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文档简介

广西岑溪市2023年高二数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、,则由,可得.类比上述方法:设实系数一元三次方程在复数集C内的根为,则的值为A.﹣2 B.0C.2 D.42.命题“,”的否定形式是()A.“,” B.“,”C.“,” D.“,”3.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是()A. B.C. D.4.已知,,则等于()A.2 B.C. D.5.直线的倾斜角为()A. B.C. D.6.在数列中,,则等于A. B.C. D.7.数列是等比数列,是其前n项之积,若,则的值是()A.1024 B.256C.2 D.5128.如图,双曲线的左,右焦点分别为,,过作直线与C及其渐近线分别交于Q,P两点,且Q为的中点.若等腰三角形的底边的长等于C的半焦距.则C的离心率为()A. B.C. D.9.已知圆,圆相交于P,Q两点,其中,分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为()A.3 B.4C.6 D.10.已知集合A=()A. B.C.或 D.11.在的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,且所有项的系数和为0,则含的项的系数为()A.-20 B.-15C.-6 D.1512.在等差数列中,,,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在正项等比数列中,,,则的公比为___________.14.已知球面上的三点A,B,C满足,,,球心到平面ABC的距离为,则球的表面积为______15.已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.16.正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,则与侧面所成角的正弦值为______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在数列中,,,数列满足(1)求证:数列是等比数列,并求出数列的通项公式;(2)数列前项和为,且满足,求的表达式;(3)令,对于大于的正整数、(其中),若、、三个数经适当排序后能构成等差数列,求符合条件的数组.18.(12分)已知抛物线:上的点到其准线的距离为5.(1)求抛物线的方程;(2)已知为原点,点在抛物线上,若的面积为6,求点的坐标.19.(12分)在三棱柱中,侧面正方形的中心为点平面,且,点满足(1)若平面,求的值;(2)求点到平面的距离;(3)若平面与平面所成角的正弦值为,求的值20.(12分)已知圆.(1)若不过原点的直线与圆相切,且直线在两坐标轴上的截距相等,求直线的方程;(2)求与圆和直线都相切的最小圆的方程.21.(12分)已知圆,直线.(1)当为何值时,直线与圆相切;(2)当直线与圆相交于、两点,且时,求直线的方程.22.(10分)已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,椭圆上的动点到焦点的最大距离为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过作一条不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点,弦的中垂线交轴于,当变化时,是否为定值?若是,定值为多少?

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】用类比推理得到,再用待定系数法得到,,再根据求解.【详解】,由对应系数相等得:,.故选:A.【点睛】本题主要考查合情推理以及待定系数法,还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力,属于中档题.2、C【解析】由全称命题的否定是特称命题即得.【详解】“任意”改为“存在”,否定结论即可.命题“,”的否定形式是“,”.故选:C.3、D【解析】由题意得当时,,根据题意作出函数的部分图象,再结合图象即可求出答案【详解】解:当时,,又,∴当时,,∴在上单调递增,在上单调递减,且;又,则函数图象每往右平移两个单位,纵坐标变为原来的倍,作出其大致图象得,当时,由得,或,由图可知,若对任意,都有,则,故选:D【点睛】本题主要考查函数的图象变换,考查数形结合思想,属于中档题4、D【解析】利用两角和的正切公式计算出正确答案.【详解】.故选:D5、D【解析】由直线斜率概念可写出倾斜角的正切值,进而可求出倾斜角.【详解】因为直线的斜率为,所以倾斜角.故选D【点睛】本题主要考查直线的倾斜角,由斜率的概念,即可求出结果.6、D【解析】分析:已知逐一求解详解:已知逐一求解.故选D点睛:对于含有的数列,我们看作摆动数列,往往逐一列举出来观察前面有限项的规律7、D【解析】设数列的公比为q,由已知建立方程求得q,再利用等比数列的通项公式可求得答案.【详解】解:因为数列是等比数列,是其前n项之积,,设数列的公比为q,所以,解得,所以,故选:D.8、C【解析】先根据等腰三角形的性质得,再根据双曲线定义以及勾股定理列方程,解得离心率.【详解】连接,由为等腰三角形且Q为的中点,得,由知.由双曲线的定义知,在中,,(负值舍去)故选:C【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率,考查基本分析求解能力,属基础题.9、A【解析】求得,由此求得四边形的面积.【详解】圆的圆心为,半径;圆的圆心为,所以,由、两式相减并化简得,即直线的方程为,到直线的距离为,所以,所以四边形的面积为.故选:A10、A【解析】先求出集合,再根据集合的交集运算,即可求出结果.【详解】因为集合,所以.故选:A.11、C【解析】先由只有第4项的二项式系数最大,求出n=6;再由展开式的所有项的系数和为0,用赋值法求出,用通项公式求出的项的系数.【详解】∵在的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,∴在的展开式有7项,即n=6;而展开式的所有项的系数和为0,令x=1,代入,即,所以.∴是展开式的通项公式为:,要求含的项,只需,解得,所以系数为.故选:C12、B【解析】利用等差中项的性质可求得的值,进而可求得的值.【详解】由等差中项的性质可得,则.故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解析】由题设知等比数列公比,根据已知条件及等比数列通项公式列方程求公比即可.【详解】由题设,等比数列公比,且,所以,可得或(舍),故公比为3.故答案为:314、【解析】由题意可知为直角三角形,求出外接圆的半径,可求出球的半径,然后求球的表面积.【详解】由题意,,,,则,可知,所以外接圆的半径为,因为球心到平面的距离为,所以球的半径为:,所以球的表面积为:.故答案为:.15、【解析】令则,∴在R上是减函数又等价于∴故不等式的解集是答案:点睛:本题考查用构造函数的方法解不等式,即通过构造合适的函数,利用函数的单调性求得不等式的解集,解题时要注意常见的函数类型,如在本题中由于涉及到,故可从以下两种情况入手解决:(1)对于,可构造函数;(2)对于,可构造函数16、【解析】作图,考虑底面是正三角形,按照线面夹角的定义构造直角三角形即可.【详解】依题意,作图如下,取的中点G,连结,∵是正三角形,∴,,又∵是正三棱柱,∴底面,∴,即平面,,与平面的夹角=,在中,,故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析,;(2);(3).【解析】(1)由已知等式变形可得,利用等比数列的定义可证得结论成立,确定等比数列的首项和公比,可求得数列的通项公式;(2)求得,然后分、两种情况讨论,结合裂项相消法可得出的表达式;(3)求得,分、、三种情况讨论,利用奇数与偶数的性质以及整数的性质可求得、的值,综合可得出结论.【小问1详解】解:由可得,,则,,以此类推可知,对任意的,,则,故数列为等比数列,且该数列的首项为,公比为,故,可得.【小问2详解】解:由(1)知,所以,所以,当n=1时,,当时,.因为满足,所以.【小问3详解】解:,、、这三项经适当排序后能构成等差数列,①若,则,所以,,又,所以,,则;②若,则,则,左边为偶数,右边为奇数,所以,②不成立;③若,同②可知③也不成立综合①②③得,18、(1)(2)或【解析】(1)结合抛物线的定义求得,由此求得抛物线的方程.(2)设,根据三角形的面积列方程,求得的值,进而求得点的坐标.【小问1详解】由抛物线的方程可得其准线方程,依抛物线的性质得,解得.∴抛物线的方程为.【小问2详解】将代入,得.所以,直线的方程为,即.设,则点到直线的距离,又,由题意得,解得或.∴点的坐标是或.19、(1);(2);(3)或.【解析】(1)连接ME,证明即可计算作答.(2)以为原点,的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系,借助空间向量计算点到平面的距离即可.(3)由(2)中空间直角坐标系,借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.【小问1详解】在三棱柱中,因,即点在上,连接ME,如图,因平面面,面面,则有,而为中点,于是得为的中点,所以.【小问2详解】在三棱柱中,面面,则点到平面的距离等于点到平面的距离,又为正方形,即,而平面,以为原点,的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系,如图,依题意,,则,,设平面的法向量为,则,令,得,又,则到平面的距离,所以点到平面的距离为.【小问3详解】因,则,,设面的法向量为,则,令,得,于是得,而平面与平面所成角的正弦值为,则,即,整理得,解得或,所以的值是或.【点睛】易错点睛:空间向量求二面角时,一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想进行向量运算,要认真细心,准确计算.20、(1)或;(2).【解析】(1)根据题意设出直线的方程,然后根据直线与圆相切,即可求出答案;(2)首先根据题意判断出最小圆的圆心在直线上,且最小圆的半径为,然后设出最小圆的圆心为,则圆心到直线的距离为,从而可求出答案.【小问1详解】因为直线不过原点,设直线的方程为,圆的标准方程为,若直线与圆相切,则,即,解得或者3,所以直线的方程为或者;【小问2详解】因为,所以直线与圆相离,所以所求最小圆的圆心一定在圆的圆心到直线的垂线段上,即最小圆的圆心在直线上,且最小圆的半径为,设最小圆的圆心为,则圆心到直线的距离为,所以,即,解得(舍)或,所以最小的圆的方程为.21、(1);(2)或.【解析】(1)将圆的方程表示为标准方程,确定圆心坐标与半径,利用圆心到直线的距离可求得实数的值;(2)求出圆心到直线的距离,利用、、三者满足勾股定理可求得的方程,解出的值,即可得出直线的方程.【详解】将圆C的方程配方得标准方程为,则此圆的圆心为,半径为.(1)若直线与圆相切,则有,解得;(2)圆心到直线的距离为,由勾股定理可得,可得,整理得,解得或,故所求直线方程为或.【点睛】方法点睛:圆的弦长的常用求法(1)几何法:求圆的半径为,弦心距为,弦长为,则;(2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式.22、(1)(2)是,【解析】(1)由抛物线方程求出其焦点坐标,结合椭圆的几何

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