贵州省遵义市正安一中2023年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

贵州省遵义市正安一中2023年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为（）A. B.C.4 D.2．双曲线的虚轴长为（）A. B.C.3 D.63．下列命题中，一定正确的是（）A.若且，则a>0，b<0B.若a>b，b≠0，则>1C.若a>b且a＋c>b＋d，则c>dD.若a>b且ac>bd，则c>d4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱5．已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于()A.6 B.5C.4 D.26．已知长方体的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（）A. B.C. D.7．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B.C. D.8．下面四个说法中，正确说法的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若，，，则；（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.A.1 B.2C.3 D.49．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C.若，且，则抛物线的方程为（）A. B.C. D.10．曲线与曲线（）的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等11．一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度为（）A.4 B.12C.15 D.2112．直线的倾斜角为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是__________14．已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______15．一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为.16．在空间直角坐标系中，向量为平面ABC的一个法向量，其中，，则向量的坐标为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于两点（1）求△OAB面积的最小值（为坐标原点）；（2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由18．（12分）国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费.从年秋季学期起，全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过元提高至不超过元，助学贷款偿还本金的宽限期从年延长到年.假如学生甲在本科期间共申请到元的助学贷款，并承诺在毕业后年内还清，已知该学生毕业后立即参加工作，第一年的月工资为元，第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，此后工资不再浮动.（1）学生甲参加工作后第几个月的月工资达到元；（2）如果学生甲从参加工作后的第一个月开始，每个月除了偿还应有的利息外，助学贷款的本金按如下规则偿还：前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，第个月偿还剩余的本金.则他第个月的工资是否足够偿还剩余的本金.（参考数据：；；）19．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）1234567失效费（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费参考公式：相关系数线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，参考数据：，，20．（12分）已知圆C的圆心在y轴上，且过点，（1）求圆C的方程；（2）已知圆C上存在点M，使得三角形MAB的面积为，求点M的坐标21．（12分）已知点，.（1）求以为直径的圆的方程；（2）若直线被圆截得的弦长为，求值22．（10分）已知二次曲线的方程：（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；（2）若双曲线与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程；（3）为正整数，且，是否存在两条曲线，其交点P与点满足，若存在，求的值；若不存在，说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由，可得，再计算即可求解.【详解】由题意可知，所以，即.故选：A2、D【解析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.故选：D.3、A【解析】结合不等式的性质确定正确答案.【详解】A选项，若且，则，所以A选项正确.B选项，若，则，所以B选项错误.C选项，如，但，所以C选项错误.D选项，如，但，所以D选项错误.故选：A4、D【解析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决【详解】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，则，，，，成等差数列，设公差为，整理上面两个算式，得：，解得，故选：5、B【解析】先求出,再利用焦半径公式即可获解.【详解】由题意，,解得所以故选：B.6、C【解析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.【详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系∵底面是边长为4的正方形，，∴，，，因为,，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴与对角面所成角的正弦值为故选：C.7、B【解析】根据程序框图的循环逻辑写出其执行步骤，即可确定输出结果.【详解】由程序框图的逻辑，执行步骤如下：1、：执行循环，，；2、：执行循环，，；3、：执行循环，，；4、：执行循环，，；5、：执行循环，，；6、：不成立，跳出循环.∴输出的值为.故选：B.8、A【解析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断；利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），即可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；利用平面的基本性质中的公理判断（3）正确；空间中，若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选：A【点睛】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.9、A【解析】分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设，推出；根据，进而推导出，结合抛物线定义求出；最后由相似比推导出，即可求出抛物线的方程.【详解】如图分别过点作准线的垂线，分别交准线于点，,设与交于点.设，,，由抛物线定义得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以抛物线的方程为.故选：A10、D【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断.【详解】曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为；曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为.对照选项可知：焦距相等.故选：D.11、B【解析】由瞬时变化率的定义，代入公式求解计算.【详解】由题意，该质点在时的瞬时速度为.故选：B12、D【解析】若直线倾斜角为，由题设有，结合即可得倾斜角的大小.【详解】由直线方程，若其倾斜角为，则，而，∴.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、；【解析】根据相切可得圆心到直线距离即为圆的半径,利用点到直线距离公式解出半径,即可得到圆的方程【详解】由题,设圆心到直线的距离为,所以,因为圆与直线相切,则,所以圆的方程为,故答案为：【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求圆的方程,考查点到直线距离公式的应用14、7【解析】先证明四边形是平行四边形，再根据双曲线的定义可求解.【详解】由双曲线的对称性，可知，又，所以四边形是平行四边形，所以，由，可知点在双曲线的左支，如下图所示：由双曲线定义有，又，所以.故答案为：15、【解析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥斜高为该六棱锥的侧面积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积16、【解析】根据向量为平面ABC的一个法向量，由求解.【详解】因为，，所以，又因为向量为平面ABC的一个法向量，所以，解得，所以，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）是，该定值.【解析】（1）根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式进行求解即可；（2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【小问1详解】显然直线存在斜率，设直线的方程为：，所以有，设，则有，，原点到直线的距离为：，△OAB的面积为：，当时，有最小值，最小值为；【小问2详解】是定值，理由如下：由（1）可知：，，【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.18、（1）；（2）不能，理由见解析.【解析】（1）设甲参加工作后第个月的月工资达到元，根据已知条件可得出关于的不等式，结合参考数据可求得结果；（2）分析可知从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，计算出甲前个月偿还的本金，再由甲第个月的工资可得出结论.【小问1详解】解：设甲参加工作后第个月的月工资达到元，则，可得，，解得，所以，学生甲参加工作后第个月的月工资达到元.【小问2详解】解：因为甲前个月每个月偿还本金元，第个月开始到第个月每个月偿还的本金比前一个月多元，所以，从第个月开始到第个月偿还的本金是首项为为首项，以为公差的等差数列，所以，前个月偿还的本金为，因为第个月开始，每个月工资比前一个月增加直到元，所以，第个月的工资为元，因为，因此，甲第个月的工资不能足够偿还剩余的本金.19、（1）答案见解析；（2）；失效费为6.3万元【解析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数可得结果；（2）根据公式求出和可得关于的线性回归方程，再代入可求出结果.【详解】（1）由题意，知，，∴结合参考数据知：因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系（2）∵，∴∴关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程得万元，∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元20、（1）；（2）或.【解析】（1）两点式求AB所在直线的斜率，结合点坐标求AB的垂直平分线，根据已知确定圆心、半径即可得圆C的方程；（2）求AB所在直线方程，几何关系求弦长，由三角形面积求点线距离，设M所在直线为，由点线距离公式列方程求参数，进而联立直线与圆C求M的坐标【小问1详解】由题意知，AB所在直线的斜率为，又，中点为，所以线段AB的垂直平分线为，即，联立，得，半径，所以圆C的方程为.【小问2详解】由题意，AB所在直线方程为，即，圆心到直线AB的距离为，故，因为三角形MAB的面积为，则点M到直线AB的距离为，设点M所在直线方程为，所以，所以或，当时，联立得：或，当时，联立，无解；所以或21、(1).(2)或【解析】（1）根据题意，有A、B的坐标可得线段AB的中点即C的坐标，求出AB的长即可得圆C的半径，由圆的标准方程即可得答案；（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C到直线x﹣my+1＝0的距离d，结合点到直线的距离公式可得，解可得m的值，即可得答案【详解】（1）根据题意，点，，则线段的中点为，即的坐标为；圆是以线段为直径的圆，则其半径，圆的方程为.（2）根据题意，若直线被圆截得的弦长为，则点到直线的距离，又由，则有，变形可得：，解可得或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的标准方程，属于基础题22、（1）时，方程表示椭圆，时，方程表示双曲线；（2）；（3）存在，且或或.【解析】（1）当且仅当分母都为正，且不相等时，方程表示椭圆；当且仅当分母异号时，方程表示双曲线（2）将直线与曲线联立化简得：，利用双曲线与直线有公共点，可确定的范围，从而可求双曲线的实轴，进而可得双曲线方程；（3）由（1）知，，是椭