高中数学人教A版（2023）选修1 1.2 空间向量基本定理章节综合练习题（答案+解析）

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1.2空间向量基本定理

一、选择题

1．（2023高二上·临安开学考）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（）

A．B．C．D．

2．（2023高三上·深圳月考）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（）

A．B．C．D．

3．（2023高一下·湖南期末）已知是空间的一个基底，若，，则下列与，构成一组空间基底的是（）

A．B．

C．D．

4．在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，，，则（）

A．B．

C．D．

5．（2023高二上·鄠邑期末）已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（）

A．若，则

B．两两共面，但不共面

C．一定存在x，y，使得

D．一定能构成空间的一个基底

6．（2023高二上·汕尾期末）已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（）

A．B．C．1D．

7．（2022高二上·信阳期中）设向量，，不共面，空间一点P满足，则A，B，C，P四点共面的一组数对是（）

A．B．

C．D．

8．（2022高二上·房山期中）如果空间向量不共线，且，那么的值分別是（）

A．B．

C．D．

9．（2022高二上·辽宁月考）已知四棱锥的底面为平行四边形，M，N分别为棱，上的点，，N是的中点，向量，则（）

A．，B．，

C．，D．，

10．（2022高二上·绍兴月考）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（）

A．B．

C．D．

11．（2022高二上·沧州月考）如图所示，E，F分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，D是线段EF的一个四等分点（靠近E点），设，则（）

A．B．

C．D．

12．（2022高二上·河南月考）已知A，B，C，D四点在平面内，且任意三点都不共线，点P为平面外的一点，满足，则z＝（）

A．2B．1C．－1D．－2

13．（2022高二上·沧州月考）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）

A．B．

C．D．

14．（2022高二下·盐城月考）如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（）

A．B．

C．D．

15．（2022高二下·河南月考）如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（）

A．B．

C．D．

16．（2022高二上·临湘期末）如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（）

A．B．

C．D．

17．（2022高二上·大连月考）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

18．（2023高二上·河北期中）下列四个命题中，正确命题的个数是（）

①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；

②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m；

③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；

④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．

A．1B．2C．3D．4

19．（2023高二上·河东期中）在长方体中，可以作为空间向量一个基底的是（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

20．（2023高二上·山东月考）已知空间四点，，，共面，则的值为（）

A．1B．3C．11D．5

21．在以下三个命题中，真命题的个数是（）.

①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底.

A．0B．1C．2D．3

22．若向量、、的起点与终点、、、互不重合且无三点共线，且满足下列关系（是空间任一点），则能使向量、、成为空间一组基底的关系是（）

A．B．

C．D．

23．设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

24．（2023高二上·鱼台月考）已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量=，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（）

A．B．

C．D．或

25．（2023·萍乡模拟）如图，已知，，，，，则等于（）

A．B．C．D．

26．若是空间的一个基底，，，，，，则x，y，z的值分别为（）

A．，-1，-B．,1，

C．-，1，-D．，1，-

27．在以下三个命题中，真命题的个数是（）

①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；

②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；

③若a、b是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底．

A．0B．1C．2D．3

28．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知=，=，=，O为底面ABCD中心，G为△D1C1O重心，则=（）（用表示）

A．B．

C．D．

29．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若=+x+y，则x﹣y等于（）

A．0B．1C．D．﹣

30．（2023高二上·黄陵期中）（理）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：

①+++=；

②+﹣﹣=；

③﹣+﹣=；

④=；

⑤=0，

其中正确结论是（）

A．①②③B．④⑤C．②④D．③④

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可知：，

所以在基底下的坐标为.

故答案为：B.

【分析】根据题意结合空间向量基本定理运算求解.

2．【答案】C

【解析】【解答】解：由，，得，即，

由于P、C、D在一条直线上，故，解得，

又因为，，所以，

，

即

故答案为：C.

【分析】由平面向量的线性运算和平面向量基本定理可求出m，再利用向量数量积的运算求出，再由向量模的公式直接计算即可得答案.

3．【答案】A

【解析】【解答】解：若，，不能构成一组空间基底，则，，共面，

所以存在唯一实数，使得，

对A：因为，则，

整理得，所以，无解.

即，，不共面，所以与构成一个基底，故A正确；

对B：因为，所以，故B错误；

对C：因为，所以，故C错误；

对D：因为，所以，故D错误.

故答案为：A.

【分析】根据题意结合空间向量基底的概念和共面向量的性质逐项分析判断.

4．【答案】C

【解析】【解答】如图所示：

因为为的中点，

所以.

故答案为：C.

【分析】根据中线的性质，结合空间向量的线性运算求解.

5．【答案】C

【解析】【解答】对于A，若不全为0，则共面，与题意矛盾，A符合题意；

对于B，是空间的一个基底，则两两共面，但不共面，B符合题意；

对于C，不共面，则不存在实数，使得，C不符合题意；

对于D，若共面，，无解，

故不共面，一定能构成空间的一个基底，D符合题意

故答案为：C．

【分析】由不全为0，得到共面，可判定A正确；根据空间向量的基底的定义，可判定B正确；由不共面，得到不存在实数，使得，可判定C错误；设向量共面，列出方程组无解，可判定D正确.

6．【答案】B

【解析】【解答】因为，

所以

，

故，故.

故答案为：B

【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案.

7．【答案】B

【解析】【解答】因为向量，，不共面，，

所以当且仅当时，A，B，C，P四点共面，

对于A，，A不符合题意；

对于B，，B符合题意；

对于C，，C不符合题意；

对于D，，D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】由题设条件可知，A，B，C，P四点共面等价于，由此对选项逐一检验即可.

8．【答案】C

【解析】【解答】由题意可知空间向量不共线，且，即，

则，即，

故答案为：C.

【分析】根据题意，化简得到，进而的方程组，即可求解.

9．【答案】B

【解析】【解答】解：因为，所以，

，

又，

所以.

故答案为：B.

【分析】根据向量的线性运算，化简得到，结合题意，即可求得的值.

10．【答案】C

【解析】【解答】由底面是正方形，E为的中点，且，

根据向量的运算法则，可得

.

故答案为：C.

【分析】由E为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.

11．【答案】C

【解析】【解答】解：如图所示，连接，

.

故答案为：C．

【分析】根据空间向量的线性运算，即可求出相应的向量。

12．【答案】A

【解析】【解答】因为四点在平面内，且点为平面外的一点，

而，所以，

所以，所以

所以，解得.

故答案为：A.

【分析】根据空间向量的线性运算，表示出相应的向量，即可求出参数z的值。

13．【答案】B

【解析】【解答】对于A.，A不符合题意；

对于B.不共面，B符合题意；

对于C.，C不符合题意

对于D.，D不符合题意

故答案为：B

【分析】根据不共面的向量可以作为空间向量的一组基底，逐一判断即可。

14．【答案】A

【解析】【解答】解：在三棱锥O-ABC中，

∵，E为OA的中点，

，，

所以.

故选：A

【分析】根据空间向量的加、减、以及数乘运算进行求解.

15．【答案】D

【解析】【解答】根据题意可得：

故答案为：D.

【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可.

16．【答案】A

【解析】【解答】∵在四面体中，，分别是，的中点，

故答案为：A．

【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.

17．【答案】C

【解析】【解答】A：，所以，，共面；

B：，所以，，共面；

C：不能用，表示，所以，，不共面；

D：，共线，则，，共面．

故答案为：C

【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。

18．【答案】D

【解析】【解答】①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，由空间向量基本定理知，正确；

②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m，由方向向量的定义知，正确；

③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面，由空间向量共面定理知，正确；

④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．由法向量的定义知，正确.

故答案为：D

【分析】根据题意结合空间向量的基本定理，由此判断出①正确；由直线的方向向量与向量共线的关系，由此判断出②正确；由空间向量共面定理即可判断出③正确；由平面的法向量的定义，结合平面平行的性质即可判断出④正确，从而即可得出答案。

19．【答案】C

【解析】【解答】如图所示：

A.因为，，，所以，，共面，故错误；

B.因为=+，所以，，共面，故错误；

C.因为，，不共面，故正确；

D.因为，，共面，故错误；

故答案为：C

【分析】根据题意由空间向量基底的定义，对选项逐一判断即可得出答案。

20．【答案】C

【解析】【解答】由于，，，，

所以，，，

而空间四点，，，共面，

所以结合空间向量基本定理可知，

故，故，解得。

故答案为：C

【分析】利用点的坐标结合已知条件和向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再结合空间四点，，，共面，所以结合空间向量基本定理可知，再利用向量的坐标运算，从而解方程组求出m，n，z的值。

21．【答案】C

【解析】【解答】①正确，作为基底的向量必须不共面；

②正确；

③错误，因为，，共面，所以不能构成基底.

故只有①②正确.

故答案为：C.

【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共面即可判断出①②正确由此得到答案。

22．【答案】C

【解析】【解答】A中，因为，所以、、、共面，所以向量、、不能成为空间的一组基底；

B中，，但可能，即、、、可能共面，所以向量、、不一定能成为空间的一组基底；

D中，∵，∴、、、共面，所以向量、、不能成为空间的一组基底，

故答案为：C．

【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。

23．【答案】C

【解析】【解答】，，，共面，

①，，不能作为空间向量的一个基底．

，，，，，不共面，

②，，可作为空间向量的一个基底．

同理，，，不共面，，，不共面，

③，，；④，，都可作为空间向量的一个基底．

故答案为：C．

【分析】由空间向量基底的定义即三个向量不共面对选项逐一判断即可得出答案。

24．【答案】C

【解析】【解答】因为=，=，

故()，所以与向量共面，

故，，不能构成空间的一个基底.

故答案为：C.

【分析】根据题意，寻找与共面的向量即可.

25．【答案】A

【解析】【解答】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：

因为，且，∴，

∴A（1，0），B（），又令，则=，∴=7，

又如图点C在∠AOB内，∴=，sin=,又，∴C（），

∵，（m，n∈R），∴（）=（m,0）+（）=(m，）

即m，，解得n=，m=，∴，

故答案为：A．

【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，结合空间向量的线性运算，解方程求出m和n，即可得到式子的值.

26．【答案】A

【解析】【解答】=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3=e1+2e2+3e3，

由空间向量基本定理，得∴x=，y=-1，z=-.

【分析】将，，代入=x+y+z中并整理，可得到关于x，y，z的三个方程，联立方程即可求解.

27．【答案】C

【解析】【解答】①正确，表示基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线．

当时，a、b、c