2022-2023学年上海南洋模范中学(天钥桥路区)高三数学文下学期期末试卷含解析

2022-2023学年上海南洋模范中学(天钥桥路区)高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：在恒成立，2.设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为(

)A.3 B.2 C. D.参考答案：D5.设a，b是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|参考答案：A4.已知函数（，e是自然对数的底数）与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．，参考答案：B设上存在点，使得在的图象上，所以，即，记，则，则，单调递减；，单调递增，则，，所以的值域为，即a的取值范围为，故选B。

5.函数是定义在上的单调函数，且对任意的都有，若数列的前项和为，且满足，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.已知函数f(x)的定义域为［－1,4］，部分对应值如下表，f(x)的导函数的图象如上右图所示。当1＜a<2时，函数y=f(x)－a的零点的个数为（）A.2

B.3

C.4

D.5x－10234f(x)12020参考答案：C7.设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}={x|x＜﹣2或x＞2}，则集合A∩B={x|2＜x＜3}．故选：A．8.函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=x+sinx B．f（x）=C．f（x）=x（x﹣）（x﹣） D．f（x）=xcosx参考答案：D【考点】3O：函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，然后利用函数的零点与函数的定义域，推出结果即可．【解答】解：由函数的图形可知函数是奇函数，排除C，又f（x）=x+sinx=0，函数只有一个零点，所以A不正确；函数的图象可知，x=0是函数的零点，而f（x）=，x≠0，所以B不正确；故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查计算能力．9.已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆 B．越扁C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据椭圆成立的条件求出a的取值范围，进一步利用函数的单调性求出椭圆中的离心率的变化规律，最后确定结果．【解答】解：由，表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：2﹣＜a＜2+，由于a在不断的增大，所以对函数y=a2+1，（2﹣＜a＜2+）为单调递增函数，即短轴中的b2在不断增大．离心率e=，（2﹣＜a＜2+），令f（a）=4a﹣a2﹣1，（2﹣＜a＜2+），由二次函数性质可知，（2﹣，2）单调递增，（2，2+）单调递减，∴e随着a的增加，先增加后减小，∴随着a的增大该椭圆先越扁后接近于圆，故选：D．10.已知函数，则使得成立的的取值范围是A.(－1,3)

B.(－∞,－3)∪(3,+∞)C.(－3,3)

D.(－∞,－1)∪(3,+∞)参考答案：D因为，所以是偶函数，又在单调递减，在单调递增，所以等价于，解得，或.故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等边三角形ABC中,点在线段上，满足，若，则实数的值是___________参考答案：12.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，，则的最小值为_______．参考答案：5﹣【分析】设圆心为O,AB中点为D,先求出，再求PM的最小值得解.【详解】设圆心为O,AB中点为D,由题得.取AC中点M，由题得,两方程平方相减得，要使取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共线时，PM最小.此时DM=,所以PM有最小值为2﹣，代入求得的最小值为5﹣．故答案为：5﹣【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”．不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．下面三个数列：①数列的前项和；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“性质”的为

；具有“变换性质”的为

.参考答案：14.如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点A、B、C、D,则的值是________参考答案：115.函数的反函数的图象经过点，则实数=

参考答案：216.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是

. 参考答案：17.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.参考答案：0.98平均正点率的估计值.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列的前n项和为，。 （1）求； （2）求证：数列是等比数列； （3）求。参考答案：（1）。（2）（3）见解析（1）解：由，得，∴。又，即，得。（2）证明：当时，，得，所以是首项为，公比为的等比数列。（3）解：由（2）可得。19.已知集合（）.对于，，定义；（）；A与B之间的距离为．（Ⅰ）当时，设，．若，求；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若，且，使，则；（ⅱ）设，且．是否一定，使？说明理由；（Ⅲ）记．若，，且，求的最大值．参考答案：（Ⅰ），或．（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）不存在，使得．见解析（Ⅲ）的最大值为．【分析】（Ⅰ）由已知的新定义，代值计算即可；（Ⅱ）（ⅰ）由已知新定义，可将已知转化为，使得，其中，所以与同为非负数或同为负数，进而由与绝对值的性质即可得证；（ⅱ）举特例取，，，即可说明不存在；（Ⅲ）由绝对值的性质对，都有，则所求式子．【详解】（Ⅰ）当时，由，得，即．由，得，或．（Ⅱ）（ⅰ）证明：设，，．因为，使，所以，使得，即，使得，其中．所以与同为非负数或同为负数．所以．（ⅱ）设，且，此时不一定，使得．反例如下：取，，，则，，，显然．因为，，所以不存在，使得．（Ⅲ）解法一：因为，设中有项为非负数，项为负数．不妨设时；时，．所以因为，所以，

整理得．所以．因为；又，所以．即．对于，，有，，且，．综上，的最大值为．解法二：首先证明如下引理：设，则有．证明：因为，，所以，即．所以．上式等号成立的条件为，或，所以．对于，，有，，且，．综上，的最大值为．【点睛】本题考查向量与绝对值求和的新定义问题，还考查了绝对值的性质的应用，属于难题.20.已知a为实常数，函数f（x）=lnx，g（x）=ax﹣1．（Ⅰ）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）有两个不同的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），其中x1＜x2．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：﹣1＜y1＜0，且e+e＞2．（注：e为自然对数的底数）参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）f′（x）=﹣a，（x＞0）．对a分类讨论：a≤0，a＞0，利用导数研究函数的单调性；（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可知，当a≤0时f（x）单调，不存在两个零点；当a＞0时，可求得f（x）有唯一极大值，令其大于零，可得a的范围，再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可；（ⅱ）构造函数G（x）=h（﹣x）﹣h（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax），（0＜x≤），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）h′（x）=﹣a，（x＞0）．当a≤0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，h′（x）=，令h′（x）＞0，解得0＜x＜；令h′（x）＜0，解得x＞．∴函数h（x）的单调递增区间为（0，），单调递减为（，+∞）．综上可得：当a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，函数h（x）的单调递增区间为（0，），单调递减为（，+∞）．（Ⅱ）（ⅰ）函数f（x）与g（x）有两个不同的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），其中x1＜x2．等价于函数h（x）有两个不同的零点x1，x2，其中x1＜x2．由（Ⅰ）知，当a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）上是增函数，不可能有两个零点，当a＞0时，h（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，此时h（）为函数f（x）的最大值，当h（）≤0时，h（x）最多有一个零点，∴h（）=ln＞0，解得0＜a＜1，此时，＜＜，且h（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，h（）=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣（0＜a＜1），令F（a）=3﹣2lna﹣，则F'（x）=﹣+=＞0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）=3﹣e2＜0，即h（）＜0，∴a的取值范围是（0，1）．（ii）∵h（x）=lnx﹣ax+1在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，∴h（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，h（1）=1﹣a＞0，故＜x1＜1，即﹣1＜f（x1）＜0，∴﹣1＜y1＜0，构造函数G（x）=h（﹣x）﹣h（x）=ln（﹣x）﹣a（﹣x）﹣（lnx﹣ax），（0＜x≤），则G′（x）=＜0，∴G（x）在（0，]递减，∵0＜x1＜，∴G（x1）＞G（）=0，∵h（x1）=0，∴h（﹣x1）=ln（﹣x1）﹣a（﹣x1）+1﹣h（x1）=G（x1）＞0=h）x2），∴由（Ⅰ）得：x2＞﹣x1，即+＞＞2，∴e+e＞2．21.设不等式的解集为，，.（1）试比较与的大小；（2）设表示数集中的最大数，且，求的范围.参考答案：（1）；（2）．试题分析：（1）解不等式可得，即范围已知，