第四讲圆与正多边形

正多边形和圆【内容概述】正多边形的定义、正多边形的有关概念、正多边形的性质、正多边形的有关计算、正多边形与圆【知识透析】知识点1：正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．知识点2：正多边形的有关概念：（1）正多边形的中心角；（2）正多边形的中心；（3）正多边形的半径R；（4）正多边形的边心距r知识点3：正多边形的性质（1）正多边形都只有一种外接圆，圆有无数个内接正多边形；（2）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相似，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心．知识点4：正多边形的有关计算（1）正边形的每个内角都等于；（2）正边形的每一种外角与中心角相等，等于．例1．如果一种正多边形的一种内角是135°，则这个多边形是__________边形例2．一种正多边形绕它的中心旋转60°和原来的图形重叠，那么这个正多边形是________知识点5：正多边形的画法

（1）用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角能够等分圆；

（2）用尺规等分圆

对于某些特殊的正n边形，能够用圆规和直尺作图．例1：画一种边长为2的正六边形。如图1，2，以2为半径作一种⊙，用量角器画一种等于的圆心角它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到6个等分点，顺次连接各等分点，即可得出正六边形。图1图2知识点6：圆与正多边形（1）正多边形的外接圆以及有关要素；（2）正多边形的内切圆以及有关要素．【典型例题】1．填写下列表中的空格QUOTE正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积34162n2．有一边长为4的正n边形，它的一种内角是120°，则其外接圆的半径为_________3．正六边形一组对边间的距离为6，那么这个正六边形的半径是__________4．同圆中，内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形中周长最大的是__________5．正九边形的半径为R，则它的边长是_____6．一种正n边形的中心角是它的一种内角的，则n＝_________.7．如图，已知⊙O和⊙O上一点A①用尺规作正六边形，使得⊙O是这个证六边形的外接圆，且点A是正六边形的一种顶点②若这个证六边形的边长为2cm，这个正六边形的面积是cm28．已知一种多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）A．八边形 B．十二边形 C．十边形 D．九边形9．正边形的一种外角等于20°，则．10．点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON＝°．11．已知圆内接正六边形面积为，求该圆外切正方形边长．12．已知圆内接正方形的面积为，求该圆的外切正三角形的边长．13．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则圆中阴影部分的面积为．14．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．15．已知A、B、C、D是⊙O上的四点，，AC是四边形ABCD的对角线。（1）如图3，连结BD，若∠CDB=60°，求证：AC是∠DAB的平分线；（2）如图4，过点D作DE⊥AC，垂足为E，若AC=7，AB=5，求线段AE的长度．图3图4【课堂练习】1．边长为a的正六边形的面积等于（）A．B．C．D．2．已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：a：R等于()A．1：：2B．1：2：C．1：2：D．1：：23．如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．第3题第4题4．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为什么（）5．下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为的六边形是正六边形；⑤边数相似的正边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，错误的命题是_____________．6．（1）正边形内接于半径为的圆，这个边形的面积为2R²，则等于____________．（2）正八边形每一种外角度数等于_______；n边形每一种内角等于________．7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正△ACF的面积为。试求正六边形的周长．8、(1)如图（1），等边△ABC内接于⊙O，点P为弧BC上一动点，连接PA、PB、PC，那么PA、PB、PC之间的数量关系是.（不必证明）(2)如图（2），正方形ABCD内接于⊙O，点P为弧BC上一动点，连接PA、PB、PC，若PA＝7，PC＝2，请求出PB的长.图(1)图(2)【综合提高】1．如图，小红做了一种实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后达成A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是（）A．60°B．72°C．108°D．120°2．如图，正六边形ABCDEF中，阴影部分面积为cm²，则此正六边形的边长为（）A．2cm B．2cm C．6cm D．8cm已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．4．等边三角形的面积为，求等边三角形外接圆的面积。5．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形与否为正多边形”时，进行以下讨论：

甲同窗：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．

乙同窗：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，△ABC是正三角形，，证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形．

丙同窗：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想…，边数是7时，它可能也是正多边形．

（1）请你阐明乙同窗构造的六边形各内角相等；

（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形；（不必写已知，求证）

（3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）图1图2【课后练习】1．已知正六边形的边心距为，则它的周长是（）A．6 B．12° C． D．2．的内接多边形周长为，的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最靠近的是()A． B．C． D．3.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形.4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.（1）求证：AB＝AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长.5.（1）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，你认为PD=PA+PC对的吗？若对的阐明理由：若不对的，请举一种反例阐明；（2）如图2，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+PB．图1 图27．阅读下面材料：

对于平面图形A，如果存在一种圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不不不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不不不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆