高二上学期数学周测试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages44页试卷第=page22页，共=sectionpages44页第一学期高二数学周测（2）一、单选题1．如图，在四面体中，，，.点在上，且，为中点，则等于（

）

A． B．C． D．2．在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点B，则B的坐标为（

）．A． B． C． D．3．已知正方形的边长为4，平面，，E是中点，F是靠近A的四等分点，则点B到平面的距离为（

）A． B． C． D．4．棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（

）

A． B．1 C． D．5．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．76．如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的个数有（

）个

①的最小值为1②四面体的体积为③存在无数条直线与垂直④点为所在边中点时，四面体的外接球半径为A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（

）．

A． B． C． D．8．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（

）

A． B． C．4 D．2二、多选题9．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（

）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是10．已知正方体的棱长为4，为上靠近的四等分点，为上靠近的四等分点，为四边形内一点（包含边界），若平面，则下列结论正确的是（

）A．线段长度的最小值为 B．三棱锥的体积为定值C．平面 D．直线与平面所成角的正弦值为11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，CD的中点，则（

）

A． B．平面BEFC．直线AB交平面EFC于点P，则 D．点到平面BEF的距离为12．若正方体的棱长为，是中点，则下列说法正确的是（

）

A．平面B．到平面的距离为C．平面和底面所成角的余弦值为D．若此正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题13．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为.14．已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是.15．已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为.16．如图，在三棱锥中，平面，，，，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为.答案第=page1313页，共=sectionpages1414页答案第=page1414页，共=sectionpages1414页参考答案：1．B【分析】根据空间向量线性运算直接求解即可.【详解】连接，

.故选：B.2．B【分析】利用空间直角坐标系定义即可求得点在坐标平面内的射影点的坐标.【详解】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点故选：B3．C【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求点到平面的距离.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示，依题意，则有，，，，，故，，.设平面的一个法向量为，则，，所以，取，得，，于是，所以点到平面的距离为.故选：C.4．A【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设，，根据线面垂直得到方程组，求出，，从而求出，得到线段PQ的最小值.【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，，所以，，因为平面，所以，故，，故，其中，故，故当时，，此时满足要求，所以线段PQ的最小值为.

故选：A5．A【分析】根据，设，结合空间向量的坐标运算，求得，从而得到答案.【详解】由，设，则，解得：，，，所以，故选：A.6．B【分析】由公垂线的性质判断A;由线面平行的性质及锥体的体积公式判断B;根据线面垂直的判定及面面平行的判定定理结合条件判断C;利用坐标法，根据正弦定理及球的性质结合条件可求四面体的外接球半径判断D.【详解】对于A:因为是正方体，所以平面,平面,又因为平面,平面,所以,，即是与的公垂线段，因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，所以当分别与重合时，最短为1，故A正确;对于B,因为是正方体，所以平面平面，且平面所以平面，当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离，由可知，当点在上运动时，到的距离不变，所以的面积不变，所以所以B错误;对于C,连接，因为平面，平面，且,所以，又平面，所以平面，当不在线段端点时，过作交于，过作交于，平面交线段于,

因为平面，平面,故平面，同理平面,又平面，所以平面平面，故平面，又平面，所以，因为点在线段上，所以存在无数条直线，故C正确;对于D,如图,以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则,所以,

则的外接圆的半径为所以可得等腰的外接圆圆心为,设四面体的外接球球心为，则平面，所以可设四面体的外接球球心为，由，可得,解得，所以四面体的外接球的半径为故D错误.故选:AC.7．D【分析】将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，建立直角坐标系，表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出.【详解】平面,平面,平面,因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.

则设平面的法向量为，则，令，则设点到平面的距离为，则故直线到平面的距离为.故选：D.8．C【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故选：C.9．AC【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果．【详解】对于A：，与不是共线向量，故A错误；对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；对于C：，∴，故C错误；对于D：，设平面的法向量为，则，取，得，故D正确．故选：AC．10．BC【分析】连接，，取上靠近的四等分点，连接，，，说明点的轨迹为线段，即可判断A；根据即可判断B；根据线面平行的判定定理即可判断C；求出及点到平面的距离，进而可求出线面角，即可判断D.【详解】如图，连接，，取上靠近的四等分点，连接，，，因为，，所以，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为面平面，平面平面，平面平面，所以，又平面，平面，所以平面，由题知平面，所以点的轨迹为线段，由，在等腰中，当时线段的长度最小，且，故A错误；对于B，∵为定值，到平面的距离等于平面的距离，即，由等体积法，∴，故三棱锥的体积为定值，B正确；对于C，因为，平面，平面，所以平面，C正确；对于D，，则，即，点到平面的距离为4，故直线与平面所成角的正弦值为，D错误．故选：BC.

11．BCD【分析】对于ABD，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可，对于C，延长交于点，连接交于点，然后利用三角形相似可求得结果.【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，因为E，F，G分别为棱，，CD的中点，所以，对于A，因为，所以，所以A错误，对于B，因为，所以，所以，即，因为，平面，所以平面，所以B正确，对于C，延长交于点，连接交于点，因为F为棱的中点，所以，因为，所以，所以，因为‖，所以，所以,因为，所以，所以，所以C正确，

对于D，设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以点到平面BEF的距离为，所以D正确，故选：BCD

12．ACD【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABC选项；分析可知平面可与平面平行或重合，作出截面图形，可判断D选项.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、、、，对于A选项，，，，所以，，，所以，，，又因为，、平面，因此，平面，A对；对于B选项，设平面的法向量为，，，则，取，可得，又因为，则点到平面的距离为，B错；对于C选项，易知平面的一个法向量为，，所以，平面和底面所成角的余弦值为，C对；对于D选项，取三棱锥，则，且、、两两垂直，易知点在平面内的射影为等边的中心，设、、与平面所成的角分别为、、，设点到平面的距离为，则，，，所以，，又因为、、，故，即、、与平面所成角相等，因为正方体每条棱所在直线与平面所成的角都相等，若平面与平面平行或重合时，平面截此正方体所得截面的图形如下面两幅图所示，截面分别为三角形、六边形，

则平面与此正方体的截面图形只能为三角形或六边形，若平面在其它位置且与正方体各棱所在直线所成角相等时，同理可知，平面与此正方体的截面图形只能为三角形或六边形，D对.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.13．/【分析】由列方程，化简求得的值.【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∵，不共线，∴，∴，∴.故答案为：14．【分析】由投影向量的定义结合向量数量积的坐标运算和向量模的坐标运算求解.【