两式作差得,∴直线l的斜率,∵为的中点,∴,∴,∴直线l的方程为,即(经检验,所求直线符合条件).21、(1)65分(2)①分布列答案见解析,数学期望:;②172.5元【解析】(1)由图可知中位数在第二组,则设中位数为,从而得,解方程可得答案,(2)①由题意可求得“不满意”与“基本满意”的用户应抽取17人,“非常满意”的用户应抽取3人,则X的可能取值分别为0,1,2,3,然后求出对应的概率,从而可求得其分布列和期望,②设这3人获得的话费补贴总额为Y,则,然后由①结合期望的性质可求得答案【小问1详解】这1000人中对该款手机“非常满意”的人数为.由频率分布直方图可得,得分的中位数为,则,解得,所以中位数为65分.【小问2详解】①若按“满意度”采用分层抽样的方法
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