近世代数复习

世代数模拟试题一一、 单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、 设人=B=R(实数集)，如果A到B的映射：x-x+2,xCR,则是从A到B的()A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、 设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有()个元素。A、2B、5C、7D、103、 在群G中方程ax=b,ya=b,a,bCG都有解，这个解是()乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、 当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数()A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、 n阶有限群G的子群H的阶必须是门的()A、倍数B、次数C、约数D、指数二、 填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1、 设集合A1,0,1;B1,2，则有BA。2、 若有元素eCR使每aCA,都有ae=ea=a,则e称为环R的。3、 环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个。4、 偶数环是的子环。5、 一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个。6、 每一个有限群都有与一个置换群。7、 全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是，元a的逆元是。8、 设I和S是环R的理想且ISR,如果I是R的最大理想，那么9、 一个除环的中心是一个。1、设置换和分别为:12345678641735281、设置换和分别为:12345678641735281234567823187654和的奇偶性,三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)并把和写成对换的乘积。2、 证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、 设集合Mm{0,1,2,,m1,m}(m1),定义Mm中运算“m”为amb=(a+b)(modm),则^叫间是不是群，为什么？四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、 设G是群。证明：如果对任意的xG,有x2e,则G是交换群。2、 假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。近世代数模拟试题一参考答案一、 单项选择题1、C;2、D;3、B;4、C;5、D;二、 填空题1、1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构；7、1、-;8、S=I或S=R;9、域；a三、 解答题1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)(247)(8)(123)(48)(57)(6)可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)(24)(27)(13)(12)(48)(57)

112、 解：设A是任思万阵，令B—（AA）,C—（AA）测B是对称矩阵，而C是22反对称矩阵，且ABC。若令有AB1ci，这里B/口C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则BB.C.C,而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0,即：BBjCCj,所以，表示法唯一。3、 答：（Mm,m）不是群，因为Mm中有两个不同的单位元素0和也四、证明题1、 证：对于G中任意元x,y,由于（xy）2e,所以xy（xy）1y1x1yx（对每个x,从x2e可得xx1）。a2、 证：在F里ab1b1a—（a,bR,b0）有意义，b作F的子集Q所有一（a,bR,b0）bQ显然是R的一个商域，证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）A、1、2、A、aB、a,eC设G有6个元素的循环群，下面的代数系统（A、1、2、A、aB、a,eC设G有6个元素的循环群，下面的代数系统（G,*）中，G为整数集合，*为加法B、33eaD、e,a,aa是生成元，则G的子集（）是子群。（）不是群G为偶数集合，*为加法G为有理数集合，*为乘法CG为有理数集合，*为加法D、3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）a*b=a+2bD、a*b=|a-b|1=（12）（23）（13）,4、 设］、2、则3=（）A、21B>5、 任意一个具有A、不可能是群3是三个置换，其中2=(24)(14),3=(1324),12C、）D2个或以上元的半群B、不一定是群C它（二、填空题（本大题共10小题，每空A、a*b=a-bB、a*b=max（a,b}C凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。一个有单位元的无零因子称为整环。已知群G中的元素a的阶等于50,则a4的阶等于a的阶若是一个有限整数n,那么G与同构。A={1.2.3}B={2.5.6}那么AAB=。1、2、3、4、5、7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的21）°定是群D共30分）是交换群%,a1,L,an使得a。a1 La0。n6、若映射既是单射又是满射，则称为。8、 a是代数系统（A,0）的元素，对任何xA均成立xoa如果满足G对于乘法封闭；结合律9、 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群成立、。如果满足G对于乘法封闭；结合律10、 一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A=(1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H=(I,(12)},写出H的所有陪集。2、 设E是所有偶数做成的集合，“？”是数的乘法，则“？”是E中的运算，(E,?)是一个代数系统，问(E,?)是不是群，为什么？3、 a=493,b=391,求(a,b),［a,b］和p,q。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、 若＜G,*＞是群，则对于任意的a、bCG必有t一的xCG使得a*x=b。2、 设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m|a-b。近世代数模拟试题二参考答案一、 单项选择题1、C;2、D;3、B;4、B;5、A二、 填空题1、变换群；2、交换环；3、25;4、模n乘余类加群；5、{2};6、 映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；三、 解答题1、 解：H的3个右陪集为：{I,(12)},{(123),(13)},{(132),(23)}H的3个左陪集为：{I,(12)},{(123),(23)},{(132),(13)}2、 答：(E,?)不是群，因为(E,?)中无单位元。3、 解：辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3X102+85102=1X85+17由此得到(a,b)=17,［a,b］=axb/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3x102)=4x102-b=4x(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、 证明题1、 证：设e是群＜G,*＞的幺元。令x=a—1*b,则a*x=a*(a—1*b)=(a*a—1)*b=e*b=b。所以，x=a—1*b是a*x=b的解。若xCG也是a*x=b的解，则x=e*x=(a—1*a)*x=a—1*(a*x)=a—1*b=x。所以，x=a—1*b是a*x=b的惟一解。2、 证：容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合2记为Zm,每个整数a所在的等价类记为［a］={xCZ；m|x-a}或者也可记为a,称之为模m剩余类。若mIa-b也记为a=b(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：［0］与［1］。近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、 6阶有限群的任何子群一定不是()。A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、 设G是群，G有()个元素，则不能肯定G是交换群。A4个B、5个C、6个D、7个3、 有限布尔代数的元素的个数一定等于()。A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次募4、 下列哪个偏序集构成有界格()A、(N,)B、(Z,)C、({2,3,4,6,12},|(整除关系))D、(P(A),)5、 设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有()A、(1),(123),(132)B、12),(13),(23)C、(1),(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1、 群的单位元是的，每个元素的逆元素是的。2、 如果f是A与A间的映射， a是A的一个元，则f3、 区间】1,2］上的运算ab{mina,b}的单位元是。4、 可换群G中|a|二6,|x|=8,则|ax|二。5、 环Zg的零因子有。86、 一个子群H的右、左陪集的个数。7、 从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的。8、 无零因子环r中所有非零元的共同的加法阶数称为一RS匚。9、 设群G中元素a的阶为m,如果ane,那么m与n存在整除关系为三、 解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、 用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、 Si,S2是A的子环，则sns也是子环，S1+S2也是子环吗？3、 设有置换(1345)(1245),(234)(456)S6。.求和1；.确定置换和1的奇偶性。四、 证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、 一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、 M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题三参考答案一、 单项选择题1、C;2、C;3、D;4、D;5、A二、 填空题1、唯一、唯一；2、a；3、2;4、24;5、八＜6.&相等；7、商群；8、特征；9、mn;三、 解答题1、 解：在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。2、 证：由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b£S1nS2有a-b,ab£S1nS2：因为S1,S2是A的子环，故a-b,abCS1和a-b,abCS2,因而a-b,abCS1AS2,所以S1AS2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：曷见品与应均为子瓯但况中国-{口；|代人尺£卜是子环3、解:1.(1243)(56),1(16524);2.两个都是偶置换。四、证明题1、 证：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a。，由理想的定义a1a1,因而R的任意元bb?1,这就是说二R,证毕。2、 证：必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,

ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e,所以b=a-1。近世代数模拟试题四(无参考答案)一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有()个元素。A.2B.5C.7D.10.设A=B=R(实数集)，如果A到B的映射：x-x+2,xCR,A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射.设4={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么，在&中可以与(123)交换的所有元素有()A.(1),(123),(132)B.(12),(13),(23)C.(1),(123)D.S3中的所有元素.设乙5是以15为模的剩余类加群，那么，乙5的子群共有()个。A.2B.4C.6D.8.下列集合关于所给的运算不作成环的是()整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法有理数域Q上的n级矩阵全体M(Q)关于矩阵的加法与乘法整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“〃：mW€Z,mn=0整数集Z关于数的加法和新给定的乘法〃〃：mnCZ,mn=1二、 填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分).设“〜”是集合A的一个关系，如果“〜”满足，则称“〜”是A的一个等价关系。.设(G,・)是一个群，那么，对于a,bCG,则abCG也是G中的可逆元，而且(ab)t=.设b=(23)(35),T=(1243)(235)C包那么°=(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a€G,则元素a的阶只可能是5,15,1,3,0.在3次对称群S3中，设H=((1),(123),(132)}是S的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H=o.设Z6=([0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是2,3,4。.设两一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是。.设Z[x]是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)二。.设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,bCZ},其中i2=—1,则Z[i]中的所有单位是.有理数域Q上的代数元V2+<3在Q上的极小多项式是。三、 解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分).设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Zm的一个映射，其中:k-[k],k€Z,验证：是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Kero.求以6为模的剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、 证明题(本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分).设G={a,b,c},G的代数运算〃”cdc0已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。21.设(R,+,・)是一个环，如果(R,+)是一个循环群，证明：R是一个交换环。近世代数试卷(选择题有误，已经删去)一、判断题(每小题1分，共10分)1、 设A与B都是非空集合，那么ABxxA且xBo()2、 设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。()3、 只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1o()4、 如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（）5、 如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（）6、 群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH;g1HgHo（）7、 如果环R的阶2,那么R的单位元10。（）8、 若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（）9、F（X）中满足条件p（）0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。（）10、 若域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z/p同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。（）二、 填空题（每空2分，共20分）1、 设集合A1,0,1；B1,2,则有BA。2、 如果f是A与A间的映射，a是A的一个元，则f1fa。3、 设集合A有一个分类，其中A与A.是A的两个类，如果AA,那么AAj。4、 设群G中元素a的阶为m,如果ane,那么m与n存在整除关系为。5、 凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。6、 给出一个5-循环置换（31425）,那么1。7、 若I是有单位元的环R的由a生成的主理想，那么I中的元素可以表达为。8、 若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么％是一个域当且仅当I是O9、 整环I的一个元p叫做一个素元，如果。10、 若域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域，如果。三、 改错题（每小题3分，共15分）1、 如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在a1a2an里，元的次序可以掉换。2、 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果?t足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。3、 设I和S是环R的理想且ISR,如果I是R的最大理想，那么S0。4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子，若子，那d和d都是a和b的最大公因么必有dd。5、叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a0,a1,,an5、nan0。四、计算题(共15分)341234,3,4432134并且求出G的单位元及341234,3,4432134并且求出G的单位元及11,2是模6的剩余类环，且f(x),g(x)24x5x3,计算f(x)g(x)、12342143一〜11 ,,.3,4和G的所有子Z6x。如果f(x)g(x)和1,2123412组成的群G,试写出G的乘法表，群。2、设ZQ123453f(x)3x5x2、g(x)1、给出下列四个四元置换f(x)g(x)以及它们的次数。1、设a和b是一个群G的两个元且ab ba,又设a的阶am,b的阶bn,并且五、证明题(每小题10分，共40分)(m,n)1,证明：ab的阶abmn。R,xaxb,xR,将R的所有0,试证明：对于变换普通的乘法，GI2abaI1，b12都是R,xaxb,xR,将R的所有0,试证明：对于变换普通的乘法，GI2abaI1，b12都是R的理R中的非零元不是可逆元就是零因子。这样的变换构成一个集合Gf(ab)a,bR,a(a,u)作成一个群。3、 设I1和I2为环R的两个理想，试证I1I2和I1想。4、 设R是有限可交换的环且含有单位元1,证明：近世代数试卷参考解答一、 判断题12345678910xx，，x，，，XX二、 填空题1、 1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,1。2、a。3、。4、mn。5、变换群。6、13524。7、xiayi,xi,y.Ro8、一个最大理想。9、 p既不是零元，也不是单位，且q只有平凡因子。10、 E的每一个元都是F上的一个代数元。三、 改错题1、 如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律，那么在a1a2an里，元的次序可以掉换。结合律与交换律2、 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果?黄足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立。消去律成立3、 设I和S是环R的理想且ISR,如果I是R的最大理想，那么S0oS=I或S=R八.*・一._... '4、 唯一分解环I的两个兀a和b不一te会有取大公因子，右d和d都是a和b的最大公因子，那么必有d=d'。一定有最大公因子；d和d'只能差一个单位因子22叫做域F的一个代数元，如果存在F的都不等于零的元a’a—an使得a0ajann0。不都等干零的元四、 计算题：五、证明题(略)

基础测试题一、填空题(42分)1、 设集合M与M分别有代数运算与一，且M~M,则当一满足结合律时,也满足结合律；当一满足交换律时，一也满足交换律。2、 对群中任意元素a,b,有(ab)i=；3、 设群G中元素a的阶是n,n|m则am=；4、 设⑻是任意一个循环群，若|a|,则网与同构；若|a|n,则(a)与同构；5、 设6=⑻为6阶循环群，则G的生成元有;子群有7、设123423416、n次对称群Sn的阶是；置换(1378)(24)的阶是8、设(14)(235),(136)(25),则9、 设H是有限群G的一个子群，则|G|=10、 任意一个群都同一个同构。二、证明题(24)1、 设G为n阶有限群，证明：G中每个元素都满足方程xne。2、 叙述群G的一个非空子集H作成子群的充要条件，并证明群G的任意两个子群H与K的交HK仍然是G的一个子群。3、证明：如果群G中每个元素都满足方程x2e,则G必为交换群。三、解答题(34)1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z对运算abab4作成群。2、 写出三次对称群S3的所有子群并写出S3关于子群H=((1