孙恒芳教你学物理

孙恒芳教你学物理高中物理中的数学方法圆的妙用孙恒芳教你学物理 高中物理中的数学方法——圆的妙用方程与函数知识在高中物理中有非常广泛的应用，与之相比，几何知识的应用范围就狭窄得多，但有些物理问题能够巧妙运用几何知识便捷地解决。在高中物理课程中与几何知识结合最紧密的应该是图像问题，关于物理图像与数学图像的联系与区别，以后我们会专门讨论，接下来以“圆”为角度总结下高中物理相关知识。高中物理知识中需用到的“圆”按其作用与功能可分为“矢量圆”“等时圆”“等势圆”“等圆系”“谐振圆”等。本文试通过几例来阐述辅助圆在解题中的妙用。一、矢量圆矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆”就能有效地化繁为简，并能加深对矢量概念的理解。在力度分解与运动的合成与分解处常会用到。例1一条宽为丄的河流，耶■流速为S船在峥术中划行的速度为讥且密使船氧达对■岸的位移最逐船的就向如何?7解析；水流谨X船在静水申的建度、与船的合速度旳构廉■二矢靈 冷 -尸D<二角孰耳蝦滿忒中的鬼匡V大■卜不变，方向不定，构建如團1所示_的矢W.昼腮当.AD2矢蓮區相切时，船航厅的位移最毎.臣图可j'竺;]\二、等时圆等时圆模型如图所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光滑弦下滑至轨道与圆弧的交点，或圆弧上任意一点沿各光滑弦下滑至最低点，其如图所示，竖直放置的圆环，若物体从最高点沿各光滑弦下滑至轨道与圆弧的交点，或圆弧上任意一点沿各光滑弦下滑至最低点，其下滑的时间相等.这样的圆环称之为“等时圆”。在解决有关动力学问题时，恰当地构建等时圆不但能化解难点，而且能激发学生的解题思维。创2两光滑卅血的高度都为h,仏QD两斜环勺惡长度都说A艮是汕絆面由两部分蛆成，如冬5斯示，将甲、乙两介相同曲小球从斜面的頂端同时出静止释茲不计協角处硯能量损孤问哪一水球先到达斜面底端¥屮解析’p解析’pf解法15.本题往往采用】：_r图窸求解.蚀物体分别沿OC.0D斜面运动的匸-r髒/如團所示4）,田觴可谓乙瑾先到边斜面底端n，（解法2）构建如图§所示的等时圖交0C于丸点衮0D于B点.由“等时那可瓶匕=备。由机械能守恒定律可知：v£＞巧,—=%,StLcZ\'£D＞已*°又页为两斜■而的捕长蛮相等,所以&記＜s^-.,例3如囲7在蚪.坡上有一根裁杆杭鋪匚，现市一牛小环从旗杆就部迓一根光滞领蛭阳:骨車斜塩嵐2U图弘部，又OB-Ln汞推环从弋滸到EJ的时间°2U图弘解脈可羽0齿厠悅以1为半越画一个區h根堀盒等时僵P的规律可知，从启海!1E的时同等于从A点沿宜径到底端D的旳间，所以有沖4如圈T所示，在恆角関直的传送带的正上希、疽一发童口葩轴了使货物从静出开妳由A盍M发货口厦2解折，如园E所示.首先殴炭货口至点.次衆高占忙一个嬴0右借送带楫切，切点为乩然后辺圆00画一条竖直统且月、而超揍去E舒直钱，就是旣过发唸口A,夏迈切点B旳惟一旳眩.+M发货口厦2根据“等时园”旳规律，赁槪沿AB枣到达传送時旳时间最短-因此，耕懵应沿卫方向安鬆卫所对的匮周角E対圆會角的一丰而圜C诵又等于a:所职^=-a□a5如圏9所示，直角三角形的絆边侦痛为3D",底边阮长2L,处在冰平位置，科边杠是光常绝緣的，在底边中点0处放叠「正电荷鸟一个质壹轴伽电量为q的帝负电劭质点机掛面预谱料边

B.Wi点电荷沿誹面扣3下滑fl九包场力在不断变就i无法和用动能定理及能里守叵簧系直瘙列式求解，尿而便解题陥人固境-4由几何关系可引入圏口所示的等矣圆,.由于D、C二点位于同涯殁區上，屯荷从D运动到U电场力做叨为零，只有亘力故功，所以电荷在D点时机械能右C点胸机械能相等，即，"-mv.-.'=；站才4-msCE>：=±30:=^>v-=Ju'十、扛0启电荷在仁"点受力（如圈&所示h由牛顿第二定律鬲"fc-^-cc-sSO0二mac1、尺四、等圆系带电粒子进入匀强磁场，若带电粒子的速度大小、方向不定，则粒子在磁场中作一系列圆心、半径在时刻变化的“等圆系”，构建等圆系能化俗为奇。例6半径为A1Dem的圜形旬强繼场，医尊界蛉y轴翔切亍坐标原点，謎感应骚度帥2T,塗向些立纸面向里"在原点卩处疽一迪射源乩可沼舐而向各个希向射出速-寧均轴丫=3卫莒1（?叩飞旳d粒子，£劎紘口粒子的质董为胛二&64xlO-：'As）电蚩©=32划旷讥，试确芷a粒子適过磁场的量勺偏向角.4mv解畅丫o［粒子在磴场中作芈连为r的勻建圆周运动，巨得：■:,&64沢1。-「><3.2><10'mv3.2^10_1?k：0.3j2??7—20s?h*■*从而可掏建一系列半径为汕曲并交于0点的等區I系（如图1L所示h??7—20s?h*■*D所以a竝子的最大偏向角a=2arcsrn一二宛〜r例1檢衆变凤应需要扎百万度咲上的荀込捕把島遍杂件下高速童动的雋于的隶在小迖围内（否別不町能炭生械屁应h適常采用械掏束的方法（杷卡马兌装如囹1卩所和环状甸强械邇围咸中空国域'中空区域中旳带电粒予長要述度孑是很大，都序僉穿出巔妫的外边爆面被均束在塗区域瓦谏坏状趙场旳悶半徑为点-J.5山外半轻用卩心磁妫曲磁感莊质若址束嬌帝码粒子的荷虞比为◎/旷4><10飞/吨，+空区城内帝电籾干具有各个方向旳速度°试计耳*(1)：「粗子沿环状旳半徑方向肘鸟磁场，不能肆越磁塌旳號大速度--(2：所有粽孑不腿穿越繼场的说土遊度°亠鮮析=屮£1)粒子沿环伏的半径肓向射AM-在槪区域中作區周运动，由于粒子的逮就小不定，构崖如團io所示的半径不同的圉系，要使粒子不能芽越雀场，园劲不难得到粒子的临畀靈聽与夕隔相切川由图申知彳十町=[R.-r1)1,解得q=CL37切4由=刚匕得耳二二1二13x10「氏心 m所跟粒子沿环狀的半径右向射入磁如不韭穿越惑场的誤大逋匿沟?\=1.5k]Qm'5□+J 團L如(21>有粒子在磁场中作半径不定，凰心也不定的系列區，在所有同中粒子以三的谑庫沿2内圄相切育向射為磁场目动态區12外尿相切时，刖以£谏彥造就向討入磁场区的粒子皑不能穿出磁场边烬■:如图□所示儿由囹中知宀=色工=0.2%.算出对庫的逋匿J:五、谐振圆当一个质点在一平面上做匀速圆周运动时，它的投影点的运动是简谐运动，这个圆通常称为“谐振圆”。换个说法，匀速圆周运动可以分解为两个相互正交的简谐运动。利用谐振圆，可以把振动这部分知识融为一体，而且它利用学生相对熟悉的圆周运动为起点，降低了学生的认知难度。利用谐振圆，能使问题直观明了，在求解振动的时间问题时尤显优势。侦&如團1H所三.-K^球刑曲鸡蛋扭軸是乩心短軸是饥皿鸣蛋诸T柚上做简曇运劫・运动过TOC\o"1-5"\h\z程中櫚球的焦点在y轴上，鸡蛋的貓点上奸不碰到収S ——>两点-即在亠日乏问程复运动；现甫一支頤层在支架 A+*V E+2I"Wg图14*J上.必車立干胡甜曲方向时出干弾丘奸時准*-122I"Wg图14*J于弾弓甫啟质悬于獰的送度比•惰■蛋的速度大得釦嘶-24+j卞鹹子扣动坂机，那虫他占中鸡蛋的概年是亭圮？40+jc+j1»二1屮抵舷*0+jc+j1»二1屮抵舷*I圉1J/谡运动，但只有在a-=9cw到a-=