小学排列组合

排列组合知识构造排列问题在实际生活中经常会碰到这样的问题，就是要把某些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，并且与各事物所在的先后次序有关．普通地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一种排列．根据排列的定义，两个排列相似，指的是两个排列的元素完全相似，并且元素的排列次序也相似．如果两个排列中，元素不完全相似，它们是不同的排列；如果两个排列中，即使元素完全相似，但元素的排列次序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的全部排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一种元素的排列由个环节完毕：环节：从个不同的元素中任取一种元素排在第一位，有种办法；环节：从剩余的()个元素中任取一种元素排在第二位，有()种办法；……环节：从剩余的个元素中任取一种元素排在第个位置，有(种)办法；由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，背面每个因数比前一种因数小，共有个因数相乘．排列数普通地，对于的状况，排列数公式变为．表达从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，背面每一种因数比前一种因数小，始终乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还能够写为：，其中．在排列问题中，有时候会规定某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的办法数量，能够将这些物体当作一种整体捆绑在一起进行计算．组合问题日常生活中有诸多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同窗中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组办法的问题．普通地，从个不同元素中取出个()元素构成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一种组合．从排列和组合的定义能够懂得，排列与元素的次序有关，而组合与次序无关．如果两个组合中的元素完全相似，那么不管元素的次序如何，都是相似的组合，只有当两个组合中的元素不完全相似时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素()的全部组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．普通地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成下列两步：第一步：从个不同元素中取出个元素构成一组，共有种办法；第二步：将每一种组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．组合数的重要性质普通地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表达从个元素中取出个元素构成一组的全部分组办法．表达从个元素中取出()个元素构成一组的全部分组办法．显然，从个元素中选出个元素的分组办法恰是从个元素中选个元素剩余的()个元素的分组办法．例如，从人中选人开会的办法和从人中选出人不去开会的办法是同样多的，即．规定，．插板法普通用来解决求分解一定数量的无差别物体的办法的总数，使用插板法普通有三个规定：①所要分解的物体普通是相似的：②所要分解的物体必须全部分完：③参加分物体的组最少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个规定并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适宜的变形，使得它与普通的规定相符，再合用插板法．使用插板法普通有以下三种类型：个人分个东西，规定每个人最少有一种．这个时候我们只需要把全部的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，因此分法的数目为．个人分个东西，规定每个人最少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩余个东西，这个时候，我们把剩余的东西按照类型⑴来解决就能够了．因此分法的数目为．个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴同样了，但是这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为．例题精讲4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果规定2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法？4男2女6个人站成一排合影留念，规定2个女的紧挨着有多少种不同的排法？将A、B、C、D、E、F、G七位同窗在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻．请问共有多少种不同的排列办法？ 6名小朋友站成一排，若两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？若两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只规定童话书和漫画书不要分开有多少种排法？四年级三班举办六一小朋友节联欢活动．整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品构成．请问：如果规定同类型的节目持续表演，那么共有多少种不同的出场次序？8人围圆桌会餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几个坐法？a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求：⑴当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的次序？⑵当规定每个舞蹈节目之间最少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的次序？由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目构成一台晚会，规定任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一种节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排办法共有多少种？有10粒糖，分三天吃完，每天最少吃一粒，共有多少种不同的吃法？小红有10块糖，每天最少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？将个相似的苹果放到个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，能够有多少种不同的分法？三所学校组织一次联欢晚会，共表演14个节目，如果每校最少表演3个节目，那么这三所学校表演节目数的不同状况共有多少种？(1)小明有10块糖，每天最少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?(2)小明有10块糖，每天最少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?有10粒糖，每天最少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？公路上有编号为，，，…，的十只路灯，为节省用电又能看清路面，能够把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的状况下，求满足条件的关灯办法有多少种？学校新修建的一条道路上有盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，能够熄灭其中盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的盏灯，那么熄灯的办法共有多少种？在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？不不大于不大于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？全部三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？从1到这个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，最少发生一次进位？课堂检测某小组有12个同窗，其中男少先队员有3人，女少先队员有人，全组同窗站成一排，规定女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？把7支完全相似的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人最少1支，问有多少种办法？在三位数中，最少出现一种6的偶数有多少个？家庭作业将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，规定三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。学校合唱团要从个班中补充名同窗，每个班最少名，共有多少种抽调办法？能被3整除且最少有一种数字是6的四位数有个。学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他