学习数分体会

学习数学分析的体会数学分为代数、几何、分析三大类，《数学分析》当然讲的是分析数学，确切的说它讲的是分析数学的基础知识。《数学分析》是数学系最重要的基础课之一，几乎所有的后续课程，如常微分方程、复变函数、实变函数、偏微分方程、微分几何、泛函分析、概率统计等课程都与之有密切的关系，学好数学分析是学好其他后继数学课程的必备的基础。经过三个学期的学习，我已学完了两本数分书，共二十三章，可分为四个方面的内容：极限理论、微分学、积分学以及级数。回顾我这三个学期对于《数学分析》学习的改变，发现自己进步了许多。从刚开始对于老师所讲的知识虽然表面上能听懂但却不能够完全理解真正的原因、总是感觉学到的东西不实在而且课后习题都没几个会做的，到后来能大致理解所学的内容、从容的应对考试。我在这一过程中慢慢总结出学习经验，体会颇多。一、 抓住所学的重点、难点和关键。在这三个学期的学习中，我并不能掌握所有《数学分析》的知识，因此明白我所需学习的内容是非常重要的，这样才能更好地去掌握理解更具体的内容。在我看来，这两本《数学分析》需要我学到的重点、难点和关键分别是：（一） 、重点：数列极限、函数极限、积分（包括：不定积分、定积分、二重积分、曲线积分、曲面积分）（二） 、难点：极限的概念、级数（包括：函数列与函数项级数、幕级数、傅里叶级数）、微分中值定理及其应用（三） 、关键：极限的《£—N》、《£—6》语言、连续函数的性质、微分中值定理（包括：罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理）、积分法（包括：换元积分法、分部积分法以及利用各种公式求积分）二、 把握三个环节，提高学习效率在了解所学内容之后，就是我对过去三个学期学习安排的回顾和总结学习经验。高中学习时养成了“课前预习、课上认真听讲、课后复习”的习惯，尽管到了大学我已经没有从前学习的那股劲但这习惯仍然不变，对于《数学分析》我也如此学习，但偶尔还是会偷偷懒。（一） 、课前预习课本中每节的内容构架都是相似的，大都为引言、定理、定理的证明、例题和课后习题。通常情况下我只预习定理和定理的证明部分，时间充裕时，还会看看例题。我在预习时会遇到困难，这些难点在老师讲解的时候用心去听，能够让我的注意力集中在课堂上。同时，老师讲课一般都用不到书，在课前预习一下即将学的内容可以帮助我更好的理解以及跟上老师的思路，因此课前的预习对我掌握知识有很大的帮助。（二） 、认真听讲老师在有限的教学时间中，只能讲思路，讲重点，讲难点。我只有认真听讲，注意老师的讲解方法、思路和分析问题、解决问题的过程，认真记好笔记，才能在课后自学时对所学知识的理解更深入。同样在紧张的课堂学习中，要记好自己的笔记并让它清晰工整是不容易的。因为在记笔记的同时还在用心听老师讲课，所以我有自己的方法来记笔记。（1）学会省略，减轻课堂负担，在课后补充。如写定理时可以把定理的内容在课本上画下来，在笔记中留出适当的空白，课后再补全，那么我就可以用这段时间来认真听老师的讲解并理解记忆。学会缩写。在数学分析中，有很多符号语言口：工(加和)、8(无穷大)、Df(定义)、Th(定理)等。、课后复习我的复习不是简单的重复，不是再读一遍书或者笔记，而是根据书本和笔记来总结自己的表达。我的课后复习从两方面出发：一方面是老师要求掌握的内容，这些内容是考试内容，为期末复习打下良好的基础。另一方面是自己难以掌握的内容，这些内容是最容易忘记的也是应用熟练程度最差的，所以我会作为重点复习。三、掌握方法，全面学习学习要有侧重点，比如数学分析中的定理，有的是着重看它的证明方法，它的方法是独特的，可以给自己以借鉴；有的是着重看定理的内容，它的定理应用，推广会更多一些；有的则仅当做了解内容，因为它可能是为其它定理作铺垫的。所以在学习一定要掌握方法，从而做到全面学习。、概念的学习方法阅读概念，记住名称或符号；(2)背诵定义，掌握特性；(3)举出正反实例，体会概念反映的范围；(4)与其它概念进行比较，弄清概念间的关系。如隐函数的定义：设EuR2,函数F：E—R。对于方程F(x,y)=O，如果存在集合I、JuR，对任何xUI,有唯一确定的yUJ，使得(x,y)UE,且满足方程F(x,y)=O，则称方程F(x,y)=O确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数。若把它记为：y=f(x),xUI,yUJ,则成立恒等式：F(x,f(x))=0,xUI。名称：隐函数，符号：集合I、J隐函数y=f(x)。特性：对任何xUI,有唯一确定的yUJ，使得(x,y)UE,且满足方程F(x,y)=0。例：xy+y-l=O能确定一个定义在(-^,-1)U(-1,+8)上的隐函数y=f(x)，把y解出得显函数形式：y=1—；x2+y2+c=0，当c>0时，不能确定任何函数f(x)，使得：1+xx2+[f(x)]2+c=0。与显函数的定义比较：表达式大多是自变量的某个算式的函数称为显函数。在学习概念时，最重要的就是掌握该概念的特性，因为它的特性是区别其他概念的主要依据。我通常会把几个相似的概念整理归纳在一起,在作了对比分析之后就会比较容易记忆。、定理的学习方法背诵定理；(2)分清定理的条件和结论；(3)了解定理的证明过程；(4)应用定理证明有关问题；(5)体会定理与逆否定理、逆命题的联系。如确界原理：设S为非空的数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。背诵：设S为非空的数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。条件：S为非空的数集，S有上界，S有下界。结论：S必有上确界，S必有下确界。证明过程分析：这里我们给一个可以接受的说明SuR,S非空，3xus,我们可以找到一个整数p,使得p不是S上界，而p+1是S的上界然后我们遍查p1，p2，p3， •p9和p+1,我们可以找到一个q0，0<q0<9，使得p•q0不是S上界，p•(q°+1)是S上界，如果再找第二位小数q1, •如此下去，最后得到p・q0q]q2•…，它是一个实数，即为S的上确界。同样可证明下确界。在学习定理时，最重要的就是熟记该定理，因为它可能在之后的学习中有着很多的应用。当然，某些定理的证明也是必要的，我们不能做那种只会死记硬背的孩子，真正理解它才是我们学习的主要目的。和概念一样，我也会把几个相似的定理整理归纳在一起记忆，相似的定理证明过程也类似，可以通过一个定理来理解其他的。公式的学习方法(1)书写公式，记住公式中字母间的关系；(2)懂得公式的来龙去脉，了解推导过；验算公式，在公式具体化过程中体会公式中反映的规律；(4)将公式进行各种变换，了解其不同的变化形式。如牛顿莱布尼茨公式：若函数f(x)在［a,b］上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在［a,b］上可积，且Jbf(x)dx=F(b)-F(a)。a公式：Jbf(X)dx=F(b)-F(a)。a证明过程分析分析：对函数f(x)于区间［a,b］上的定积分表达为:Jbf(X)dx。现在我们a把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：0(x)=Jxf(x)dx。但a是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：0(x)=Jxf(t)dt，贝g'(x)=f(x)，故0a(x)+C=F(X)。但0(a)=0(积分区间变为［a,a］，故面积为0),所以F(a)=C，于是有0(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，0(b)=F(b)-F(a)，而0(b)=Jbf(t)dt，所以Jbf(t)dt=F(b)-F(a)，a a把t再写成x,就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。在学习公式时，重要的不仅是公式本身，该公式的条件也尤为重要，因为条件决定着公式是否可用。所以我在记忆公式时，一定会去了解公式的推导过程，那样就不会有条件被遗漏了。四、对比相似定义、定理，熟记内容对于定义、定理和公式的学习除了上述方法之外，我还会用另一种方法来记忆加深对它们的理解，就是把相近或类似的放在一起，对比找出它们的异同。下面是我给出的一些例子:、函数极限与定积分的定义函数极限：设f是定义在［a,+R)上的函数，A为定数。若对任给的正数£>0,3正数M(三a)，使得当x>M时，有|f(x)-A|v£，则称函数f当x趋于时以A为极限,记作：limf(x)=A或f(x)—A(X—+8)。xf+<x定积分:设f是定义在［a,b］的一个函数,J是一个确定的实数。若对任给的正数£>0,3某一正数&>0,使得对［a,b］的任何分割T,以及在其上任意选取的点集{§)},只要IIT||<6，就有|£f忆)Ax-J|<£,则称函数f在区间［a,b］上可积或黎曼可积;数J称为f在［a,b］iii=1上的定积分或黎曼积分，记作：J=Jbf(x)dxoa①相同点：a.函数在某个区间上有定义；b.有一个确定的实数；c.任给一正数；d.存在另一正数。②不同点：a.函数极限：当x>M时，有|f(x)-A|<£；定积分：对［a,b］的任何分割T,只要IITH<6，就有|ff忆)Ax-J|〈£。b.函数极限：称为极限；定积分：称可积或黎曼iii二1可积。在已经学了函数极限后学定积分，我可以更快的理解什么是定积分以及定积分的形式，为之后学习定积分的运算留出更多的时间，对于重积分、曲线曲面积分也同样如此。对于下面定理、公式的比较，同样可以找到异同点，且不只是内容上有，证明过程也类似，掌握了这种比较记忆的方法，学习《数学分析》会更得心应手。、柯西收敛准则数列的柯西收敛准则：数列｛an｝收敛o对任给的正数£>0,3正整数N,使得当n，m>N时，有：|a-a|<£。nm函数极限的柯西收敛准则：设函数f在U0(x0；6)内有定义，limf(x)存在o对XTg任给的正数£>0，3正数6>0，使得对任何x'、x"£U0(x0；6)有：|f(x')-f(x”)|<£。级数的柯西收敛准则：级数｛uj收敛o对任给的正数£>0，3正数N,使得当m>N以及对任意的正数p,都有：|u+u+ u|<£。m+1 m+2 m+p函数列一致收敛的柯西准则：函数列｛fn｝在数集D上一致收敛o对任给的正数£>0，3正数N,使得当n,m>N时，对一切x^D都有：f(x)-f(x)|<£。n m含参量反常积分的一致收敛的柯西准则：含参量反常积分「8f(x,y)dy在［a,b］上c一致收敛O对任给正数£,3某一实数M>c，使得当A］,A2>M时，对一切xU［a,b］，都有：IIA 无穷积分收敛的判别法f(x,y)dyI<£ 无穷积分收敛的判别法A1柯西收敛准则中最重要的是对任给正数£，存在一正数6，其£--6语言的描述类似但也有差别，记忆时需要细心观察，以免出错。、迫敛性收敛数列的迫敛性：设收敛数列｛a｝、｛b｝都以a为极限，数列｛C｝满足：存n n n在正整数N，当n>N时有：a^cMb，则数列｛c｝收敛，且limc=a。0 0 nnn n nnt+8函数极限的迫敛性：设limf(x)=limg(x)=A,且在某U0(x0；6)内有：f(x)Mh(x)=xTx0 xTx0g(x)，则limh(x)=A0xTx0迫敛性是证明极限收敛的一种重要方法，有些数列或函数从它的本身不易证明其收敛的，用迫敛性证明会更易理解。、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法级数收敛的判别法狄利克雷判别法： 若｛a｝为单调递减数列，且lima=0,又级数工b的部分和数n n nnT8列有界，则级数工ab=ab+ab+•••+ab+•••收敛。nn11 22 nn阿贝尔判别法：若｛a｝为单调有界数列，且级数工b收敛，则级数工n nab=ab+ab+•••+ab+•••收敛。nn11 22 nn①狄利克雷判别法：若F(u)=Juf(x)dx在［a,+e)上有界，g幺)在［a,+^)上当xf+8时单调趋于0，则J*®f(x)g(x)dx收敛。a②阿贝尔判别法：若J+8f(x)dx收敛，g(x、在上单调有界，则J+8f(x)g(x)dx收敛。a a狄利克雷判别法的关键在于一单调递减一有界，阿贝尔判别法的关键在于一收敛一单调有界，狄利克雷判别法比阿贝尔判别法的条件要求度低。、微分中值定理罗尔定理：如果函数f(x)满足①在［a,b］上连续；②在(a,b)内可导；③f(a)=f(b)；那么在(a,b)内至少存在一点g(a<§<b),使得：f'(§)=0。拉格朗日定理：如果函数f(x)满足①在［a,b］上连续；②在(a,b)内可导；则在(a,b)内至少存在一点§(a<§<b),使得：f崔)=f(b)-f(a)。b一a柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足①在［a,b］上都连续；②在(a,b)内都可导；③(x)和g(x)不同时为零；(4)g(a)Hg(b)；则存在§u(a,b),使得： =f(b)—f(")。g'忆)g(b)-g(a)微分中值定理从罗尔定理到拉格朗日定理到柯西中值定理它们从特殊到一般，有前面定理可推导得后面定理。(六)、第一、第二型曲线、曲面的计算(1)曲线积分①第一型曲线积分(可化为定积分计算)：设有光滑曲线L：<x=9⑴,tg［a,卩］，函y=屮(t),数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则：Jf(x,y)ds=J卩f(9(t),屮(t))^9'2(t)+屮'2(t)dt。L a②第二型曲线积分(可化为定积分计算)：设平面曲线L：〈X=9")，tg［a,卩］，其中y二屮(t),9(t),屮(t)在［a，B］上具有一阶连续导函数，且点A与B的坐标分别为(9(a)，屮(a))与⑷(卩)，屮(卩));又设P(x,y)与Q(x,y)为L上的连续函数，则沿L从A到B的第二型曲线积分：JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J3［P(9(t)，屮(t))9‘(t)+Q(9(t)，屮(t))9‘(t)］dt。L a(2)曲面积分①第一型曲面积分(可化为二重积分计算)：设有光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)UD,f(x,y,z)为S上的连续函数，贝I」： f(X,y,z)dS=JJf(x,y,z(x,y))寸1+z2+z2dxdy。S D②第二型曲面积分(可化为二重积分计算)：设R是定义在光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)UDxy上的连续函数，以S的上侧为正侧(这时S的法线方向与z轴正向成锐角)，则有：JJR(x,y.z)dxdy=ffR(x,y,z(x,y))dxdy。Dxy积分的计算是《数学分析》最重要的计算，计算时一定要看清它是什么类型的积分，曲线、曲面很容易混搅。五、掌握解题方法，牢记所学知识在我学习数学分析的过程中，更多的困难来自于习题。虽然每次写作业都感觉很费劲，但我始终不放弃，因为这种状态是学习数学分析的一个必经之路，必须克服这个困难才能学好数学分析理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为数学分析理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。因此我们需要掌握一些必要的解题方法，只有在做题的过程中我们才能完全的掌握基本概念和基本原理。下面是一些数学中一般采用的解题思路：从特殊到一般的思维方法从一般到特殊和从特殊到一般乃是人类认识客观世界的一个普遍规律。一方面一般概括了特殊，普遍比特殊更能反映事物的本质；另一方面事物的特殊性中包含着普遍性，即共性存在于个性之中，微积分中一些概念和定理的获得也是通过从特殊到一般的思想。从一个特殊问题出发，我们可以讨论它的一般性问题。如在微积分中，微分中值定理一罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明充分体现了这种“由特殊到一般”的思想。又如通过直线上的牛顿一莱布尼兹公式，可以得到平面上的格林公式，以至空间中的奥高公式，斯托克斯公式。反过来，我们也可以从一般问题考查其特殊情形。如微积分中常利用函数项级数的求和得到一些数项级数的求和。对习题也可以做一些形式上的从特殊到一般的推广。例：若f(x)为[0,+R)上的周期函数，且limf(x)=0，则f(x)=0，xU[0,+g)。xf+<x推广：若f(x)为(-g,+g)上的周期函数，且limf(x)=A，则f(x)=A，XU(-g,xf+<x+g。证明：因为limf(x)=A，故对任意的｛x｝，只要xf+g，nf+g,就有J n nxf+<xlimf(x)=A。nnfg设f(x)的周期为T，若结论不成立，则存在x0U(-g,+g)使得：f(x0)HA。令x=x+nT，nUR，贝I」xf+g，nfg，并且f(x)=f(x+nT)=f(x)HA，此式与n0 n n 0 0limf(x)=A矛盾。nnfg矛盾转化的思维方法转化思想是在处理数学问题时，使一种数学对象在一定条件下转变为另一种数学对象的指导思想。转化思想的精髓在于对各种数学问题进行合理变换，从而达到化陌生为熟悉，化未知为已知，化繁为简，化抽象为具体，即解决问题的策略思想，是从未知领域出发，通过数学元素之间的固有联系，向已知领域转化。各种转化的共同本质是变中有不变。转化是手段，揭示其中不变的东西才是目的。如通过归结原则，数列极限与函数极限可以相互转化；

通过变量代换，可以简化积分的计算;求由数列所组成的数集的确界可以利用单调有界原理;利用级数的性质及定积分可以较方便地求出某些数列的极限等等。例:+(-1)1

-例:+(-1)n解:1=(1++31 1 1+)—2(++2n 2 41)

n1+故limS2ntg故limS2ntg=「1dx=ln2，乂limS=lim(S2nTg1+ )=ln22n证明：S+a证明：S+a2+a+a+....—1 2 n-1n—1a +—nnn1+(—1)n-1 ]=ln2n逆向思维方法命题与逆命题是矛盾相互对立的两个方面，考虑逆命题是否成立可以加深对原命题的理解，进一步得到原命题结论成立的必要条件。当逆命题不成立时要进行辩证的否定。例：设lima=a，贝Ulim————=a。nnTg分析：上述命题的逆命题不成立，即若对数列｛an｝有lim"1+"2+……+an=a，贝味ntg n必有lima=a，甚至lima可能不存在。n nnTg nTg如an=(-1)n，lim"1+"2++"n=lim二^=0，但｛(-1)n｝的极限不存在，但我们ntg n ntgn=a，贝Ulima=