吉林省2024届高二数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析

吉林省2024届高二数学第一学期期末复习检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A.y=±2x B.y=C. D.2．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（）A. B.C. D.3．已知数列是公差为等差数列，，则（）A.1 B.3C.6 D.94．德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列，则（）A.96 B.97C.98 D.995．已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（）①曲线关于坐标原点对称；②曲线是一个椭圆；③曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.A.① B.①②C.③ D.①③6．若椭圆与直线交于两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则A. B.C. D.27．按照小李的阅读速度，他看完《三国演义》需要40个小时.2021年12月20日，他开始阅读《三国演义》，当天他读了20分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完《三国演义》的日期为（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日8．一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A.5800 B.6000C.6200 D.64009．若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（）A. B.C. D.10．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）海里.A. B.C. D.1011．已知过点的直线l与圆相交于A，B两点，则的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知实数、满足，则的最大值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.14．已知直线l：和圆C：，过直线l上一点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为______15．数据6，8，9，10，7的方差为______16．已知，命题p：，；命题q：，，且为真命题，则a的取值范围为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,，,，为等边三角形.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.18．（12分）如图，四棱锥中，平面、底面为菱形，为的中点.（1）证明：平面；（2）设，菱形的面积为，求二面角的余弦值.19．（12分）已知函数（1）求f(x)在点处的切线方程；（2）求证：20．（12分）设命题p：实数x满足，其中；命题q：若，且为真，求实数x的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围21．（12分）进入11月份，大学强基计划开始报名，某“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图2所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值和中位数；(每组数据用该组的区间中点值表示)（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加强基计划考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这3人中含文科生的概率.22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若与相交于A、两点，设，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.2、C【解析】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是三好学生，求出和，利用条件概率公式计算即可求解.【详解】设事件表示“选上的学生是男生”，事件表示“选上的学生是‘三好学生’”，则所求概率为.由题意可得：男生有人，“三好学生”有人，所以“三好学生”中男生有人，所以，，故.故选：C.3、D【解析】结合等差数列的通项公式求得.【详解】设公差，.故选：D4、C【解析】令，利用倒序相加原理计算即可得出结果.【详解】令，，两式相加得：，∴，故选:C5、D【解析】对于①在方程中换为，换为可判断；对于②分析曲线的图形是两个抛物线的部分组成的可判断；对于③在第一象限内，分析椭圆的图形与曲线图形的位置关系可判断.【详解】在曲线的方程中，换为，换为，方程不变，故曲线关于坐标原点对称所以①正确,当时，曲线的方程化为，此时当时，曲线的方程化为，此时所以曲线图形是两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故②不正确.当，时，设，设，则，（当且仅当或时等号成立）所以在第一象限内，椭圆的图形在曲线的上方.根据曲线和椭圆的的对称性可得椭圆的图形在曲线的外部（四个顶点在曲线上）所以曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积，故③正确.故选：D6、D【解析】细查题意，把代入椭圆方程，得，整理得出，设出点的坐标，由根与系数的关系可以推出线段的中点坐标，再由过原点与线段的中点的直线的斜率为，进而可推导出的值.【详解】联立椭圆方程与直线方程，可得，整理得，设，则，从而线段的中点的横坐标为，纵坐标，因为过原点与线段中点的直线的斜率为，所以，所以，故选D.【点睛】该题是一道关于直线与椭圆的综合性题目，涉及到的知识点有直线与椭圆相交时对应的解题策略，中点坐标公式，斜率坐标公式，属于简单题目.7、B【解析】由等差数列前n项和列不等式求解即可.【详解】由题知，每天的读书时间为等差数列，首项为20，公差为10，记n天读完.则40小时=2400分钟，令，得或（舍去），故，即第21天刚好读完，日期为2022年1月9日.故选：B8、D【解析】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时,中位数为(5300+5500)÷2=5400，当另外两名员工的工资都大于5300时,中位数为(6100+6500)÷2=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400,6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400.本题选择D选项.9、C【解析】利用圆与圆的位置关系进行求解即可.【详解】将圆C的方程化为标准方程得，所以．因为圆C上有到的距离为1的点，所以圆C与圆：有公共点，所以因为，所以，解得，故选：C10、C【解析】分别在和中，求得的长度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因为，所以，在中，由余弦定理可得，所以.故选：C.11、D【解析】经判断点在圆内，与半径相连，所以与垂直时弦长最短，最长为直径【详解】将代入圆方程得：，所以点在圆内，连接，当时，弦长最短，，所以弦长，当过圆心时，最长等于直径8，所以的取值范围是故选：D12、A【解析】作出可行域，利用代数式的几何意义，利用数形结合可求得的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立可得，即点，代数式的几何意义是连接可行域内一点与定点连线的斜率，由图可知，当点在可行域内运动时，直线的倾斜角为锐角，当点与点重合时，直线的倾斜角最大，此时取最大值，即.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.【详解】由是等差数列且，可知：，故.，数列的前2021项和为.故答案为：.14、1【解析】求出圆C的圆心坐标、半径，再借助圆的切线性质及勾股定理列式计算作答.【详解】圆C：，圆心为，半径，点C到直线l的距离，由圆的切线性质知：，当且仅当，即点P是过点C作直线l的垂线的垂足时取“=”，所以的最小值为1故答案为：115、2【解析】首先求出数据的平均值，再应用方差公式求它们的方差.【详解】由题设，平均值为，∴方差.故答案为：2.16、【解析】先求出命题p,q为真命题时的a的取值范围，根据为真可知p,q都是真命题,即可求得答案.【详解】命题p：，为真时，有，命题q：，为真时，则有，即，故为真命题时，且，即，故a的取值范围为，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）略；（2）【解析】（1）推导出BD⊥BC，PB⊥BC，从而BC⊥平面PBD，由此能证明PD⊥BC．（2）利用等体积求得点B到面的距离【详解】（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，DC＝2AD＝2AB＝2，∠DAB＝∠ADC＝90°，PB，△PDC为等边三角形∴BC＝BD，∴BD2+BC2＝CD2，PB2+BC2＝PC2，∴BD⊥BC，PB⊥BC，∵BD∩PB＝B，∴BC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴PD⊥BC（2）由（1）知，，故故得点B到面PCD的距离为【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查点面距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）连接交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据题意，求得菱形的边长，取中点，可证，如图建系，求得点坐标及坐标，即可求得平面的法向量，根据平面PAD，可求得面的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】（1）连接交于点，连接，则、E分别为、的中点，所以，又平面平面所以平面（2）由菱形的面积为，，易得菱形边长为，取中点，连接，因为，所以，以点为原点，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.则所以设平面的法向量，由得，令，则所以一个法向量，因为，，所以平面PAD，所以平面的一个法向量所以，又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.19、（1）；（2）证明见解析【解析】（1）求导，进而得到，，写出切线方程；（2）将转化为，设，，利用导数法证明.【详解】（1）函数的定义域是，可得又，所以f(x)在点处的切线方程为整理得（或斜截式方程）（2）要证只需证因为，所以不等式等价于设，，；所以在单调递减，在单调递增故又，；所以在单调递增，在单调递减故因为且两个函数的最值点不相等所以有，原不等式得证20、(1)(2)【解析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；写出命题所对应的集合，命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式组可求解【详解】解：(1)由，其中；解得，又，即，由得：，又为真，则，得：，故实数x的取值范围为；由得：命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，A是B的真子集，所以，即故实数m取值范围为：.【点睛】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题21、（1）平均值为74.6分，中位数为75分；（2）.【解析】(1)利用频率分布直方图平均数和中位数算法直接计算即可；(2)将学生编号，用枚举法求解即可.【小问1详解】依题意可知：∴综合素质成绩的平均值为74.6分.由图易知∵分数在50~60、60~70、70~80的频率分别为0.12、0.18、0.40，∴中位数在70~80之间，设为，则，解得，∴综合素质成绩的中位数为75分.【小问2详解】设这6名同学分别为，，，，1，2，其中设1，2为文科生，从6人中选出3人，所有的可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，