湖南省岳阳市临湘市2023年高二上数学期末检测试题含解析

湖南省岳阳市临湘市2023年高二上数学期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在区间上随机取一个数，则事件“曲线表示圆”的概率为（）A. B.C. D.2．已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是（）A2 B.C.3 D.3．过点与直线平行的直线的方程是（）A. B.C. D.4．已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为()A. B.C. D.5．若离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，…，n，且取每一个值的概率相同，若，则n的值为（）A.4 B.6C.9 D.106．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值7．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（）A.4 B.5C.4或5 D.5或68．是等差数列，且，，则的值（）A. B.C. D.9．抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.10．已知椭圆上一点到左焦点的距离为，是的中点，则（）A.1 B.2C.3 D.411．函数的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.612．函数在上的最小值为（）A. B.4C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正三棱柱中，底面积为，一个侧面的周长为，则正三棱柱外接球的表面积为______.14．方程的曲线的一条对称轴是_______，的取值范围是______.15．设抛物线的焦点为，直线过焦点，且与抛物线交于两点，，则__________16．在平面上给定相异两点A，B，点P满足，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.18．（12分）已知正三棱柱底面边长为，是上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，（1）证明：是的中点；（2）求二面角的大小19．（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的值域20．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，过点作交于点.求证：（1）平面；（2）平面.21．（12分）已知首项为1的数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.22．（10分）已知圆的圆心在直线上，且过点（1）求圆的方程；（2）已知直线经过原点，并且被圆截得的弦长为2，求直线l的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先求出曲线表示圆参数的范围，再由几何概率可得答案.【详解】由可得曲线表示圆，则解得或又所以曲线表示圆的概率为故选：D2、D【解析】由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，根据切线的性质可得四边形PACB面积等于，，故求解最小时即可确定四边形PACB面积的最小值.【详解】圆C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆，由于四边形PACB面积等于2×××=，而，故当最小时，四边形PACB面积最小，又的最小值等于圆心C到直线l：的距离d，而，故四边形PACB面积的最小值为，故选：D3、A【解析】根据题意利用点斜式写出直线方程即可.【详解】解：过点的直线与直线平行，，即.故选：A.4、B【解析】根据向量和直线l的方向向量的关系即可求出点P到直线l的距离.【详解】由题意，，，，，，到直线的距离为.故选：B.5、D【解析】根据分布列即可求出【详解】因为，所以故选：D6、C【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；根据函数的导数图象，函数在时，，故函数在区间上单调递减，故正确；由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，故函数处取得极小值，故正确，故选：7、A【解析】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果.【详解】由，即，解得，因为,故.故选：A.8、B【解析】根据等差数列的性质计算【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列，所以故选：B9、C【解析】先把抛物线方程化为标准方程，求出即可求解【详解】由，有，可得，抛物线的焦点坐标为故选：C10、A【解析】由椭圆的定义得，进而根据中位线定理得.【详解】解：由椭圆方程得，即，因为由椭圆的定义得，，所以，因为是的中点，是的中点，所以.故选：A11、D【解析】先判断函数的单调性，再利用其单调性求最小值【详解】由，得，因为，所以，所以在上单调递增，所以，故选：D12、D【解析】求出导数，由导数确定函数在上的单调性与极值，可得最小值【详解】，所以时，，递减，时，，递增，所以是在上的唯一极值点，极小值也是最小值．故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先由条件求出底面边长和高，然后设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为，则点为正三棱柱外接球的球心，然后求出的长度即可.【详解】如图所示，设底面边长为，则底面面积为，所以，因此等边三角形的高为：，因为一个侧面的周长为，所以设、分别为上、下底面的的中心，连接，设的中点为则点为正三棱柱外接球的球心，连接、则在直角三角形中，即外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故答案为：【点睛】关键点睛：求几何体的外接球半径的关键是根据几何体的性质找出球心的位置.14、①.x轴或直线②.【解析】根据给定条件分析方程的性质即可求得对称轴及x的取值范围作答.【详解】方程中，因，则曲线关于x轴对称，又，解得，此时曲线与都关于直线对称，曲线的对称轴是x轴或直线，的取值范围是.故答案为：x轴或直线；15、【解析】抛物线焦点为,由于直线和抛物线有两个交点,故直线斜率存在.根据抛物线的定义可知,故的纵坐标为,横坐标为.不妨设,故直线的方程为,联立直线方程和抛物线方程,化简得,解得,故.所以.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的几何性质和定义.考查三角形面积公式.在解题过程中,先根据题目所给抛物线的方程求得焦点的坐标,然后利用抛物线的定义:到定点的距离等于到定直线的距离,由此求得点的坐标,进而求得直线的方程,联立直线方程和抛物线方程求得点的坐标.最后求得面积比.16、【解析】先根据求出圆的方程，再由的面积的最大值结合离心率求出和的值，进而求出面积的最小值.【详解】解：由题意，设，，因为即两边平方整理得：所以圆心为，半径因为的面积的最大值为3所以，解得：因为椭圆离心率即，所以由得：所以面积的最小值为：故答案为：.【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积的最值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值【详解】（1），所以，即抛物线C的方程.（2）设，由得所以，所以.【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长方法，(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据正棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、直角三角形的性质、正三角形的性质进行证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义进行求解即可.【小问1详解】证明：在正三棱柱中，平面，平面，则,又是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，且，平面，故平面，而平面，所以，又为正三角形，所以为的中点；【小问2详解】在正中，取的中点为，则，又平面，则，且，平面，故平面，取的中点为，且的中点为，则，故平面，而平面，所以，在等腰直角中，取的中点为，则，，平面，所以平面，而平面，所以，故为二面角平面角，又，则，，所以在中，，即：，故二面角的大小为.：19、（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可【详解】解：（1）由题意得，，令，得，令，得或，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）易知，因为,所以（或由，可得）,又当时，，所以函数在区间上的值域为【点睛】确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数的定义域；第二步，求；第三步，解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连结、，交于点，连结，通过即可证明；（2）通过，

可证平面，即得，进而通过平面得，结合即证.详解】证明：（1）连结、，交于点，连结，底面正方形，∴是中点，点是的中点，.平面，

平面，∴平面.（2），点是的中点，.底面是正方形，侧棱底面，∴，

，且

，∴平面，∴，又，∴平面，∴，，，平面.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的证明，属于基础题.21、（1）（2）【解析】（1）由，构造是以为首项，为公比等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；（2）由（1）得，利用裂项相消可求.【小问1详解】由，得，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，故数列的通项公式为.【小问2详解】由（1）知，，所以.因为，所以，所以数列的前n项和.22、（1）；（2）或.【解析】（1）根据题意设圆心坐标为，进而得，解得，故圆的方程为（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.【详解】（1）圆的圆心在直线上，设所求圆心坐标为∵过点，解得∴所求圆的方程为（2