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文档简介
福建省龙海市第二中学2024届高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知圆,直线,则直线l被圆C所截得的弦长的最小值为()A.2 B.3C.4 D.52.1202年,意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中收录了一些有意思的问题,其中有一个关于兔子繁殖的问题:如果1对兔子每月生1对小兔子(一雌一雄),而每1对小兔子出生后的第3个月里,又能生1对小兔子,假定在不发生死亡的情况下,如果用Fn表示第n个月的兔子的总对数,则有(n>2),.设数列{an}满足:an=,则数列{an}的前36项和为()A.11 B.12C.13 D.183.抛物线的焦点坐标是A. B.C. D.4.在中,角所对的边分别为,,,则外接圆的面积是()A. B.C. D.5.袋子中有四个小球,分别写有“文、明、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为()A. B.C. D.6.直线且的倾斜角为()A. B.C. D.7.已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为,则抛物线的方程是()A. B.C. D.8.已知点是抛物线的焦点,点为抛物线上的任意一点,为平面上点,则的最小值为A.3 B.2C.4 D.9.已知数列满足,令是数列的前n项积,,现给出下列四个结论:①;②为单调递增的等比数列;③当时,取得最大值;④当时,取得最大值其中所有正确结论的编号为()A.②④ B.①③C.②③④ D.①③④10.已知抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,直线PF交x轴于Q点,且,则点P到准线l的距离为()A.4 B.5C.6 D.711.已知命题p:“是方程表示椭圆”的充要条件;命题q:“是a,b,c成等比数列”的必要不充分条件,则下列命题为真命题的是()A. B.C. D.12.已知,若与的展开式中的常数项相等,则()A.1 B.3C.6 D.9二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.直线与圆相交于A,B两点,则______14.从10名大学毕业生中选3个人担任村主任助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选不同选法的种数为___________.15.过点与直线平行的直线的方程是________.16.已知等差数列的前n项和为,,,则______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线,过点作直线(1)若直线的斜率存在,且与抛物线只有一个公共点,求直线的方程(2)若直线过抛物线的焦点,且交抛物线于两点,求弦长18.(12分)已知圆的圆心在直线上,与轴正半轴相切,且被直线:截得的弦长为.(1)求圆的方程;(2)设点在圆上运动,点,且点满足,记点的轨迹为.①求的方程,并说明是什么图形;②试探究:在直线上是否存在定点(异于原点),使得对于上任意一点,都有为一常数,若存在,求出所有满足条件的点的坐标,若不存在,说明理由.19.(12分)如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M、N分别是AB、PC的中点(1)求证:平面MND⊥平面PCD;(2)求点P到平面MND的距离20.(12分)已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3=0和4x﹣3y﹣5=0交点,且与直线x+y﹣2=0垂直(1)求直线l的方程;(2)若圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l被该圆所截得的弦长为,求圆C的标准方程21.(12分)奋发学习小组共有3名学生,在某次探究活动中,他们每人上交了1份作业,现各自从这3份作业中随机地取出了一份作业.(1)每个学生恰好取到自己作业的概率是多少?(2)每个学生不都取到自己作业的概率是多少?(3)每个学生取到的都不是自己作业的概率是多少?22.(10分)已知直线,抛物线.(1)与有公共点,求的取值范围;(2)是坐标原点,过的焦点且与交于两点,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】直线l过定点D(1,1),当时,弦长最短.【详解】由,圆心,半径,,由,故直线l过定点,∵,故D在圆C内部,直线l始终与圆相交,当时,直线l被圆截得的弦长最短,,弦长=.故选:C.2、B【解析】由奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数可知,数列{Fn}中F3,F6,F9,F12,,F3n为偶数,其余项都为奇数,再根据an=,即可求出数列{an}的前36项和【详解】由奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数可知,数列{Fn}中F3,F6,F9,F12,,F3n为偶数,其余项都为奇数,∴前36项共有12项为偶数,∴数列{an}的前36项和为12×1+24×0=12.故选:B3、D【解析】根据抛物线的焦点坐标为可知,抛物线即的焦点坐标为,故选D.考点:抛物线的标准方程及其几何性质.4、B【解析】利用余弦定理可得,然后利用正弦定理可得,即求.【详解】因为,所以,由余弦定理得,,所以,设外接圆的半径为,由正统定理得,,所以,所以外接圆的面积是.故选:B.5、A【解析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】因为随机模拟产生了以下18组随机数:,其中恰好第三次就停止包含的基本事件有:023,123,132共3个,所以由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为,故选:A6、C【解析】由直线方程可知其斜率,根据斜率和倾斜角关系可得结果.【详解】直线方程可化为:,直线的斜率,直线的倾斜角为.故选:C.7、B【解析】由抛物线知识得出准线方程,再由点到焦点的距离等于其到准线的距离求出,从而得出方程.【详解】由题意知,则准线为,点到焦点的距离等于其到准线的距离,即,∴,则故选:B.8、A【解析】作垂直准线于点,根据抛物线的定义,得到,当三点共线时,的值最小,进而可得出结果.【详解】如图,作垂直准线于点,由题意可得,显然,当三点共线时,的值最小;因为,,准线,所以当三点共线时,,所以.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题,熟记抛物线的定义与性质即可,属于常考题型.9、B【解析】求出,即可判断选项①正确;求出,即可选项②错误;求出,利用单调性即可判断选项③正确;求出,即可判断选项④错误,即得解.【详解】解:因为,①所以,,②①②得,,整理得,又,满足上式,所以,因为,所以数列为等差数列,公差为,所以,故①正确;,因为,故数列为等比数列,其中首项,公比为的等比数列,因为,,所以数列为递减的等比数列,故②错误;,因为为单调递增函数,所以当最大时,有最大值,因为,所以时,最大,即时,取得最大值,故③正确;设,由可得,,解得或,又因为,所以时,取得最大值,故④错误;故选:B10、C【解析】根据题干条件得到相似,进而得到,求出点P到准线l的距离.【详解】由题意得:,准线方程为,因为,所以,故点P到准线l的距离为.故选:C11、C【解析】先判断命题p,q的真假,从而判断的真假,再根据“或”“且”命题的真假判断方法,可得答案.【详解】当时,表示圆,故命题p:“是方程表示椭圆”的充要条件是假命题,命题q:“是a,b,c成等比数列”的必要不充分条件为真命题,则是真命题,是假命题,故是假命题,是假命题,是真命题,是假命题,故选:C12、B【解析】根据二项展开式的通项公式即可求出【详解】的展开式中的常数项为,而的展开式中的常数项为,所以,又,所以故选:B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、6【解析】利用弦心距、半径与弦长的几何关系,结合点线距离公式即可求弦长.【详解】由题设,圆心为,则圆心到直线距离为,又圆的半径为,故.故答案为:14、49【解析】丙没有入选,相当于从9个人中选3人,分为两种情况:甲乙两人只有一人入选;甲乙两人都入选,分别求出每种情况的选法数,再利用分类加法计数原理即可得解.【详解】丙没有入选,把丙去掉,相当于从9个人中选3人,甲、乙至少有1人入选,分为两种情况:甲乙两人只有一人入选;甲乙两人都入选.甲乙两人只有一人入选,选法有种;甲乙两人都入选,选法有种.所以,满足题意的选法共有种.故答案为:49.【点睛】本题考查组合的应用,其中涉及到分类加法计数原理,属于中档题.一些常见类型的排列组合问题的解法:(1)特殊元素、特殊位置优先法元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;(2)分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏;(3)间接法(排除法),从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法;(4)捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列;(5)插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空;(6)去序法或倍缩法;(7)插板法:个相同元素,分成组,每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排,从个空中选个空,各插一个隔板,有;(8)分组、分配法:有等分、不等分、部分等分之别.15、【解析】根据给定条件设出所求直线方程,利用待定系数法求解即得.【详解】设与直线平行的直线的方程为,而点在直线上,于是得,解得,所以所求的直线的方程为.故答案为:16、-1【解析】由已知及等差数列通项公式、前n项和公式,列方程求基本量即可.【详解】若公差为,则,可得.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或;(2)8【解析】(1)根据题意设直线的方程为,联立,消去得,因为只有一个公共点,则求解.(2)抛物线的焦点为,设直线的方程为,联立,消去得,再根据过抛物线焦点的弦长公式求解.【详解】(1)设直线的方程为,联立,消去得,则,解得或,∴直线的方程为:或(2)抛物线的焦点为,则直线的方程为,设,联立,消去得,∴,∴【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18、(1);(2)①,圆;②存在,.【解析】(1)设圆心,根据题意,得到半径,根据弦长的几何表示,由题中条件,列出方程求解,得出,从而可得圆心和半径,进而可得出结果;(2)①设,根据向量的坐标表示,由题中条件,得到,代入圆的方程,即可得出结果;②假设存在一点满足(其中为常数),设,根据题意,得到,再由①,得到,两式联立化简整理,得到,推出,求解得出,即可得出结果.【详解】(1)设圆心,则由圆与轴正半轴相切,可得半径.∵圆心到直线的距离,由,解得.故圆心为或,半径等于.∵圆与轴正半轴相切圆心只能为故圆的方程为;(2)①设,则:,,∵点A在圆上运动即:所以点的轨迹方程为,它是一个以为圆心,以为半径的圆;②假设存在一点满足(其中为常数)设,则:整理化简得:,∵在轨迹上,化简得:,所以整理得,解得:;存在满足题目条件.【点睛】本题主要考查求圆的方程,考查圆中的定点问题,涉及圆的弦长公式等,属于常考题型.19、(1)见解析;(2)【解析】(1)作出如图所示空间直角坐标系,根据题中数据可得、、的坐标,利用垂直向量数量积为零的方法算出平面、平面的法向量分别为,,和,1,,算出,可得,从而得出平面平面;(2)由(1)中求出的平面法向量,,与向量,2,,利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点到平面的距离【详解】(1)证明:平面,,、、两两互相垂直,如图所示,分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系,则,0,,,0,,,2,,,2,,,0,,,0,,,1,,,1,,,1,,,2,设,,是平面的一个法向量,可得,取,得,,,,是平面的一个法向量,同理可得,1,是平面的一个法向量,,,即平面的法向量与平面的法向量互相垂直,可得平面平面;(2)解:由(1)得,,是平面的一个法向量,,2,,得,点到平面的距离20、(1)(2)【解析】(1)先求得直线和直线的交点坐标,再用点斜式求得直线的方程.(2)设圆的标准方程为,根据已知条件列方程组,求得,由此求得圆的标准方程.【小问1详解】.直线的斜率为,所以直线的斜率为,所以直线的方程为.【小问2详解】设圆的标准方程为,则,所以圆的标准方程为.21、(1)(2)(3)【解析】(1)根据列举法列出所有的可能基本事件,进而得出每个学生恰好拿到自己作业的概率;(2)利用对立事件的概念即可求得结果;(3)结合(1)即可得出每个学生拿的都不是自己作业的事件数.【小问1详解】设这三个学生分别为A、B、C,A的作业为a,B的作业为b,C的作业为c,则
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