广东省茂名市第十中学2024届数学高二上期末学业质量监测试题含解析

广东省茂名市第十中学2024届数学高二上期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝()A. B.C.3 D.22．在中，若，，则外接圆半径为（）A. B.C. D.3．已知，，若，则（）A.6 B.11C.12 D.224．已知长方体中，，，则直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的结果是（）A.128 B.64C.16 D.326．已知命题：，，命题：，，则（）A.是假命题 B.是真命题C.是真命题 D.是假命题7．直线l：的倾斜角为（）A. B.C. D.8．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（）A.1 B.2C. D.39．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种A.54 B.72C.96 D.12010．已知双曲线C的离心率为，，是C的两个焦点，P为C上一点，，若△的面积为，则双曲线C的实轴长为（）A.1 B.2C.4 D.611．如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别为SA，BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则（）A. B.C. D.12．圆心，半径为的圆的方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列满足，则__________.14．一个物体的运动方程为其中位移的单位是米，时间的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是__________米/秒15．双曲线的离心率______.16．在空间直角坐标系中，已知向量，则在轴上的投影向量为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是，的等比中项，，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.18．（12分）已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值19．（12分）求下列函数的导数：（1）；（2）.20．（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，并将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数（结果写成分数的形式）；（2）为了解该车间工人生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表：工龄x（单位：年）4681012生产速度y（单位：件/小时）4257626267根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程，并据此估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为：，21．（12分）等差数列{an}的前n项和记为Sn，且.（1）求数列{an}的通项公式an（2）记数列的前n项和为Tn，若，求n的最小值.22．（10分）已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和；（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，利用抛物线定义以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.【详解】如图所示：过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.2、A【解析】根据三角形面积公式求出c，再由余弦定理求出a，根据正弦定理即可求外接圆半径.【详解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故选：A3、C【解析】根据递推关系式计算即可求出结果.【详解】因为，，，则，，，故选：C.4、C【解析】建立空间直角坐标系，设直线与所成角为，由求解.【详解】∵长方体中，，，∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，，则，，，，所以，，设直线与所成角为，则，∴直线和夹角余弦值是.故选：C.5、C【解析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果.【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下：1、成立，则；2、成立，则；3、成立，则；4、成立，则；5、不成立，输出；故选：C6、C【解析】先分别判断命题、的真假，再利用逻辑联结词“或”与“且”判断命题的真假.【详解】由题意，，所以，成立，即命题为真命题，，所以不存在，使得，即命题为假命题，所以是假命题，为真命题，所以是真命题，是假命题，是假命题，是真命题.故选：C7、D【解析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率为，倾斜角的范围为,则倾斜角为.故选：D.8、D【解析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，，即，故选：D9、A【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；则一共有种不同的名次情况，故选：A10、C【解析】由已知条件可得，，，再由余弦定理得，进而求其正弦值，最后利用三角形面积公式列方程求参数a，即可知双曲线C的实轴长.【详解】由题意知，点P在右支上，则，又，∴，，又，∴，则在△中，，∴，故，解得，∴实轴长为，故选：C.11、B【解析】利用空间向量基本定理结合已知条件求解【详解】因为，所以，因为E，F分别为SA，BC的中点，所以,故选：B12、D【解析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.【详解】因为圆心为，半径为，所以圆的方程为:.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】对递推关系多递推一次，再相减，可得，再验证是否满足；【详解】∵①时，②①-②得，时，满足上式，.故答案为：.【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.14、5【解析】，15、【解析】根据双曲线方程直接可得离心率.【详解】由，可得，，故，离心率，故答案为：.16、【解析】根据向量坐标意义及投影的定义得解.【详解】因为向量，所以在轴上的投影向量为.故答案为:三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据是，的等比中项，且，，由求解；（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.【小问1详解】解：因为是，的等比中项，且，，所以，解得，，所以；【小问2详解】由（1）得，所以，则，两式相减得，，，所以.18、（1）（2）周长是定值，且定值为4【解析】（1）首先求出直线与轴的交点，即可求出，再根据离心率求出，最后根据求出，即可得解；（2）：设直线的方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦的长，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即可得到，再求出、，最后根据计算即可得解；【小问1详解】解：因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，又，可得：，由，所以，∴椭圆的标准方程为；【小问2详解】解：设直线的方程为，由得：，所以，设，，则：，所以.因为直线与圆相切，所以，即，所以，因为，又，所以，同理.所以，即的周长是定值，且定值为419、（1）；（2）.【解析】（1）根据导数的加法运算法则，结合常见函数的导数进行求解即可；（2）根据导数的加法和乘法的运算法则，结合常见函数的导数进行求解即可.【小问1详解】；【小问2详解】.20、（1）（2）80件/小时【解析】（1）先利用等差数列的通项公式和频率分布直方图各矩形的面积之和为1求出各组频率，再利用频率分布直方图求中位数；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回归直线方程，再进行预测其生产速度.【小问1详解】解：设前4组的频率分别为，，，，公差为，由频率分布直方图，得，即，解得，则，，所以中位数为.【小问2详解】解：由题意，得，，由所给公式，得，，所以回归直线方程为，则当时，，即估计该车间某位有16年工龄的工人的生产速度为80件/小时.21、（1）an=2n（2）100【解析】（1）由等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）由裂项相消求和法得出，再由不等式的性质得出n的最小值.【小问1详解】设等差数列{an}的公差为d，依题意有解得，所以an=2n.【小问2详解】由（1）得，则，所以因为，即，解得n>99，所以n的最小值为100.22、（1）（2）（3）最大