大连工业大学《线性代数》2016-2017学年期末试卷B

一、填空题（每空3分，共15分）得分二、单选题（每小题3分，共15分）2.设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx经正交变换化为标准形yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)+2yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),2)+3yEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),3)，则A的最小的特征值是()。2．试卷背面为草算区 题号一二三四五六七八九总分复核总分得分说明：“阅卷总分”由阅卷人填写；“复核总分”由复核人填写，复核总分不得有改动。得分1.设A为三阶方阵，且A=3,则-A=。EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(2),6)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(1),4)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up4(8),2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(0),1)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(2),4)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up6(2),1)3132331323333.若行列式D1313233132333(A)D1=-D2(B)D1=D2(C)D1=D2(D)D1=2D24.若A与B均为n阶可逆矩阵，则下列命题不正确的是()。B(A)AB=AB(B)(AB)-1=B-1A-1(C)产0(D)0为A的特征值B5.给定含有m个方程n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b，其系数矩阵的秩为R(A)，增广矩阵的秩为R(A,b),则该方程组无解的充分必要条件是()。（A）R(A)>R(A,b)（B）R(A)=R(A,b)<n（C）R(A)=R(A,b)=n（D）R(A)<R(A,b)得分三、计算题（每小题6分，共12分）得分1.计算行列式D=2.已知方阵A满足A2-A-3E=O，求(A-3E)-12+2x3+2x4=02．试卷背面为草算区 得分得分|0五、计算题（10分）已知矩阵A=|014410231033得分230EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up14(3),2)230EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up14(0),0)七、计算题（12分）七、计算题（12分）(1)2．试卷背面为草算区 得分|2||2|,求该向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极大无关组的其余向量用该极324==大无关组线性表示。得分八、计算题（8分）判断二次型f(x1,x2,x3)=xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)+xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),2)+5xEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),3)-x1x2-2x1x3+4x2x3是否为正定二次型，并说明理由。得分得分得分=9EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up13(0),4)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up10(1),5)（3）6EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up13(0),4)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up10(1),5)（3）6（4）12二．1.C2.B3.A4.D5.DEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(-32),22)9222122212229322=9322=910092321232001092231223000……………（6分）2-A-3E=O可知(A-3E)(A+2E)=-3E。于是(A-3E)-1=-(A+2E)。………………（6分）（01211121-111-22010-120……（6分）于是原方程组对应的同解方程(x=x(x=x+x2=-2x3-2x4令x3=c1，x4=c2，可得方程组的通解为2x2x3（x4)|1|)-2-21|||+c2-2-20|||EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(1),0)1-23-21EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(1),0)1-23-21-11-11-22-2103312001100111410231210……………（6分）|0|0-6-6)（00303显然R(A)显然R(A)=3。A的一个最高阶非零子式为20六12分）解：由λE-A=(λ-1)(λ-2)(λ-5)=0，求得A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=5。………（2分）对于λ1=1，解(E-A)X=0,得基础解系a1=|-1|。对于λ2=2，解(2E-A)X=0,得基础解系a2=|0|。对于λ3=5，解(5E-A)X=0,得基础解系a3=EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(1),0)……………………（8分）|2|将a1,a2,a3单位化，得p1=|-|取P=|-2001 1 1EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up11(1),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up11(0),2)|0||0|EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up15(0),0)-1AP=Λ。……………………（12分）EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(0),5)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(1),4)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(2),3)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(0),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(6),-6)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up12(2),-2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483646(0),0)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483646(0),0) EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(1),3)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(1),2)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(1),1)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2(1),0)故1，2为该向量组的一个极大无关组。……………)|………………212八8分）解：该二次型是正定的。…………（22121221d1=2=………（8分）>1221d1=2=………（8分）九6分）证明：假设k1(1+22)+k2(2+23)+k3(3+21)