汽车车身复杂曲面造型方法研究

汽车车身复杂曲面造型方法研究

1局部复杂曲面的顶网格由于汽车车身形状的需要和结构配置的要求，其几何形状非常复杂。当车身大块曲面上有局部复杂形状时,往往需要作局部造型处理,这是几何造型的一个重要内容。在车身局部复杂曲面设计时,通常都是用一组空间点列(型值点)的座标给定,并要求满足规定的边界条件。因此,这使车身局部复杂曲面数学模型的建立和计算产生了难度。本文基于重节点B样条理论,阐述车身局部复杂曲面造型的计算方法,其关键在于把大块曲面(称为母曲面)上相应点的切矢作为局部子曲面造型的端点条件,从而保证局部子曲面与其母曲面沿边界一阶连续。问题的难点是如何求出车身局部复杂曲面的顶点网格。设已知车身局部外形上的M×N个型值点,且两条u向边界各M个边界点及其沿w向切矢和两条w向边界各N个边界点及沿u向切矢均己知。首先沿u向反求N个多边形,使用重节点基且用w向边界点的u向切矢为端点条件,进行第一次反算,共得到(M+2)×N个顶点,作为沿w向反求网格时的新型值点;接着由曲面方程建立u向边界点的w向切矢与网格的关系,将曲面模型式对参数w求偏导,然后代入u向边界各点相应的u和w参数值,即求出两条u向边界上各M个方程,M个方程中有M个w向切矢和M+2个u向第一排顶点为己知,有M+2个u向第二排顶点未知,故需补充2个方程,为此我们在相应的顶点处增补切矢,由顶点网格分析可知,顶点Vi+1,j无型值点对应,但由B样条结点计算知,Vi+1,j对应的结点为1/3,故取u=1/3,w=0计算母曲面上相应点的w向切矢,将它作为己知量再由曲面方程建立补充的方程式,4个角点处均按此处理,可得4个补充方程,于是方程数与欲求的第二排顶点数相等,可由这些方程求出第二排顶点。另一条u向边界类似处理,这样首末各两排顶点都己知。最后沿w向由新型值点反求网格的其它顶点,由于首末各有二个顶点已知,方程数与未知顶点数相等,故可直接列出反求顶点的方程求出其余的顶点,至此车身局部复杂曲面的顶点网格己获得。顶点网格确定后便可直接进行曲面的插值、截面等方面的计算了。2局部复杂曲面模型设汽车车身局部复杂外形上M×N个型值点{Pij}给定,且两条u向边界各M个边界点及其沿w向切矢和两条w向边界各N个边界点及沿u向切矢也均为已知。用两端取四重节点的三次均匀B样条的方法,建立汽车车身局部复杂曲面的数学模型如下:Pi,j(u,w)=UBVBTWT(i=1,2,…,M-1;j=1,2,…,N-1)(1)式中:V为定义车身局部复杂曲面的特征网格顶点矩阵;U、WT为u向和w向的参数向量;B为u向第i段曲线对应的基函数系数阵,BT为w向第j段曲线对应的基函数系数阵。对于三次均匀B样条曲线,在节点矢量两端应用四重节点,可推导出11组基函数(参看有关资料中所列)。由于重节点基的特性需要逐块选择基来计算,具体计算时要根据B样条曲线的总段数和所计算的曲线段的序号正确地选取。下面根据给定的型值点和边界条件,反求出汽车车身局部复杂曲面的特征网格点矩阵V。3特征多边线性方程组n使用重节点基,且用w向边界点的u向切矢P′1,j和P′M,j(j=1,2,…,N)为端点条件,通过给定的型值点{Pij},利用下列方程组进行反算:[Ρ′1,j+3Ρ1,jΡ2,jΡ3,j⋮ΡΜ,jΡΜ-1,j3ΡΜ,j-Ρ′Μ,j]=[301/47/151/61/62/31/6⋮⋮⋮1/62/31/61/67/120]⋅[Q2,jQ3,JQ3,j⋮QΜ-1,jQΜ,jQΜ+1,j](j=1,2,⋯,Ν)(2)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢P′1,j+3P1,jP2,jP3,j⋮PM,jPM−1,j3PM,j−P′M,j⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢31/407/151/6⋮1/62/3⋮1/61/6⋮2/31/61/67/120⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢Q2,jQ3,JQ3,j⋮QM−1,jQM,jQM+1,j⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(j=1,2,⋯,N)(2)此线性方程组的系数阵是三对角方阵,可用“追赶法”求解,得到N个特征多边形的(M+2)×N个顶点Qi,j(i=1,2,…,M+2;j=1,2,…,N),其中:Q1,j=P1,j,QM+2,j=PM,j。4提出特征网格点对点沿w向反求(M+2)个特征多边形,是以Qi,j(i=1,2,…,M+2;j=1,2,…,N)作为新型值点,进行第二次反算,求出定义车身局部曲面的特征网格顶点Vi,j(i=1,2,…,M+2;j=1,2,…,N+2)。求解过程:第一步,求出第二R排顶点;第二步,求出倒数第二排顶点;第三步,求出其余的顶点。4.1回归系数根据两端为四重节点的B样条的基函数系数表,式(1)化为:Ρ1,1(u,w)=[u3u2u1]⋅[-17/4-11/121/63-9/23/20-33001000]⋅[V11V12V13V14V21V22V23V24V31V32V33V34V41V42V43V44]⋅[-13-317/4-9/230-11/123/200-1/6000]⋅[w3w2w1]当i=1,j=1时,对上式求w向偏导数并将u=0,w=0代入,得到如下关系式:P′1,1(0,0)=3(V12-V11)将u=1/3,w=0代入可得:P′1,1(1/3,0)w=8/9(V12-V11)+61/36(V22-V21)+43/108(V32-V31)+1/54(V42-V41)对于i=2,3,4,…,M-1,j=1时,用同上类似的方法可推得Pi,1′(0,0)w与相关顶点的关系式。于是得到了M+2个关于边界切矢与网格顶点关系的线性方程式(3)。[308/95/31/33/47/41/21/221/2⋮⋮⋮1/221/21/27/43/41/35/38/903]⋅[V12-V11V22-V21V32-V31V42-V41⋮VΜ-1,2-VΜ-1,1VΜ,2-VΜ,1VΜ+1,2-VΜ+1,1VΜ+2,2-VΜ+2,1]=[Ρ′1,1(0,0)Ρ′1,1(13,0)-127Ρ′2‚1(0‚0)Ρ′2,1(0,0)Ρ′3,1(0,0)⋮Ρ′Μ-2,1(0,0)Ρ′Μ-1,1(0,0)Ρ′Μ-1,1(23,0)-127Ρ′Μ-1,1(0,0)Ρ′Μ-1,1(1,0)](3)其中,P′i,1(u,w)w(i=1,2,…,M+2)为车身局部曲面设计给定的边界切矢;Vi,1=Qi,1(i=1,2,…,M+2)是边界条件的要求,Qi,1(i=1,2,…,M+2)是已知的;因此,联立求解M+2个方程是可以唯一确定M+2个未知变量Vi,2(i=1,2,…,M+2)的。线性方程组(3)的系数阵是三对角方阵,可用“追赶法”求解,求得结果为Vi,2-Vi,1=Zi(i=1,2,…,M+2),因此,可唯一确定曲面的第二排特征顶Vi,2=Zi+Vi,1=Zi+Qi,1(i=1,2,…,M+2)。4.2增加平均变分法形式建立曲面(w=1)边界点的w向切矢与顶点的关系,其推导方法与建立曲面(w=0)边界点的w向切矢与顶点关系的过程一样,仅是下标j有变化(j=N-1)。下面直接给出所推出的结果,所获得的线性方程组与(3)式的形式一致。设(3)式中的系数矩阵为B,则曲面(w=1)边界点的w向切矢与顶点的关系式如下:B[V1,Ν+2-V1,Ν+1V2,Ν+2-V2,Ν+1V3,Ν+2-V3,Ν+1V4,Ν+2-V4,Ν+1⋮VΜ-1,Ν+2-VΜ-1,Ν+1VΜ,Ν+2-VΜ,Ν+1VΜ+1,Ν+2-VΜ+1,Ν+1VΜ+2,Ν+2-VΜ+2,Ν+1]=[Ρ′1,Ν-1(0,1)Ρ′1,Ν-1(13,1)-127Ρ′2,Ν-1(0,1)Ρ′2,Ν-1(0,1)Ρ′3,Ν-1(0,1)⋮Ρ′Μ-2,Ν-1(0,1)Ρ′Μ-1,Ν-1(0,1)Ρ′m-1,Ν-1(23,1)-127Ρ′Μ-1,Ν-1(0,1)Ρ′Μ-1,Ν-1(1,1)](4)(4)式的系数阵仍是三对角方阵,可用“追赶法”求解,求得:Vi,N+2-Vi,N+1=Si(i=1,2…,M+2),因此,可唯一确定曲面的倒数第二排特征顶点Vi,N+1=Vi,N+2-Si=Qi,N-Si(i=1,2,…,M+2)。4.3求出任何关键点第二排和倒数第二排顶点都已经求出,而第一排顶点和倒数第一排顶点又是已知的,Vi,1=Qi,1,Vi,N+2=Qi,N(i=1,2,…,M+2)(由两端四重节点B样条曲线的特性所得)。这样方程数与末知顶点数相等,故可求出其余全部顶点。以第一次反算所得到的顶点Qi,j(i=1,2,3,…,M+2;j=2,3,…,N-1)为型值点,沿w向按(5)式反求曲面的特征网格顶点。[301/47/121/61/62/31/6⋮⋮⋮1/62/31/61/67/121/403]⋅[Vi,2Vi,3Vi,4⋮Vi,Ν-1Vi,ΝVi,Ν+1]=[3Vi,2Qi,2Qi,3⋮Qi,Ν-2Qi,Ν-13Vi,Ν+1](i=1,2,⋯,Μ,Μ+1,Μ+2)(5)用“追赶法”求解(5)式,求得曲面其余特征网格顶点(Vij(i=1,2,…,M+2;j=3,4,…,N-1,N)。至此获得了定义汽车车身局部复杂曲面的全部特征网格顶点。5思想上取样品线的等间隔插值汽车车身曲面截面外形的计算是车身设计中经常遇到的。例如,在车身设计中的取样板,实际上是用平面与车身外形曲面求交,其交线就是车身样板线。在数控绘图和数控加工中也往往需要对曲面参数进行等间隔插值。限于篇幅,下面仅讨论两种截面外形的计算方法。5.1列点的坐标值Δw计算一系列给定u值的横截面外形上一系列点的坐标值这种情况,可将u=uk,w=w+Δw代入曲面方程(1)进行计算,具体可采用差分运算,使计算可以高速进行。5.2x截面属性这是一种车身曲面正截面外形计算,正截面是用垂直于坐标轴的平面与车身曲面相交而得到的。正截面分为x截面、y截面、z截面三种。由于这种截面的算法原理相同,因此,这里仅讨论x截面的算法。设截平面方程为:x-x0=0(x0为常数),将x=x0代入车身曲面方程(1)式,得x截面外形方程:UBVxBTWT-x0=0式中:Vx是所截曲面片顶点矩阵的x分量;B是所截曲面片对应的基函数系数阵。所截曲面片的列的编号,可按已知型值点判断得出。按所得的曲面片编号选择对应的基函数系数阵,进行分段