1-三角形中的特殊点和四点共圆

人人（智启）教育个性化教案学生学校年级星期学科数学教师日期时段课题三角形中的四个基本特殊点和四点共圆(基础)教学目标考点分析1，掌握三角形中的四个基本的特殊点（内心外心垂心重心）的定义，2，初步掌握它们的一些性质教学重点塞瓦定理，欧拉线，欧拉定理，垂足三角形,四点共圆的判定教学难点建立几何观念教学过程三角形中有非常多的特殊点，比如重心，垂心，旁心，内心，外心，奈格尔点，格尔纲点，布洛卡尔点，spieker点，Baven点，九点圆圆心，陪位重心等等，也有很多特殊的直线，比如欧拉线，西姆松线，等等.经过无数人研究，它们已经成为几何的基本工具，用以研究其余问题，掌握这些传统知识，能使我们更好的理解和掌握平面几何的更深刻的问题.下面我们就从给最基本的开始，即四个心：重心G，垂心H，外心O，内心I.(以下如果没有特别说明，a,b,c表示三角形ABC的顶点A,B,C的对边长度,S表示三角形ABC的面积,p表示三角形的周长的一半.R表示外接圆半径,r表示内切圆半径.)1,重心：三角形三条中心的交点,G.众所周知，重心把每条中线都分为2:1的两部分.下面我们来证明三条重线的确交于一点，为了给出一个统一的判断方法，我们先来证明下面的塞瓦定理和四点共圆的判定方法：塞瓦定理：三角形ABC三边上分别有D,E,F三点（如图），若直线AD,BE,CF三线共点，则有：另外，塞瓦定理的逆定理也成立，这就是判定三线共点的一种方法.也就是：若上面的式子成立，则有AD,BE,CF共点.注意，上式中的线段都是有向线段.塞瓦定理的角元形式：三角形ABC三边上分别有D,E,F三点（如图），直线AD,BE,CF三线共点的等价条件为：那么，利用塞瓦定理逆定理，我们很容易证明三角形三条中线交于一点.甚至之后很多特殊点也可以用塞瓦定理逆定理来判定.四点共圆:即四个点(ABCD)在同一个圆上.圆内接四边形ABCD的基本性质:(1)对角互补,即∠BAD+∠BCD=180°(2)一边在同侧的张角相等,即∠DAC=∠DBC.四点共圆的判定方法:(1)若∠BAD+∠BCD=180°,即对角互补,则ABCD四点共圆.(2)若∠DAC=∠DBC,即一边在同侧的张角相等,则ABCD四点共圆.以上性质和判定都很容易用圆周角的性质来证明.请自己完成,其中判定方法是非常重要的.另外,我们可以证明三角形ADP相似于三角形BCP.这样便得到下面的相交弦定理:(有向线段)这同时也是四点共圆的一种判定方法.由此可见,的值只与P的位置有关,与如何过P作圆的弦无关.这个值,我们把它叫做P点关于圆O的幂,简称P的幂.特别地,我们作直线PO,与圆O交于X,Y,则我们有我们定义P关于圆O的幂为,r为圆O的半径,可以看出:当P在圆内时,幂为负,在圆外时,幂为正,圆周上幂为0.如图:由圆外一点P作两条射线,与圆O分别交于A,D和B,C,求证:由此,也给出一个四点共圆的判定方法.请自己考虑极限情况:当BC两点重合的情形.我们来看下面的证明题：三角形ABC的外接圆与另一圆D交于H，I，AB，AC分别与直线HI交于F，G，过D作BC的垂线与圆D交于E点，若FEC，GEB都三点共线，证明：AE平分∠BAC.托勒密定理：圆内接四边形ABCD中，两组对边的乘积的和等于两条对角线的乘积.即：我们用相似三角形给出托勒密定理的一种证明，一定要重视证明的方法.将来我们还要给出托勒密定理的推广.米库尔定理：如图，四边形ABCD的两组对边延长后分别交于E，F（通常称之为完全四线形），则以下四个三角形的外接圆共点M：△ABF，△BCE，△CDF，△ADE.事实上我们假设△ABF，△BCE的外接圆交于B，M，然后证明FMCD四点共圆即可，这很容易用对角互补来判定.2,垂心：三角形三条高线所在直线的交点,H.请用塞瓦定理逆定理四点共圆两种方法证明：三条高的确交于一点.另外我们以后将要证明，锐角三角形的垂足三角形（即三角形DEF）的内心就是H，以及，锐角三角形ABC的垂足三角形是所有内接三角形中周长最小者.请根据垂心的定义,找出上图中相等的角:请给出线段EF和HD的计算方法,用a,b,c,A,B,C来表示.3,外心:三角形三边中垂线的交点,O.我们用中垂线的定义和基本性质就能证明它们交于一点O,另外,O点到三个顶点的距离相等,所以可以以O为圆心作圆同时经过三个顶点,这个圆叫做三角形ABC的外接圆.由正弦定理我们知道外接圆半径R的计算方法,以及和面积的关系:.请由圆周角和圆心角的关系,给出线段OD的长度计算公式:请问:直角三角形的外心在哪里?请计算一个三边长分别是4,5,6的三角形的外接圆半径.3,内心:三角形三条角平分线的交点,I.我们用角平分线的定义和基本性质就能证明它们交于一点I,另外,I点到三条边的距离相等,所以可以以I为圆心作圆同时与三条边相切,这个圆叫做三角形ABC的内切圆.请用面积法给出内切圆的半径r的计算方法.用面积法给出角平分线AD长的计算公式.用角平分线定理给出AI和ID的比值.如图三角形ABC的内切圆与三边的切点分别是D,E,F,证明:三角形DEF是锐角三角形.例题:1,锐角三角形ABC的垂心为H,三高垂足分别是D,E,F,证明:H是三角形DEF的内心.且三角形DEF是ABC的内接三角形中周长最小的.2,三角形ABC的垂心为H,外心为O,D是BC中点,求证:AH=2OD.这是一个重要关系,我们用两种方法加以证明,一种用纯几何方式,另一种用计算法.另外,由此关系,请证明下面这个重要的向量关系:3,三角形ABC中,H,G,O分别时垂心,重心,外心,证明:H,G,O三点共线,且HG=2GO4,三角形ABC的外心为O,内心为I,外接圆半径为R,内切圆半径为r,设IO长度为d,则(欧拉定理)这个关系非常重要,事实上,它的逆定理仍然成立,即,若两个半径为R,r的圆的圆心距d满足上式,则任何一个内接于大圆的三角形必外切于小圆,而任何一个外切于小圆的三角形必定内接于大圆.另外,由此公式,我们可以用a,b,c表示内心I在外接圆中的幂.作业布置从例题中选择.教学反思学生对本次课的总结和评定1、○特别满意○满意○一般○差2、本次课我学到了什么知识_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________