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文档简介
吉林省长春八中2023-2024学年数学高二上期末检测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则k的取值范围是()A. B.C. D.2.已知双曲线的两个焦点为,,是此双曲线上的一点,且满足,,则该双曲线的方程是()A. B.C. D.3.下列命题正确的是()A经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面4.为迎接第24届冬季奥运会,某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者,每个比赛项目至少安排1人,每人只能安排到1个项目,则所有排法的总数为()A.60 B.120C.150 D.2405.已知双曲线的离心率为5,则其标准方程为()A. B.C. D.6.已知双曲线的右焦点为F,则点F到其一条渐近线的距离为()A.1 B.2C.3 D.47.函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.8.焦点坐标为,(0,4),且长半轴的椭圆方程为()A. B.C. D.9.已知等比数列的各项均为正数,且,则()A. B.C. D.10.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若,,,则的最小覆盖圆的半径为()A. B.C. D.11.已知函数的导数为,且满足,则()A. B.C. D.12.直线与圆的位置关系是()A.相切 B.相交C.相离 D.不确定二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100,200,150,50件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取___________件14.已知函数,若存在唯一零点,则的取值范围是__________.15.已知命题:方程表示焦点在轴上的椭圆;命题:方程表示双曲线.若为真,则实数的取值范围为______.16.若p:存在,使是真命题,则实数a的取值范围是______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线C:上一点到焦点F的距离为2(1)求实数p的值;(2)若直线l过C的焦点,与抛物线交于A,B两点,且,求直线l的方程18.(12分)已知数列的前项和分别是,满足,,且.(1)求数列的通项公式;(2)若数列对任意都有恒成立,求.19.(12分)已知椭圆的焦距为,点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A,B两点.(1)求该椭圆的方程;(2)若点P为直线上的动点,记直线PA,PM,PB的斜率分别为,,.求证:,,成等差数列.20.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别是,点P是椭圆C上任一点,若面积的最大值为,且离心率(1)求C的方程;(2)A,B为C的左、右顶点,若过点且斜率不为0的直线交C于M,N两点,证明:直线与的交点在一条定直线上21.(12分)在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,平面,,是的中点.(1)若为线段的中点,证明:平面;(2)线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求的长,若不存在,请说明理由.22.(10分)已知圆,是圆上一点,过A作直线l交圆C于另一点B,交x轴正半轴于点D,且A为的中点.(1)求圆C在点A处的切线方程;(2)求直线l的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由条件可得,即可得到答案.【详解】方程表示焦点在y轴上的双曲线所以,即故选:B2、A【解析】由,可得进一步求出,由此得到,则该双曲线的方程可求【详解】,即,则.即,则该双曲线的方程是:故选:A【点睛】方法点睛:求圆锥曲线的方程,常用待定系数法,先定式(根据已知确定焦点所在的坐标轴,设出曲线的方程),再定式(根据已知建立方程组解方程组得解).3、D【解析】由平面的基本性质结合公理即可判断.【详解】对于A,过不在一条直线上三点才能确定一个平面,故A不正确;对于B,经过一条直线和直线外一个点确定一个平面,故B不正确;对于C,空间四边形不能确定一个平面,故C不正确;对于D,两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,故D正确.故选:D4、C【解析】结合排列组合的知识,分两种情况求解.【详解】当分组为1人,1人,3人时,有种,当分组为1人,2人,2人时有种,所以共有种排法.故选:C5、D【解析】双曲线离心率公式和a、b、c的关系即可求得m,从而得到双曲线的标准方程.【详解】∵双曲线,∴,又,∴,∵离心率为,∴,解得,∴双曲线方程.故选:D.6、A【解析】由双曲线方程可写出右焦点坐标,再写一渐近线方程,根据点到直线的距离公式可得答案.【详解】双曲线的右焦点F坐标为,根据双曲线的对称性,不妨取一条渐近线为,故点F到渐近线的距离为,故选:A7、B【解析】方程有两个根,转化为求函数的单调性与极值【详解】函数定义域是,有两个零点,即有两个不等实根,即有两个不等实根设,则,时,,递减,时,,递增,极小值=,而时,,时,,所以故选:B8、B【解析】根据题意可知,即可由求出,再根据焦点位置得出椭圆方程【详解】因为,所以,而焦点在轴上,所以椭圆方程为故选:B9、B【解析】利用对数的运算性质,结合等比数列的性质可求得结果.【详解】是各项均为正数的等比数列,,,,.故选:B10、C【解析】根据新定义只需求锐角三角形外接圆的方程即可得解.【详解】,,,为锐角三角形,的外接圆就是它的最小覆盖圆,设外接圆方程为,则解得的最小覆盖圆方程为,即,的最小覆盖圆的半径为.故选:C11、C【解析】首先求出,再令即可求解.【详解】由,则,令,则,所以.故选:C【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数以及导数的基本运算法则,属于基础题.12、B【解析】直线恒过定点,而此点在圆的内部,故可得直线与圆的位置关系.【详解】直线恒过定点,而,故点在圆的内部,故直线与圆的位置关系为相交,故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据分层抽样的方法,即可求解.【详解】由题意,甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为100,200,150,50件,用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取个数为件.故答案为:.14、【解析】求得函数的导数,得到是的唯一零点,转化为方程无实数根或只存在实数根,进而转化为和的图象至多有一个交点(且如果有交点,交点必须在处),利用导数求得函数的单调性和最小值,即可求解.【详解】由题意,函数,可得,因为存在唯一零点,所以是的唯一零点,则关于的方程无实数根或只存在实数根,所以函数和的图象至多有一个交点(且如果有交点,交点必须在处),又由,当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以,所以,即即的取值范围是.故答案为:.15、【解析】既然为真,那么就是为真,即p是假,并且q是真,根据椭圆和双曲线的定义即可解出。【详解】∵为真,∴p为假,q为真;考虑p为真的情况:解得……①;由于p为假,∴或;由于q为真,∴,即……②;由①和②得:;故答案为:.16、【解析】将问题分离参数得到存在,使成立,可得结论.【详解】存在,使,即存在,使,所以故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)2(2)或【解析】(1)根据抛物线上的点到焦点与准线的距离相等可得到结果(2)通过联立抛物线与直线方程利用韦达定理求解关系式即可得到结果【小问1详解】抛物线焦点为,准线方程为,因为点到焦点F距离为2,所以,解得【小问2详解】抛物线C的焦点坐标为,当斜率不存在时,可得不满足题意,当斜率存在时,设直线l的方程为联立方程,得,显然,设,,则,所以,解得所以直线l的方程为或18、(1),(2)【解析】(1)根据已知递推关系式再写一式,然后两式相减,由等差数列、等比数列的定义即可求解;(2)根据已知递推关系式再写一式,然后两式相减,求出,最后利用错位相减法即可得答案.【小问1详解】解:因为,,所以,,得,所以是以2为首项2为公差的等差数列,是以1为首项2为公差的等差数列,所以,,所以;因为,所以,又由得,所以是以2为首项2为公比的等比数列,所以.【小问2详解】解:当时,,当时,,得,即,记,则,,则.19、(1);(2)证明见解析.【解析】(1)根据焦点坐标及椭圆上的点,利用椭圆的定义求出a,再由关系求b,即可得解;(2)分直线斜率存在与不存在两种情况讨论,利用斜率公式计算出,根据等差中项计算,即可证明成等差数列.【小问1详解】∵椭圆的焦距,椭圆的两焦点坐标分别为,又点在椭圆上,,即.该椭圆方程为.【小问2详解】设.当直线l的斜率为0时,其方程为,代入,可得.不妨取,则,成等差数列.当直线l的斜率不为0时,设其方程为,由,消去x得.即,成等差数列,综上可得,,成等差数列.20、(1);(2)证明见解析.【解析】(1)用待定系数法求出椭圆的方程;(2)设直线MN的方程为x=my+1,设,用“设而不求法”表示出.由直线AM的方程为,直线BN的方程为,联立,解得:,即可证明直线AM与BN的交点在直线上.【小问1详解】由题意可得:,解得:,所以C的方程为.【小问2详解】由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),设直线MN的方程为x=my+1.设,由,消去y得:,所以.所以.因为直线AM的方程为,直线BN的方程为,二者联立,有,所以,解得:,直线AM与BN的交点在直线上.【点睛】(1)待定系数法可以求二次曲线的标准方程;(2)"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法,可以解决直线与二次曲线相交的问题.21、(1)证明见解析;(2)存在点,且的长为,理由见解析.【解析】(1)取的中点为,连接,得到,结合面面平行的判定定理证得平面平面,进而得到平面;(2)以为原点,所在的直线分别为轴、轴,以垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,设,求得的法向量为和向量,结合向量的夹角公式列出方程,求得的值,即可求解.【小问1详解】证明:取的中点为,连接,因为分别为的中点,所以,又因为平面,且,所以平面平面,又由平面,所以平面.【小问2详解】解:以为原点,所在的直线分别为轴、轴,以垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,因为底面是边长为2的菱形,设,在直角中,可得,在直角中,可
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