可见光区高增透的一种改进方法

可见光区高增透的一种改进方法

全球照明区域的高度集中一直是一个非常重要的问题。这对于光学系统消除杂光,提高照相机镜头和望远镜质量都是很重要的。以往国内的有关资料表明,利用两种材料4层膜可取得好的结果,其透过率T≥99.5%,带宽为400~680nm。国外利用同种材料4层膜最好的计算结果也只是400~688nm,而国内最好的计算结果为400~695nm。本人利用两种计算方法使带宽扩展为400~710nm。一种方法为迭代法(逼近或变尺度法)。这种方法首先由Davidon提出,叫做DFP变尺度法,是一种容易理解和成功的求值算法。如果用X表示膜系光学厚度向量,则X={n1d1n2d2⋯nΝdΝX=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n1d1n2d2⋯nNdNN为层数。那么在前后两次迭代中X(Κ+1)=X(k)-α(Κ)Η(Κ)G(k)(1)X(K+1)=X(k)−α(K)H(K)G(k)(1)其中,H(K)是第K次迭代的正定矩阵(开始时的H(1)可以任意选择,例如,取单位矩阵);G(k)是评价函数f在第K次迭代时对于各层厚度的梯度向量;α(K)是待调整参数。调整方法是把(1)式代入评价函数f中,用插值法、0.618法或比较法使f(α)≃0,这就是寻找α(K)。整个变尺度法的这个步骤是费时间的。Powell指出,求出近似的α(k)也就可以了。用DFP法求取H(K+1):Η(Κ+1)=Η(Κ)-Η(Κ)r(Κ)r(Κ)ΤΗ(Κ)Ιr(Κ)ΤΗ(Κ)r(Κ)+Ρ(Κ)Ρ(Κ)ΤΡ(Κ)r(Κ)(2)H(K+1)=H(K)−H(K)r(K)r(K)TH(K)Ir(K)TH(K)r(K)+P(K)P(K)TP(K)r(K)(2)式中,T表示转置,P(K)和r(K)分别为Ρ(Κ)=X(Κ+1)-X(Κ)r(Κ)=G(Κ+1)-G(k)}(3)P(K)=X(K+1)−X(K)r(K)=G(K+1)−G(k)}(3)我们曾经用DFP算法的Algol60程序进行了许多计算,绝大多数情况是满意的。在有舍入误差情况下,H(K)易趋于病态,致使收钦稳定性没有绝对保证。Broyden、Fletcher与Shanno改进了上述的H(K),得出:Η(k+1)=Η(Κ)+(μ(Κ)Ρ(Κ)Ρ(Κ)Τ-Η(Κ)×r(Κ)Ρ(Κ)Τ-Ρ(Κ)r(Κ)ΤΗ(Κ))/Ρ(Κ)Τr(Κ)(4)H(k+1)=H(K)+(μ(K)P(K)P(K)T−H(K)×r(K)P(K)T−P(K)r(K)TH(K))/P(K)Tr(K)(4)式中,μ(Κ)=1+r(Κ)ΤΗ(k)r(Κ)/Ρ(Κ)Τr(Κ)(5)μ(K)=1+r(K)TH(k)r(K)/P(K)Tr(K)(5)叫做BFS变尺度法。这样一来使H(K)不会病态,有可靠的稳定性。因此,它是目前最成功的变尺度法,而且比DFP法更省时间。评价函数f(x)的定义是f(x)=Σ[R(λ)-R0(λ)]2(6)f(x)=Σ[R(λ)−R0(λ)]2(6)式中,R0(λ)为各计算点(波长)的目标值;R(λ)为该点的反射率。在计算过程中对初始条件没有苛刻的要求(初始条件指厚度)。当然,很坏的初始条件会延长计算时间。在一定意义上讲,初始条件选择与计算结果有关。在利用变尺度法计算得出较为满意的结果之后,以此结果作为初始条件,采用局部修正法(即膜厚修正法)进一步修正计算,最终给出一个最佳结果。膜厚修正法是略微改变不够理想的原始膜系设计的各层厚度,用计算机排出程序,估计对膜系特性的影响,以便逐步改进膜系特性。先简要介绍这种方法的基本原理,然后简要说明利用这种方法压缩可见光区靠近700nm一侧的反射率。如图1所示,淀积在透明基片上的m层无均匀吸收膜堆反射率R和透射率T是每层膜的折射率n、光学厚度[t=(ndr)]和入射光真空波长j及入射角的函数。对确定的入射角(定为0°),在给定波长j处由膜层图1的光学厚度δt和折射率变化δnr引起的反射率变化δR和透射率的变化δTj可近似为δRj=-δΤj=mΣr=1∂Rj∂trdtr+mΣr=1∂Rj∂nrδnr+(二阶项)δRj=−δTj=Σr=1m∂Rj∂trdtr+Σr=1m∂Rj∂nrδnr+(二阶项)入射媒质和基片的折射率都保持不变。在δRj变化很小时,忽略掉二阶以上的项,将得到足够好的近似。取反射率RJ对光学厚度tr和折射率nr的偏导数(变化率)就可以使光学厚度与折射率的变化和反射率总的变化联系起来。假设膜层组合的反射率在波长j处必须改变,由于折射率只能是各种不连续值,故只能限制光学厚度的变化。此时得到:δRj=mΣr=1∂Rj∂trdt(7)δRj=Σr=1m∂Rj∂trdt(7)所以,这个方法的成功在于上式中的一阶导数能被计算出来。如果计算出∂Rj∂tr∂Rj∂tr,这就意味着在波长j处整个膜系的反射率Rj随第r层膜光学厚度的变化率就知道了,从而就可以给出各层膜光学厚度小的变化会引起膜系反射率Rj的变化有多大。为求∂Rj∂tr∂Rj∂tr,首先要求出膜系总反射率R。计算多层膜的反射率有各种方法,这里我们用特征矩阵法。折射率为nr的光学均匀薄层的特征矩阵是Μ=(cosβrisinβr/nrinrsinβrcosβr)(8)M=(cosβrinrsinβrisinβr/nrcosβr)(8)其中位相厚度:βr=2πnrdr/λ=2πtr/λ(9)βr=2πnrdr/λ=2πtr/λ(9)m层膜的合成矩阵是Μ=Μm⋅Μm-1⋯Μ2⋅Μ1(10)显然,合成矩阵M也是一个二阶矩阵,有如下形式:Μ=(C1iC2iC3C4)(11)如果光从折射率为nA的入射媒质入射到淀积在折射率为ng的基底上的m层膜堆上,则反射率R为R=(B1-B3)2+(B2-B4)2(B1+B3)2+(B2+B4)2(12)其中B1=nAC1,B2=nAngC2,B3=ngC4,B4=C3,而C1,C2,C3,C4是合成矩阵M的阵元。求出了膜系反射率Ri与各层膜的nr和tr的关系后,就可以求∂Rj∂tr了。计算∂Rj∂tr有许多方法,我们用的是精确法。注意到R是C1,C2,C3,C4的函数,则∂R∂β=nA∂R∂B1∂C1∂β1+nAng∂R∂B2∂C2∂βr+ng∂R∂B3∂C4∂βr+∂R∂B4∂C3∂βr(13)导数∂R∂B1‚∂R∂B2等是简单的代数函数。注意到βr仅仅出现在第r个特征矩阵中,导数∂C1∂βr等是容易计算的。在第r个特征矩阵中对每一个阵元求导,然后在方程(10)中进行矩阵乘积。假定我们要计算6层膜系的∂C1∂β4,那么[∂C1∂β4i∂C2∂β4i∂C2∂β4∂C4∂β4]=Μ6‚Μ5‚Μ4′‚Μ3‚Μ2‚Μ1(14)其中矩阵M′4称为微商矩阵,并且是简单的,Μ′4=[-sinβ4i1n4cosβ4in4cosβ4-sinβ4](15)求出∂R∂βr以后,就可以用关系式(9)求得∂R∂tr:∂R∂tr=2πλ∂R∂β(16)上述计算关系式是在垂直入射情况下导出的,也可以推广到斜入射情况。为了压缩靠近700nm一侧的反射,我们先用变尺度法计算出较为理想的结果,再用∂Rj∂t的程序进行分析计算。从分析修正程序的计算数据直接可以看出改变哪层膜的微小厚度使反射率压缩,透过率增加,而且使整个可见光区透过率T≥99