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文档简介
广东省阳山中学2023-2024学年高二数学第一学期期末检测试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若圆上至少有三个点到直线的距离为1,则半径的取值范围是()A. B.C. D.2.若直线与曲线有两个公共点,则实数的取值范围为()A. B.C. D.3.抛物线的焦点到准线的距离为()A. B.C. D.4.若数列是等差数列,其前n项和为,若,且,则等于()A. B.C. D.5.人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线,它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”,自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案,例如向日葵、鹦鹉螺等.斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1,1,2,3,5,8,…为边长的正方形拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.下图为该螺旋线在正方形边长为1,1,2,3,5,8的部分,如图建立平面直角坐标系(规定小方格的边长为1),则接下来的一段圆弧所在圆的方程为()A. B.C. D.6.美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学.素描是学习绘画的必要一步,它包括明暗素描和结构素描,而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱,底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体,原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线)的过程中,发现“切面”是一个椭圆,若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为60度的直角梯形,则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.7.已知命题P:,,则命题P的否定为()A., B.,C., D.,8.若,都是实数,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件9.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3,则点到另一个焦点的距离为()A.9 B.7C.5 D.310.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴广交会的四个不同地方服务,不同的分配方案有()种A.· B.·C. D.11.已知:,:,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是()A. B.C. D.12.已知椭圆C:()的长轴的长为4,焦距为2,则C的方程为()A B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆,以点为中点的弦所在的直线的方程是___________14.如图,已知与所在平面垂直,且,,,点P、Q分别在线段BD、CD上,沿直线PQ将向上翻折,使D与A重合.则直线AP与平面ACQ所成角的正弦值为______15.已知数列an满足,则__________16.若两定点A,B的距离为3,动点M满足,则M点的轨迹围成区域的面积为_________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知圆内有一点,过点P作直线l交圆C于A,B两点.(1)当P为弦的中点时,求直线l的方程;(2)若直线l与直线平行,求弦的长.18.(12分)已知圆C的圆心在直线上,圆心到x轴的距离为2,且截y轴所得弦长为(1)求圆C的方程;(2)若圆C上至少有三个不同的点到直线的距离为,求实数k的取值范围19.(12分)已知数列的前项和(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和20.(12分)如图,四棱锥中,是边长为4的正三角形,为正方形,平面平面,、分别为、中点.(1)证明:平面;(2)求直线EP与平面AEF所成角的正弦值.21.(12分)已知两条直线,.设为实数,分别根据下列条件求的值.(1);(2)直线在轴、轴上截距之和等于.22.(10分)已知抛物线C的顶点在坐标原点,准线方程为(1)求抛物线C的标准方程;(2)若AB是过抛物线C的焦点F的弦,以弦AB为直径的圆与直线的位置关系是什么?先给出你的判断结论,再给出你的证明,并作出必要的图形
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先求出圆心到直线的距离为,由此可知当圆的半径为时,圆上恰有三点到直线的距离为,当圆的半径时,圆上恰有四个点到直线的距离为,故半径的取值范围是,即可求出答案.【详解】由已知条件得的圆心坐标为,圆心到直线为,∵圆上至少有三个点到直线的距离为1,∴圆的半径的取值范围是,即,即半径的取值范围是.故选:.2、D【解析】由题可知,曲线表示一个半圆,结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.【详解】由得,画出图像如图:当直线与半圆O相切时,直线与半圆O有一个公共点,此时,,所以,由图可知,此时,所以,当直线如图过点A、B时,直线与半圆O刚好有两个公共点,此时,由图可知,当直线介于与之间时,直线与曲线有两个公共点,所以.故选:D.3、B【解析】根据抛物线的几何性质可得选项.【详解】由得,所以,所以抛物线的焦点到准线的距离为1,故选:B.4、B【解析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差,即可求出.【详解】设等差数列的公差为,则解得:,所以.故选:B.5、C【解析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1,1,2,3,5,8,…,从而可求出下一段圆弧的半径为13,由于每一个圆弧为四分之一圆,从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心,进而可得其方程【详解】解:由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1,1,2,3,5,8,…,从而可求出下一段圆弧的半径为13,由题意可知下一段圆弧过点,因为每一段圆弧的圆心角都为90°,所以下一段圆弧所在圆的圆心与点的连线平行于轴,因为下一段圆弧半径为13,所以所求圆的圆心为,所以所求圆的方程为,故选:C6、A【解析】设圆柱的底面半径为,由题意知,,椭圆的长轴长,短轴长为,可以求出的值,即可得离心率.【详解】设圆柱的底面半径为,依题意知,最长母线与最短母线所在截面如图所示从而因此在椭圆中长轴长,短轴长,,故选:A【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和椭圆离心力的求解,属于基础题.7、B【解析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果【详解】命题:,,则命题的否定为,故选:B8、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.【详解】若,则,可得,所以,可得,故充分性成立,取,,满足,但,无意义得不出,故必要性不成立,所以是的充分不必要条件,故选:A.9、A【解析】根据椭圆定义求得即可.【详解】由椭圆定义知,点P到另一个焦点的距离为2×6-3=9.故选:A10、B【解析】先按要求分为四组,再四个不同地方,四个组进行全排列.【详解】两个组各2人,两个组各1人,属于部分平均分组,要除以平均分组的组数的全排列,故分组方案有种,再将分得的4组,分配到四个不同地方服务,则不同的分配方案有种.故选:B11、C【解析】由是的充分不必要条件,则是的充分不必要条件,再根据对应集合的包含关系可得答案.【详解】由,即,设,由是的充分不必要条件,则是的充分不必要条件所以,则故选:C12、D【解析】由题设可得求出椭圆参数,即可得方程.【详解】由题设,知:,可得,则,∴C的方程为.故选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】设,利用以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于AC的直线求得直线斜率,由点斜式可求得直线方程【详解】圆的方程可化为,可知圆心为设,则以为中点的弦所在的直线即为经过点且垂直于的直线.又知,所以,所以直线的方程为,即故答案为:【点睛】本题考查圆的几何性质,考查直线方程求解,是基础题14、##【解析】取的中点,的中点,以所在直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,设,根据求出,再由空间向量的数量积即可求解.【详解】取的中点,的中点,如图以所在直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,不妨设,则,,,由,即,解得,所以,故,设为平面ACQ的一个法向量,因为,,由,即,所以,设直线AP与平面ACQ所成角为,则.故答案为:15、2019【解析】将已知化为代入可以左右相消化简,将已知化为,代入可以上下相消化简,再全部代入求解即可.【详解】由知故所以故答案为:201916、【解析】建立如图直角坐标系,设点,根据题意和两点坐标求距离公式可得,结合圆的面积公式计算即可.【详解】以点A为坐标原点,射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系,如图,设点,则,由,化简并整理得:,于是得点M轨迹是以点为圆心,2为半径的圆,其面积为,所以M点的轨迹围成区域的面积为.故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)由题意,,求出直线l的斜率,利用点斜式即可求解;(2)由题意,利用点斜式求出直线l的方程,然后由点到直线的距离公式求出弦心距,最后根据弦长公式即可求解.小问1详解】解:由题意,圆心,P为弦的中点时,由圆的性质有,又,所以,所以直线l的方程为,即;【小问2详解】解:因为直线l与直线平行,所以,所以直线的方程为,即,因为圆心到直线的距离,又半径,所以由弦长公式得.18、(1)或;(2).【解析】(1)设圆心为,由题意及圆的弦长公式即可列方程组,解方程组即可;(2)由题意可将问题转化为圆心到直线l:的距离,解不等式即可.【详解】解:(1)设圆心为,半径为r,根据题意得,解得,所以圆C的方程为或(2)由(1)知圆C的圆心为或,半径为,由圆C上至少有三个不同的点到直线l:的距离为,可知圆心到直线l:的距离即,所以,解得所以直线l斜率的取值范围为19、(1)(2)【解析】(1)利用与的关系求数列的通项公式;(2)利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为,故当时,,两式相减得,又由题设可得,从而的通项公式为:;【小问2详解】因为,,两式相减得:所以.20、(1)见解析(2)【解析】(1)连接,证明,即可证明平面;(2)取的中点,连接,由平面平面,得平面,建立如图所示空间直角坐标系,利用向量法即可求得答案.【小问1详解】证明:连接,是正方形,是的中点,是的中点,是的中点,,平面,平面,平面;【小问2详解】取的中点,连接,则,因为是边长为4的正三角形,所以,因为平面平面,且平面平面,所以平面,建立如图所示空间直角坐标系,则,则,设平面的法向量,则有,可取,则,所以直线EP与平面AEF所成角的正弦值为.21、(1);(2).【解析】(1)由两直线平行可得出关于的等式,求出的值,再代入两直线方程,验证两直线是否平行,由此可得出结果;(2)分析可知,求出直线在轴、轴上的截距,结合已知条件可得出关于的等式,即可解得的值.【小问1详解】解:由,则,即,解得或.当时,,,此时;当时,,,此时重合,不合乎题意.综上所述,;【小问2详解】解:对于直线,由已知可得,则,令,得;令,得.因为直线在轴、轴上截距之和等于,即,解得.22、(1);(2)相切,证明过程、图形见解析.【解析】(1)根据抛物线的准线方程,结合抛物线标准方程进行求解即可;(2)设出直线AB的方程与抛物线方程联立,利用一元二次方程根与系数关系,结合圆的性质进行求解即可.【小问1详解】因为抛物线C的顶点在坐标原点,准
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