第三章-物流需求预测

第三章物流需求预测本章要点：1、会应用常用的定性、定量预测方法进行物流需求预测；2、会进行预测方法的选择与评价。

物流需求预测是根据物流市场过去和现在的需求状况以及影响物流市场需求变化的因素之间的关系，利用一定的经验判断、技术方法和预测模型，应用合适的科学方法对有关反映市场需求指标的变化以及发展的趋势进行预测。

目的：及时准确地掌握市场物流需求情况的变化规律，结合本企业的实际状况，采取一定的分析方法提出切实可行的需求目标，在此基础上制定需求计划，指导诸如原材料或货物的购进、库存的控制、必要设施的配备等企业物流工作的开展。一、物流需求预测的意义

预测理论作为通用的方法论，既可以应用于研究自然现象，又可以应用于研究社会现象。将预测理论和方法与具体领域的实际相结合，就形成了预测学科的各个分支，如社会预测、人口预测、经济预测、政治预测、科技预测、军事预测、气象预测等。在定性预测法主要包括一般人员意见法、专家意见法以及主观概率法。

在定量分析预测中应用比较广泛的有时间序列预测法（包括算术平均法、加权平均法、移动平均法、指数平滑法、最小二乘法等）和相关因素预测法（包括一元线性回归法、多元线性回归法等）。二、定性预测方法

是主观的预测方法，依赖于人们的判断和意见做出预测。

适用范围：缺少历史数据或专家关于市场的见解对于预测十分重要的情况。

（一）一般人员意见法

1、集体意见预测法把所有参与者的预测意见加权平均求出预测值的方法。

（1）每一位预测者提出个人的预测意见；（2）计算每一位预测者的意见平均值；（3）采用加权平均法求得集体的预测意见。

2、经营人员意见预测法通过听取经营人员的意见来预测市场需求。

特点：（1）简单明了，容易进行；（2）适用范围广；（3）对商品需求量、品种、规格等都可以进行预测；（4）在实际使用中灵活主动。

3、客户意见预测法

直接听取顾客意见后再确定预测数。通过调查，对顾客或用户的购买意向、将来用什么，打算买什么，都了解清楚，再考虑可能出现的竞争情况之后，做出对本公司产品需求的预测数。可采用方式：走访用户、用户座谈会、巡回展览、商品展销、定期填报需求登记表等。能否取得成功，主要靠顾客的合作。（二）专家意见法

1、专家会议法根据预测的目的要求，邀请专家开会，就有关内容进行深入讨论和分析，最后综合到会者的意见做出预测。此法的缺点是与会人数有限，且易受权威人士左右。

2、专家小组法，也称德尔菲法

基本程序：由企业外的见识广博，学有专长的专家作市场预测。先请一组专家（10～50人）独立地对需要预测的问题提出意见，公司主持人把各人意见综合，整理后又反馈给每个人，使他们有机会比较一下他人不同的意见。如仍坚持自己的意见，可进一步说明理由，再寄给主持人。主持人整理后再次反馈给每个人，如此重复三四次后，一般可得出一个比较一致的意见。

（三）主观概率法

是一种以个人经验为主，对专家的意见进行分析评定而预测的方法。分别征求一些专家的意见，然后根据个人的经验，对专家的不同意见的可靠性进行评定（可以用百分比表示，也就是“主观概率”），然后对专家的意见加以综合，以使预测值更加切合实际。

例如，请四位专家根据目前市场情况，来预测某地区来年对手表的需求量，甲预测为15万只，乙预测为12万只，丙预测为8万只，丁预测为5万只，一个最有经验的并且最了解目前情况的人认为，各人预测均有一定根据，评定甲的概率为0.5，乙和丙的概率均为0.2，丁的概率为0.1。按这个概率计算来年该地区手表的预测需求量为：

15×0.5＋12×0.2＋8×0.2＋5×0.1

＝12（万只）三、定量预测方法定量预测是使用一历史数据或因素变量来预测需求的数学模型。是根据已掌握的比较完备的历史统计数据，运用一定的数学方法进行科学的加工整理，借以揭示有关变量之间的规律性联系，用于预测和推测未来发展变化情况的一类预测方法。

（一）时间序列预测法序列又称时间数列，是指观察或记录到的一组按时间顺序排列的数据。例如，某段时间内，某类产品产量的统计数据；某企业产品销售量、利润、成本的历史统计数据；某地区人均收入的历史统计数据等。时间序列预测方法，假设预测对象的变化仅与时间有关。根据它的变化特征，以惯性原理推测其未来状态。事实上，预测对象与外部因素有着密切而复杂的联系。时间序列中的每一个数据都反映了当时许多因素综合作用的结果。整个时间序列则反映了外部因素综合作用下预测对象的变化过程。因此，预测对象仅与时间有关的假设，是对外部因素复杂作用的简化，从而使预测的研究更为直接和简便。时间序列预测方法分为确定性方法和随机性方法两类。随机性时间序列预测方法是研究由随机过程产生的时间序列的预测问题。本教材仅介绍确定性时间序列预测方法。现实中的时间序列的变化受许多因素的影响，有些起着长期的、决定性的作用，使时间序列的变化呈现出某种趋势和一定的规律性；有些则起着短期的、非决定性的作用，使时间序列的变化呈现出某种不规则性。时间序列的变动情况大体可分解为以下四种。（1）趋势变化。趋势变化指现象随时间变化朝着一定方向呈现出持续稳定地上升、下降或平稳的趋势。（2）周期变化。周期变化（季节变化）指现象受季节性影响，按某一固定周期呈现波动变化。（3）循环变动。循环变动指现象按不固定的周期呈现波动变化。（4）随机变动。随机变动指现象受偶然因素的影响而呈现出不规则波动（二）平均数预测法

平均数预测法是最简单的定量预测方法，它只在时间序列主要表现为随机变动时采用。下面我们具体介绍算术平均数和加权平均数两种预测方法。

1、算术平均数预测法时间（t）123…n观察值（yt）

y1y2y3…

yn

设有时间序列如表1.1所示，对应于时间t

1,2,…,n；时间序列的数据为：y1,y2,y3,…,yn。

表1.1时间序列数据设算术平均数为，其计算公式为

（1-1）

式中：——算术平均数；

yt

——第t周期的实际值；

t——时间下标变量，表示周期序号；

n——时间序列的周期个数，也即数据个数。——连加号，中的t

1表示首项的时间变量取值为1，n表示末项的时间下标变量取值为n.例1.1某公司的产品在某城市最近6个月的销售量如表1.2所示。

表1.2最近6个月的销售量月

份

123456销售量/台

105010801030107010501060

观察实际数据序列，其变动特征主要为随机变动。因此，可采用算术平均数方法预测下个月的销售量，即（台）算术平均数1057台反映了最近6个月产品销量的平均水平。如果判断影响产品销量的外界因素无重大变化，即可预测下个月的销售量为1057台。算术平均数1057台反映了最近6个月产品销量的平均水平。如果判断影响产品销量的外界因素无重大变化，即可预测下个月的销售量为1057台。此外，还可用极差和标准偏差研究数据的变动情况。

设极差为R，其计算公式R

xmax

xmin

（1-2）式中：R——极差；

xmax——所有观察值中的最大值；

xmin——所有观察值中的最小值。极差R表示数据的最大变动幅度。本例中，xmax

1080，xmin

1030，因此R

50（台），即销售量的最大变动幅度为50。设标准偏差为S，其计算公式为

（1-3）

式中S表示数据的离散程度。由公式可知，S越小，数据的离散程度越小。本例标准偏差计算如下：（台）S

16台反映了数据的离散程度。算术平均数、极差R、标准偏差S是统计学中描述一组数据变动状况的三个数字特征。2、加权平均数预测法如果认为近期的数据反映的预测信息比较早的数据更重要，也就是说各个时间数据的重要程度不相等，则可以采用加权的方法对数据进行处理。设y1,y2,y3,…,yn为各个时间的观察值，对每一个数据估计相应的权数，分别表示为W1,W2,W3,…,Wn

。则加权平均数的计算公式为

（1-4）式中：——加权平均数；

yt——第t周期的观察值；

Wt——第t周期观察值的权数，通常设权数之和等于1，即。例1.2

沿用例1.1的数据，并设各时期销售量的权数依次为0.1，0.1，0.15，0.15，0.25，0.25。其加权平均数计算如下：

（台）同理，如果判断影响预测对象变化的外部因素无重大变化，即可将1056台作为下个月产品销量的预测值。（三）移动平均预测法

移动平均预测法是一种简单平滑预测技术，它是在算术平均数的基础上发展起来的一种预测方法。它的基本思想是：根据时间序列资料，逐项推移，依次计算包含一定项数的时间序列平均值，以反映长期趋势的方法。因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响起伏较大，不易显示出事件的发展趋势时，使用移动平均预测法可以消除这些因素的影响，显示出事件的发展方向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。1、一次移动平均法一次移动平均数的计算公式为

（1-5）式中：t——周期序号；——第t周期的平均数；——第t周期的一次移动平均数；——第t周期的实际值；N——计算移动平均数所选定的数据个数。以第t周期的一次移动平均数作为第t

1周期的预测值，即。例1.3

已知某种产品最近15个月的销售量如表1.3所示。表1.3最近15个月的销售量

时间序号（t）123456789101112131415销售量（yt

）10158201016182022242026272929(N

3)11.014.312.715.314.718.020.022.022.023.324.427.328.3(N

5)12.613.814.416.817.220.020.822.423.825.226.2

分别取N

3，N

5，计算一次移动平均数，结果见表1.3。解取N

3，N

5，按式（1-5）计算，并把计算结果填入表中。表中一次移动平均数的计算过程举例如下（N

3）：

其余类推。由上述计算过程可看出，比增添了一个新数据y4，同时去掉了一个旧数据y1，这就是移动平均的意思。移动平均数也构成了时间序列。为了研究移动平均法的特点，将实际数据序列和N

3，N

5的移动平均序列均绘于图1.1中。分析图1.1，可看出：（1）移动平均法可以削弱随机变动的影响，具有平滑数据的作用。移动平均数序列比实际数据序列平滑，能在一定程度上描述时间序列的变化趋势。（2）合理地选择模型参数N值，是用好移动平均法的关键。N越大，平滑作用越强，对新数据的反应越不灵敏；N越小，则效果相反。（3）在实际序列的线性增长部分，移动平均数的变化总是落后于实际数据的变化，存在着滞后偏差。当N越大时，滞后偏差也越大。

应注意到：当N

1时，移动平均数序列即为实际序列；当N等于全部数据的个数n时，移动平均数即为算术平均数。通常根据实际序列的特征和经验选择模型参数N。N的取值范围可在3～20之间。如果实际时间序列没有明显的周期变动和倾向变动，即可用最近时间的一次移动平均数作为下一周期的预测值。

若不考虑例1.3中线性增长趋势的影响，则可求得上一个月的销售量的预测值。

取N

3，得出（万台）

显然，从实际数据序列的变动情况来看，的数值偏低。这是因为滞后偏差引起的。改进的方法是采用二次移动平均等方法。2、二次移动平均法

如果时间序列具有明显的线性变化趋势，则不宜采用一次移动平均法进行预测。原因是滞后偏差将使预测值偏低，不能合理地进行趋势外推；因此，需要进行修正。修正的方法是在一次移动平均的基础上再进行二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后才建立直线趋势的预测模型。故也称为趋势移动平均法。

二次移动平均数是在一次移动平均数的基础上经过计算得到的。其计算公式为

（1-6）式中：——第t周期的一次移动平均数；——第t周期的二次移动平均数；N——计算移动平均数所选定的数据个数。例1.4

沿用例1.3的数据，若取N

3，其二次移动平均数的计算结果如表1.4所示。表1.4二次移动平均数的计算结果实际序列和一次、二次移动平均数序列的图形如图1.2所示。试建立预测模型，并求第16、17周期的预测值。

时间序号（t）123456789101112131415销售量（yt

）10158201016182022242026272929(N

3)11.014.312.715.314.718.020.022.022.023.324.427.328.3(N

3)12.714.114.216.017.620.021.322.423.325.026.6观察图1.2，一次平均数序列总是落后于实际数据序列，出现了滞后偏差；二次移动平均数序列也与一次平均数序列形成了滞后偏差。二次移动平均法正是利用这种滞后偏差的演变规律建立线性预测模型的。线性预测模型为

（1-7）式中：t——目前的周期序号；T——由目前周期t到预测周期的周期间隔个数，即预测超前周期数；——第t

T周期的预测值；at——线性模型的截距；

bt——线性模型的斜率，即单位周期的变化量。图1.2例1.4图

其中at、bt的计算公式为

（1-8）

（1-9）下面介绍对例1.4的线性预测模型的求解过程。已知目前周期序号t

15，将第15周期的一次、二次、移动平均数代入式（1-8）和式（1-9）得得到线性预测模型为T

试求下一个月的销售量预测值。下一个月的周期序号t

16，即周期间隔数T

16

15

1，故（万台）求第17周期的销售量预测值。此时，周期间隔数T

17

15

2，故（万台）于是利用线性预测模型，求得第16周期和第17周期的产品销售量预测值分别为31.7万台和33.4万台。

预测模型，即式（1-7）是一个直线方程，可以预测最近几个周期的销售量（模型的推导过程从略）。如果实际数据序列具有曲线变化趋势时，就需要利用三次移动平均法。但在这种场合下，下一节介绍的指数平滑预测法更为常用。

（四）指数平滑预测法

短期预测中最有效的方法可能就是指数平滑预测法，也可以简称为指数平滑法。该方法很简单，只需要得到很小的数据量就可以连续使用。

1、指数平滑法的基本理论

指数平滑法是移动平均法中的一种，其特点在于给过去的观测值不一样的权重，即较近期观测值的权数比较远期观测值的权数要大。根据平滑次数不同，指数平滑法分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权数，新数据给予较大的权数，旧数据给予较小的权数。2、一次指数平滑法

设时间序列为,则一次指数平滑公式为

（1-10）式中：——第t周期的一次指数平滑值；

——加权系数（也称为平滑系数），0＜

＜1。用上述平滑值进行预测，就是一次指数平滑法。其预测模型为

（1-12）即以第t周期的一次指数平滑值作为第t

1期的预测值。例1.5用一次指数平滑值预测例1.3中下个月的销售量。为了分析加权系数

的不同取值的特点，分别取

0.1,

0.3,

0.5计算一次指数平滑值，并设初始值为最早的三个数据的平均值，即：。以

0.5的一次指数平滑值计算为例，有

0.5

10

0.5

11.0

10.5

0.5

15

0.5

10.5

12.8依次类推，求得

0.5、

0.1和

0.3时的一次指数平滑值数列，计算结果如表1.5所示。

表1.5一次指数平滑值的计算表万台时间序号（t）

123456789101112131415销售量（yt

）

10158201016182022242026272929(

0.1)

10.911.311.011.911.712.112.713.414.315.315.816.817.818.919.9(

0.3)

10.712.010.813.612.513.614.316.017.819.719.821.723.325.026.2(

0.5)

10.512.810.415.212.614.316.218.120.122.021.023.525.327.228.1时间序号（t）

123456789101112131415销售量（yt

）

10158201016182022242026272929(

0.1)

10.911.311.011.911.712.112.713.414.315.315.816.817.818.919.9(

0.3)

10.712.010.813.612.513.614.316.017.819.719.821.723.325.026.2(

0.5)

10.512.810.415.212.614.316.218.120.122.021.023.525.327.228.1指数平滑法的基本特点如下。（1）指数平滑法对实际序列具有平滑作用，权系数（平滑系数）

越小，平滑作用越强，但对实际数据的变动反应较迟缓。（2）在实际序列的线性变动部分，指数平滑值序列出现一定的滞后偏差的程度随着权系数（平滑系数）

的增大而减少。指数平滑法的主要优点如下

（1）对不同时间的数据的非等权处理较符合实际情况。（2）实用中仅需选择一个模型参数

即可进行预测，简便易行。（3）具有适应性，也就是说预测模型能自动识别数据模式的变化而加以调整。

指数平滑法的缺点

一是对数据的转折点缺乏鉴别能力，但这一点可通过调查预测法或专家预测法加以弥补。二是长期预测的效果较差，故多用于短期预测。3、二次指数平滑法

如果实际数据具有明显的趋势变动时，使用第t周期一次指数平滑就能直接预测第t

1周期之值。但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来进行预测仍将存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再进行二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型，故称为二次指数平滑法。设一次指数平滑为，则二次指数平滑的计算公式为（1-13）式中：——第t周期的二次指数平滑值；——第t周期的一次指数平滑值；——第t

1周期的二次指数平滑值；

——加权系数（也称为平滑系数）。

若时间序列从某时期开始具有直线趋势，且认为未来时期亦按此直线趋势变化，则与趋势移动平均类似，可用如下的直线趋势模型来进行预测。（1-14）

式中：t——当前周期数；T——由当前周期数t到预测期的时期数；

——第t

T期的预测值；

——截距，——斜率，其计算公式为

（1-15）

（1-16）模型公式（1-14）与二次移动平均法建立的线性模型的形式是一样的。4、三次指数平滑法

若时间序列的变动呈现出二次曲线趋势，则需要采用三次指数平滑法进行预测。三次指数平滑是在二次指数平滑的基础上再进行一次平滑，其计算公式为

（1-17）三次指数平滑法的预测模型为（1-18）

式中：（1-19）（1-20）（1-21）

例1.6

我国某种耐用消费品1996年至2006年的销售量如表1.6所示。试预测2007年、2008年的销售量。

表1.6三次指数平滑值的计算表

万台

时间序号（t）01234567891011年份19961997199819992000200120022003200420052006销售量（yt

）225.2249.9263.2293.6318.9356.7363.3424.2466.5582.0750.0(

0.3)246.1237.8242.8248.9262.3279.3302.5320.8351.9386.3445.0536.5246.1244.2243.7245.3250.4259.1272.1286.7306.3330.3364.7416.2244.5244.4244.3244.5246.3250.1256.7265.7277.9293.6314.9345.3解通过初步分析，实际数据序列呈非线性递增趋势，故采用三次指数平滑预测方法。解题步骤如下。（1）确定指数平滑的初始值和权系数（平滑系数）

。设一次、二次指数平滑的初始值为最早三个数据的平均值，即，取。

实际数据序列的倾向性变动较明显，权系数（平滑系数）

不宜取太小，故取

0.3。（2）根据指数平滑值计算公式依次计算一次、二次、三次指数平滑值结果见表1.6。（3）计算非线性预测模型的系数at,bt,ct。目前周期数t

11，将表1.6中的有关数据代入式（1-19）、式（1-20）、式（1-21）后分别得（4）建立非线性预测模型。将各系数代入式（1-18）得（5）预测2007年和2008年的产品销售量。2007年，其预测超前周期为T

1；2005年，其预测超前周期为T

2。代入模型，得

706.2

98.4

4.4

12

809（万台）

706.2

98.4

2

4.4

22

920（万台）

于是得到2007年的产品销售量的预测值为809万台，2008年的产品销售量的预测值为920万台。预测人员可以根据市场需求因素的变动情况，对上述预测结果进行评价和修正。

5、加权系数的选择

在指数平滑法中，预测成功的关键是

的选择。

的大小规定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比例。

值愈大，新数据所占的比重就愈大，原预测值所占比重就愈小，反之亦然。

若把一次指数平滑法的预测公式改写为

则从上式可以看出，新预测值是根据预测误差对原预测值进行修正后得到的。

的大小表明了修正的幅度。

值愈大，修正的幅度愈大；

值愈小，修正的幅度愈小。因此，

值既代表了预测模型对时间序列数据变化的反应速度，又体现了预测模型修正误差的能力。

在实际应用中，

值是根据时间序列的变化特性来选取的。若时间序列的波动不大，比较平稳，则

应取小一些，如0.1～0.3；若时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则

应取大一些，如0.6～0.9。实质上，

是一个经验数据，通过多个

值进行试算比较而定，哪个

值引起的预测误差小，就采用哪个。

例1.7

根据表1.7给出的1月份至11月份餐刀需求量的观察值，分别取

0.1，0.5，0.9，预测12月份的餐刀需求量，并对不同的

值进行误差比较。

表1.7用指数平滑法预测12月份的餐刀需求量

月份时期需求量的观察值指数平滑值

0.1

0.5

0.91月12000

2月213502000200020003月319501935167514154月419751937181318975月531001940189419676月617502056249729877月715502026212318748月813001978183715829月9220019101568132810月10277519391884211311月11235020232330270912月12

205623402386表1.7给出了

值为0.1,0.5和0.9时所计算出来的预测值。表中最后三栏的数据可用指数平滑法计算预测值的通式或来进行计算。这时应注意，第一个时期没有前期预测值可以利用，最好能利用观察值。因此，1935这个数，在

0.1这栏是用2000（前期预测值）再加上0.1

（1350

2000）来得到的。然后把这个数用做第三时期的预测值。

值对前期观察值进行平滑修正所产生的效果在表1.7中可以看出，较大的

值（0.1）对预测值的平滑作用很小，而较小的

值则有着相当大的平滑作用。

表1.8表明，在此例中较小的

值比较大的

值能给出更好的预测值。表1.8指数平滑法预测误差比较

误差绝对误差误差平方

0.1总数55147713431255平均数55477343126

0.5总数67456884338332平均数67569433833

0.9总数

42361275034081平均数

42613503408（五）回归分析预测方法1、回归分析模型概述回归分析预测法是从各种经济现象之间的相互关系出发，通过对与预测对象有联系的现象的变动趋势的分析，推算预测对象未来状态数量表现的一种预测法。所谓回归分析就是研究某一个随机变量（因变量）与其他一个或几个变量（自变量）之间的数量变动关系，由回归分析求出的关系式通常称为回归模型。回归模型的一般分为如下几类。

（1）根据自变量个数的多少，回归模型可以分为一元回归模型和多元回归模型。（2）根据回归模型是否线性，回归模型可以分为线性回归模型和非线性回归模型。所谓线性回归模型就是指因变量与自变量之间是直线关系。（3）根据回归模型是否带虚拟变量，回归模型可以分为普通回归模型和虚拟变量回归模型。普通回归模型的自变量都是数量变量，而虚拟变量回归模型的自变量既有数量变量也有品质变量。本节先讨论一元线性回归问题，然后再讨论多元线性回归问题。

2、一元线性回归模型

一元线性回归预测是回归预测的基础。若预测对象只受一个主要因素影响，并且它们之间存在着明显的线性相关关系时，通常采用一元线性回归预测法。（1）预测模型

设变量x与变量y之间有相关关系，且当x确定之后，y有某种不确定性，如果在散点图上可以看出x与y之间有线性相关关系，其相关方程为（1-22）

采用最小二乘法得到a,b的计算公式为（1-23）

（1-24）式中，xi和yi（i

1,2,…,n）均是已有的历史数据。其中：a称为截距，b称为回归直线的斜率，也称为回归系数；是变量y的估计值。

求直线回归方程，实际上是用回归直线拟合散点图中的各观测点。常用的方法是最小二乘法，也就是使该直线与各点的垂直距离最小，即求使观察值y与回归直线之差的平方和达到最小时的a和b的问题。（2）显著性检验

判定一个线性回归方程的拟合程度的优劣称为模型的显著性检验，即判断所建立的一元线性回归模型是否符合实际，所选的变量之间是否具有显著的线性相关关系。这就需要对建立的回归模型进行显著性检验，通常用的检验法是相关系数检验法。相关系数是一元回归模型中用来衡量两个变量之间相关程度的一个指标，其计算公式为

（1-25）

相关系数r是一个重要的判定指标。从式（1-25）中可以看出，相关系数等于回归平方和在总平方和中所占的比率，即回归方程所能解释的因变量变异性的百分比。如果r

0.775，说明变量y的变异性中有77.5%是由自变量x引起的；如果r

1，表示所有的观测值全部落在回归直线上；如果r

0，则表示自变量与因变量无线性关系。下面通过例子说明一元线性回归分析预测法的使用。例1.8

根据经验，运输企业的业务收入同广告费支出之间具有相关关系。某运输企业1997年至2006年的业务收入和广告费支出的资料如表1.9所示。

表1.9某企业业务收入与广告费支出表

年份广告费支出（xi）/万元业务收入（yi）/百万元xiyi

xi2

yi2

1997年472816491998年71284491441999年917153812892000年12202401444002001年14233221965292002年17264422896762003年20295804008412004年223270448410242005年253587562512252006年274010807291600合计157241450830136777预测该企业2007年的广告费支出为35万元，要求在95%的概率下预测该年的企业业务收入。解（1）相关分析。在坐标系上将企业的广告费支出和业务收入的数据标出，形成散点图，可以发现图形呈直线趋势，从而判定二者呈一元回归性。（2）建立相关方程，关键是求a、b的值。根据表1.9中的有关资料，利用式（1-23）和式（1-24）求得

所以，所求的相关方程为。（3）检验。

①计算相关系数：取显著性水平

0.05，df

n

2

8。查相关系数临界值表得r0.05(8)

0.632。因为r＞r

，说明广告费支出与业务收入存在很强的正相关关系。②相关系数r2检验和F检验。相关系数r2检验和F检验均可用于检验回归方程线性关系的显著性，二者在检验原理上大体相同，均借助了方差分析，即（1-26）式中：——总变差；——剩余变差；——回归变差。计算结果如表1.10所示。表1.10检

验

结

果时间xi

yi

1478.6442.703238.888292.41136.89271212.6070.368132.089146.4175.69391715.2493.06678.34050.4144.894122019.2120.62123.89316.8113.695142321.8541.3135.0451.22.896172625.8170.0332.94813.611.697202929.780.60832.26224.0118.498223232.4220.17869.25662.4139.699253536.3851.918150.921118.8186.4910274039.0270.947222.815252.81127.69合计157241240.99711.755956.457968.92546.10

相关系数r2利用回归变差、点变差、总变差的比重说明回归直线的代表性，若这个比例越大，则说明x与y之间关系越密切，回归直线代表性越好。一般地，r2的取值在0～1之间。

用F检验法将自变量作为一个整体来检验与因变量之间的线性关系是否显著，其计算如下：

取显著性水平

0.05，df1

1，df2

n

2

8。查F分布表得r0.05(1.8)

5.32。因为F＞F

，说明广告费支出与业务收入线性关系显著。这与相关系数r2检验所得结论一致。（3）预测分析

（1）点预测。2007年的广告费支出预计为35万元。将x0

35（万元）代入回归方程，得

3.36

1.321

35

49.595（百万元）即2007年的业务收入可望达49.595百万元。（2）区间预测①

计算估计标准误差，即因为

0.05，df

n

2

8，查t分布表得

②

当广告费支出达到x0

35（万元）时，业务收入的预测区间为

即若以95%的把握程度预测，当广告费支出达到35万元时，企业的业务收入在45.864～53.326百万元之间。3、多元线性回归

多元线性回归分析预测法是对自变量和因变量的n组统计数据（x1i,x2i,…,x

m

i

;yi

）（i

1,2,…,n），在明确因变量y与各个自变量间存在线性相关关系的基础上，给出适宜的回归方程，并据此做出关于因变量y的发展变化趋势的预测。因此，多元线性回归分析预测法的关键是找到适宜的回归方程。

类似于一元线性回归分析，可以用线性方程y

a

b1x1

b2x2

…

bmxm（1-27）来近似描述y与x1,x2,…,xm之间的线性相关关系，其中为根据所有自变量计算出来的估计值，a为常数项，称为y对应于x1,x2,…,xm的偏回归系数。偏回归系数是假设在其他所有自变量保持不变的情况下，某一个自变量的变化引起因变量变化的比重。它的参数也可以用最小二乘法进行估计。建立一个多元回归模型需要用到复杂的统计方法，现在可以使用计算机软件包来根据统计数据建立合适的多元回归方程，这样就会方便许多。自变量个数为2个的多元线性回归方程称为二元回归方程，它是多元线性回归方程中的特例。多元（以二元为例）线性回归分析的步骤如下。（1）建立线性方程y

a

b1x1

b2x2式中参数a、b1、b2仍使用最小二乘法推算，即

（1-28）将相关数据代入上述方程组，得到系数a、b1、b2。所以，二元线性回归方程为

a

b1x1

b2x2（1-29）（2）显著性检验。利用复相关系数检验回归方程整体显著性。

（1-30）

取一个特定的

，并计算出df

n

k

1（k为自变量个数），查相关系数临界值表得到R

df

。如果R＞R

，说明x1、x2与y的线性关系显著。

（3）预测分析。①点预测。将x1、x2代入公式得到预测值。②区间预测。计算估计标准误差，即

（1-31）取一