湖北省孝感市重点高中协作体2023年高二上数学期末调研试题含解析_第1页
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文档简介

湖北省孝感市重点高中协作体2023年高二上数学期末调研试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最前面,则不同的排法有()A.24种 B.6种C.4种 D.12种2.执行如图所示的程序框图,若输出的,则输人的()A. B.或C. D.或3.在中,B=60°,,,则AC边的长等于()A. B.C. D.4.下列函数的求导正确的是()A. B.C. D.5.用数学归纳法证明时,第一步应验证不等式()A. B.C. D.6.如图,用随机模拟方法近似估计在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中阴影部分的面积,先产生两组区间上的随机数和,因此得到1000个点对,再统计出落在该阴影部分内的点数为260个,则此阴影部分的面积约为()A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.927.已知点、是双曲线C:的左、右焦点,P是C左支上一点,若直线的斜率为2,且为直角三角形,则双曲线C的离心率为()A.2 B.C. D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为,,为坐标原点,为双曲线在第一象限上的点,直线,分别交双曲线的左,右支于另一点,,若,且,则双曲线的离心率为()A. B.3C.2 D.9.为了了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为50的样本,则分段的间隔为()A.20 B.25C.40 D.5010.直线的倾斜角为()A. B.C. D.11.在中,内角所对的边为,若,,,则()A. B.C. D.12.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了48次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为()A.0.48,0.48 B.0.5,0.5C.0.48,0.5 D.0.5,0.48二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在等差数列中,,公差,则_________14.将集合且中所有的元素从小到大排列得到的数列记为,则___________(填数值).15.平行六面体中,底面是边长为1的正方形,,则对角线的长度为___.16.已知圆:和圆:,动圆M同时与圆及圆外切,则动圆的圆心M的轨迹方程为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列}的公差为整数,为其前n项和,,(1)求{}的通项公式:(2)设,数列的前n项和为,求18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD//BC,AB=BC=CD=1,AD=2,直线BC与平面PCD所成角的正弦值为.(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.19.(12分)已知为各项均为正数的等比数列,且,.(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列前n项和.20.(12分)已知双曲线C:的离心率为,过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为(1)求双曲线C的方程;(2)直线()与该双曲线C交于不同的两点A,B,且A,B两点都在以点为圆心的同一圆上,求m的取值范围21.(12分)已知抛物线,直线交于、两点,且当时,.(1)求的值;(2)如图,抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、,和交于,.证明:存在实数,使得.22.(10分)计算:(1)求函数(a,b为正常数)的导数(2)已知点P在曲线上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由已知可得只需对剩下3人全排即可【详解】解:甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最前面,则只需对剩下3人全排即可,则不同的排法共有,故选:B2、A【解析】根据题意可知该程序框图显示的算法函数为,分和两种情况讨论即可得解.【详解】解:该程序框图显示得算法函数为,由,当时,,方程无解;当时,,解得,综上,若输出的,则输入的.故选:A.3、B【解析】根据正弦定理直接计算可得答案.【详解】由正弦定理,,得,故选:B.4、B【解析】对各个选项进行导数运算验证即可.【详解】,故A错误;,故B正确;,故C错误;,故D错误.故选:B5、B【解析】取即可得到第一步应验证不等式.【详解】由题意得,当时,不等式为故选:B6、D【解析】根据几何概型的概率公式即可直接求出答案.【详解】易知,根据几何概型的概率公式,得,所以.故选:D.7、B【解析】根据双曲线的定义和勾股定理利用即可得离心率.【详解】∵直线的斜率为2,为直角三角形,∴,又,∴,.∵,即,∴故选:B.8、D【解析】由双曲线的定义可设,,由平面几何知识可得四边形为平行四边形,三角形,用余弦定理,可得,的方程,再由离心率公式可得所求值【详解】由双曲线的定义可得,由,可得,,结合双曲线性质可以得到,而,结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故,对三角形,用余弦定理,得到,结合,可得,,,代入上式子中,得到,即,结合离心率满足,即可得出,故选:D【点睛】本题考查求双曲线的离心率,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型.9、A【解析】根据系统抽样定义可求得结果【详解】分段的间隔为故选:A10、D【解析】若直线倾斜角为,由题设有,结合即可得倾斜角的大小.【详解】由直线方程,若其倾斜角为,则,而,∴.故选:D11、B【解析】利用正弦定理角化边得到,再利用余弦定理构造方程求得结果.【详解】,,由余弦定理得:,,.故选:B.12、C【解析】频率跟实验次数有关,概率是一种现象的固有属性,与实验次数无关,即可得到答案.【详解】频率跟实验次数有关,出现正面朝上的频率为实验中出现正面朝上的次数除以总试验次数,故为.概率是抛硬币试验的固有属性,与实验次数无关,抛硬币正面朝上的概率为.故选:C二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、15【解析】由等差数列通项公式直接可得.【详解】.故答案为:1514、992【解析】列举数列的前几项,观察特征,可得出.详解】由题意得观察规律可得中,以为被减数的项共有个,因为,所以是中的第5项,所以.故答案为:992.15、2【解析】利用,两边平方后,利用向量数量积计算公式,计算得.【详解】对两边平方并化简得,故.【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算,考查空间向量数量积的表示,属于中档题.16、【解析】根据动圆同时与圆及圆外切,即可得到几何关系,再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程.【详解】由题,设动圆的半径为,圆的半径为,圆的半径为,当动圆与圆,圆外切时,,,所以,因为圆心,,即,又根据双曲线的定义,得动点的轨迹为双曲线的上支,其中,,所以,则动圆圆心的轨迹方程是;故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)根据题意利用等差数列的性质列出方程,即可解得答案;(2)根据(1)的结果,求出的表达式,利用裂项求和的方法求得答案.小问1详解】设等差数列{}的公差为d,则,整理可得:,∵d是整数,解得,从而,所以数列{}的通项公式为:;【小问2详解】由(1)知,,所以18、(1)证明见解析(2)【解析】(1)取的中点,连接,证明,由线面垂直的判定定理可证明平面,再利用面面垂直的判定定理可证得结论,(2)过点作于,以为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,设,先根据直线BC与平面PCD所成角的正弦值为,求出,然后再求出平面PAB的法向量,利用向量的夹角公式可求得结果【小问1详解】证明:取的中点,连接,因为AD//BC,AB=BC=CD=1,AD=2,所以,∥,所以四边形为平行四边形,所以,所以,因为平面,平面,所以,因为,所以平面,因为平面,所以平面平面,【小问2详解】过点作于,以为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,在等腰梯形中,AD//BC,AB=BC=CD=1,AD=2,则,所以设因为平面,所以所以,设平面的法向量为,则,令,则,因为直线BC与平面PCD所成角的正弦值为,所以,解得,所以,,设平面的法向量为,因为,所以,令,则,所以,所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为19、(1);(2).【解析】(1)先通过等比数列的基本量运算求出公比,进而求出通项公式;(2)结合(1)求出,然后根据错位相减法求得答案.【小问1详解】设等比数列公比为q,,,,(负值舍去),所以.【小问2详解】,,所以,解得:.20、(1)(2)或【解析】(1)利用双曲线离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组,进而求出双曲线的标准方程;(2)联立直线和双曲线的方程,得到关于的一元二次方程,利用直线和双曲线的位置关系、根与系数的关系得到两个交点坐标间的关系,利用A,B两点都在以点为圆心的同一圆上得到,再利用向量的数量积为0得到、的关系,进而消去得到的不等式进行求解.【小问1详解】解:因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为,所以点在双曲线上,由题意,得,解得,,,即双曲线的标准方程为.【小问2详解】解:联立,得,因为直线与该双曲线C交于不同的两点,所以且,即且,设,,的中点,则,,因为A,B两点都在以点为圆心的同一圆上,所以,即,因为,,所以,即,将代入,得,解得或,即m的取值范围为或.21、(1);(2)证明见解析.【解析】(1)将代入抛物线的方程,列出韦达定理,利用弦长公式可得出关于的等式,即可解得正数的值;(2)将代入,列出韦达定理,求出两切线方程,进而可求得点的坐标,分、两种情况讨论,在时,推导出、、重合,可得出;在时,求出的中点的坐标,利用斜率关系可得出,结合平面向量的线性运算可证得结论成立.【小问1详解】解:将代入得,设、,则,由韦达定理可得,则,解得或(舍),故.【小问2详解】解:将代入中得,设、,则,由韦达定理可得,对求导得,则抛物线在点处的切线方程为,即,①同理抛物线在点处的切线方程为,②联立①②得,所以,所以点的坐标为,当时,即切线与交于轴上一点,此时、、重合,由,则,又,则存在使得成立;当时,切线与轴交于点,切线与轴交于点,由,得的中点,由得,即,又,所以,所以,,又,所以存在实数使得成立.综上,命题成立.【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:(1)设直线方程,设交点坐标为、;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的

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