辽宁省沈阳市和平区重点中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷（含解析）

-2024学年辽宁省沈阳重点中学八年级（上）第一次月考数学试卷一、单选题1．16的算术平方根是（）A．﹣4 B．±4 C．4 D．2562．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列计算正确的是（）A．2×3＝6 B．＝4 C．（）2＝4 D．±＝24．下列各数：（﹣）2，，0.，﹣π，（相邻两个1之间有1个0），其中是无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．在△ABC中，∠A，∠B，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝32，b＝42，c＝52 C．b＝c，∠A＝45° D．a2＝b2﹣c26．如图，矩形ABCD中，AB＝3，点A，B在数轴上，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1 B． C．﹣1 D．7．使代数式有意义的x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＜7且x≠3 C．x≤7且x≠2 D．x≤7且x≠38．已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5h后（）A．30海里 B．35海里 C．40海里 D．45海里9．如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm10．下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜；③﹣3是的一个平方根；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a＝a，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．如图所示，圆柱体底面圆的半径是，高为1，则小虫爬行的最短路程是．12．直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5．13．若的值在两个整数a与a+1之间，则a＝．14．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，那么这个正方形的边长是．15．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，写出满足条件的所有点C的坐标．16．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，则线段CD的长为．三、解答题17．计算：+5．18．化简：．19．解方程：16（x﹣1）2﹣9＝0．20．解方程：（5x﹣2）3+125＝0．21．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝8cm，CD＝26cm，求四边形ABCD的面积．22．已知2a﹣1的算术平方根是3，的整数部分是b，c的立方根是﹣223．如图，已知网格上每个小的正方形的边长为1（长度单位），点A、B、C在格点上．（1）直接在平面直角坐标系中作出△ABC关于y轴对称的图形A1B1C1（点A对应点A1，点B对应点B1，点C对应点C1）；（2）△ABC的面积＝；点B到AC的距离＝；（3）若在x轴上有一点P，使△PBC周长值最小，此时△PBC周长最小值为．24．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在第二象限，OA＝1，AB⊥BC．（1）A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为．（2）过点C作直线MN平行于x轴，点P是直线MN上一点，点P在第二象限，则点P的坐标为．（3）在x轴上有一点D，使∠BDA＝∠BAD．答案解析一、单选题1．16的算术平方根是（）A．﹣4 B．±4 C．4 D．256【分析】16的算术平方根是，据此求解即可．【解答】解：16的算术平方根是：＝4．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．2．在平面直角坐标系中，点P（5，﹣1）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限．【解答】解：∵点P的横坐标是正数，纵坐标是负数，∴点P（5，﹣1）在第四象限，故选：D．【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握各象限内点的坐标的特点是解本题的关键，第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+）、（﹣，+）、（﹣，﹣）、（+，﹣）．3．下列计算正确的是（）A．2×3＝6 B．＝4 C．（）2＝4 D．±＝2【分析】根据实数的乘法的运算方法，以及平方根、立方根的含义和求法，逐项判断即可．【解答】解：∵2×6，∴选项A不符合题意；∵＝﹣5，∴选项B不符合题意；∵＝4，∴选项C符合题意；∵±＝±8，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了实数的运算，以及平方根、立方根的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．4．下列各数：（﹣）2，，0.，﹣π，（相邻两个1之间有1个0），其中是无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简，再利用无理数的定义分析得出答案．【解答】解：（﹣）2＝4，，0.，＝2，其中是无理数有：﹣π．故选：A．【点评】此题主要考查了立方根以及二次根式的性质、无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键．5．在△ABC中，∠A，∠B，b，c，下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a＝32，b＝42，c＝52 C．b＝c，∠A＝45° D．a2＝b2﹣c2【分析】根据三角形的内角和定理和已知求出∠C的度数，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B和D；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可判断C．【解答】解：A．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝×180°＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵（33）2+（46）2≠（57）2，∴以32，42，22为边不能组成直角三角形，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵b＝c，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝67.5°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵a2＝b5﹣c2，∴a2+c3＝b2，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形内角和定理等于180°是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．6．如图，矩形ABCD中，AB＝3，点A，B在数轴上，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1 B． C．﹣1 D．【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．【解答】解：AC＝，则AM＝，∵A点表示﹣1，∴M点表示﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边边长的平方．7．使代数式有意义的x的取值范围是（）A．x≠3 B．x＜7且x≠3 C．x≤7且x≠2 D．x≤7且x≠3【分析】根据分式有意义的条件，被开方数为非负数可得7﹣x≥0，再根据分母≠0，可知2x﹣6≠0，解可得答案．【解答】解：∵代数式有意义，∴7﹣x≥0，且4x﹣6≠0，解得：x≤5且x≠3，故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是保证二次根式中的被开方数是非负数，分母≠0．8．已知一轮船以18海里/小时的速度从港口A出发向西南方向航行，另一轮船以24海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5h后（）A．30海里 B．35海里 C．40海里 D．45海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了36，27．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解答】解：如图，连接BC．∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了24×1.5＝36（海里），根据勾股定理得：BC＝＝＝45（海里）．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．9．如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF＝10cm，EF＝DE＝8﹣x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF＝BC﹣BF＝10﹣BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，即：（8﹣x）2＝x2+（10﹣BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝（8﹣x）cm，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB5+BF2＝AF2，即72+BF2＝108，∴BF＝6cm，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝6（cm），在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，即（8﹣x）2＝x8+42，∴64﹣16x+x2＝x2+16，∴x＝3（cm），即CE＝7cm．故选：B．【点评】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．10．下列说法：①无理数就是开方开不尽的数；②满足﹣＜x＜；③﹣3是的一个平方根；⑤不是有限小数的不是有理数；⑥对于任意实数a＝a，其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别根据有理数的定义，无理数的估算，平方根的定义以及二次根式的性质逐一判断即可．【解答】解：①无理数就是开方开不尽的数，说法错误；②满足﹣＜x＜，8共2个；③﹣3是的一个平方根；④两个无理数的和不一定是无理数，例如；⑤不是有限小数的不是有理数，说法错误；⑥对于任意实数a，都有，说法错误，正确说法为：对于任意实数a＝|a|．故正确有③共1个．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的定义与估算，还考查的实数的运算，熟记相关定义是解答本题的关键．二、填空题11．如图所示，圆柱体底面圆的半径是，高为1，则小虫爬行的最短路程是．【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．∵AB＝π•＝2．∴AC＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．12．直角坐标系中，第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5（5，﹣2）．【分析】根据第四象限点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【解答】解：∵第四象限内一点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣2，∴点P（5，﹣8）．故答案为：（5，﹣2）．【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．13．若的值在两个整数a与a+1之间，则a＝3．【分析】利用的取值范围，进而得出的取值范围进而得出答案．【解答】解：∵的值在两个整数a与a+1之间，，∴a＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．14．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，那么这个正方形的边长是．【分析】由图可知每个小正方形的边长为1，面积为1，得出拼成的小正方形的面积为5，进一步开方得出拼成的正方形的边长为．【解答】解：分割图形如下：，故这个正方形的边长是：．故答案为：．【点评】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根”是解答此题的关键．15．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，写出满足条件的所有点C的坐标（0，2），（0，﹣2），（﹣3，0），（3，0）．【分析】需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标；②当点C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标．【解答】解：如图，①当点C位于y轴上时，b）．则+＝6，b＝2或b＝﹣5，此时C（0，2），﹣4）．如图，②当点C位于x轴上时，0）．则|﹣﹣a|+|a﹣，即2a＝6或﹣2a＝6，解得a＝3或a＝﹣2，此时C（﹣3，0），2）．综上所述，点C的坐标是：（0，（0，（﹣3，（3．故答案为：（0，5），﹣2），0），6）．【点评】本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质．解题时，要分类讨论，以防漏解．另外，当点C在y轴上时，也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标．16．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，则线段CD的长为或．【分析】分①点A、D在BC的两侧，设AD与边BC相交于点E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，再求出BE＝DE＝AD并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解；②点A、D在BC的同侧，根据等腰直角三角形的性质可得BD＝AB，过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，判定△BDE是等腰直角三角形，然后求出DE＝BE＝2，再求出CE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：①如图1，点A，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝AB＝＝4，∵∠ABC＝45°，∴BE＝DE＝AD＝，BE⊥AD，∵BC＝1，∴CE＝BE﹣BC＝2﹣3＝1，在Rt△CDE中，CD＝＝＝；②如图8，点A，∵△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AB＝2，过点D作DE⊥BC交BC的反向延长线于E，则△BDE是等腰直角三角形，∴DE＝BE＝×2，∵BC＝1，∴CE＝BE+BC＝2+7＝3，在Rt△CDE中，CD＝＝＝，综上所述，线段CD的长为或．故答案为：或．【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．三、解答题17．计算：+5．【分析】根据二次根式的除法法则运算．【解答】解：原式＝﹣+4＝2﹣6+6＝1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．化简：．【分析】先进行二次根式的化简，然后进行二次根式的除法运算．【解答】解：原式＝（6﹣+8＝2﹣+4＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及二次根式的除法法则．19．解方程：16（x﹣1）2﹣9＝0．【分析】先移项，然后化系数为1，利用平方根的定义解答即可．【解答】解：∵16（x﹣1）2﹣7＝0，∴（x﹣1）7＝，∴x﹣1＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．记作：．20．解方程：（5x﹣2）3+125＝0．【分析】利用立方根的定义得到5x﹣2＝﹣5，然后解一元一次方程即可．【解答】解：∵（5x﹣2）6+125＝0，∴（5x﹣2）3＝﹣125，∴5x﹣6＝﹣5，∴5x＝﹣4，∴x＝﹣．【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．21．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝8cm，CD＝26cm，求四边形ABCD的面积．【分析】连接BD，根据已知条件运用勾股定理逆定理可证△BCD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相减即为四边形ABCD的面积．【解答】解：连接BD，∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，∴△ABD为直角三角形，∵BD2＝AB2+BD7＝82+52＝102，∴BD＝10cm，在△BCD中，CD＝26cm，∵DC5+BD2＝BC2，∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△BCD﹣S△ABD＝×10×24﹣2）．【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角形是解题的关键．22．已知2a﹣1的算术平方根是3，的整数部分是b，c的立方根是﹣2【分析】根据平方根、立方根、算术平方根，即可解答．【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是6，∴2a﹣1＝4，∴a＝5，∵c的立方根是﹣2，∴c＝﹣2，∵b是的整数部分＜4，∴b＝3，∴5b﹣a﹣c＝9﹣5+2＝12，∵12的平方根是∴2b﹣a﹣c的平方根是．【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．23．如图，已知网格上每个小的正方形的边长为1（长度单位），点A、B、C在格点上．（1）直接在平面直角坐标系中作出△ABC关于y轴对称的图形A1B1C1（点A对应点A1，点B对应点B1，点C对应点C1）；（2）△ABC的面积＝6.5；点B到AC的距离＝；（3）若在x轴上有一点P，使△PBC周长值最小，此时△PBC周长最小值为+．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）利用分割法求三角形的面积即可，再利用面积法求高．（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点P，连接PC，此时△PBC的周长最小．【解答】解：（1）如图，A1B1C4即为所求．（2）S△ABC＝4×4﹣×3×3﹣×4×5＝6.5．设点B到AC的距离为h，则有×，∴h＝，故答案为：6.3，．（3）作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于点P，此时△PBC的周长最小，最小值＝+＝+，故答案为：+．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．24．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点C在第二象限，OA＝1，AB⊥BC．（1）A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（0，2），C点坐标为（﹣2，3）．（2）过点C作直线MN平行于x轴，点P是直线MN上一点，点P在第二象限，则点P的坐标为（﹣，3）．（3）在x轴上有一点D，使∠BDA＝∠BAD（+1，0）．【分析】（1）作CD⊥y轴于D，根据勾股定理求得OB，然后根据AAS证得△CBD≌△BAO，得到CD＝OB＝2，BD＝OA＝1，进而即可求得C的坐标；（2）延长AB，交MN于E，求得直