广东省陆丰市甲子中学2023年高三第一次高考适应性统考数学试题试卷（理工类）

广东省陆丰市甲子中学2023年高三第一次高考适应性统考数学试题试卷（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列对任意的有成立，若，则等于（）A． B． C． D．2．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A． B．C． D．3．设命题p:>1,n2>2n,则p为（）A． B．C． D．4．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（）A．56 B．72 C．88 D．406．函数的图象大致是（）A． B．C． D．7．函数的大致图象是（）A． B．C． D．8．已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（）A．5 B．11 C．20 D．259．若，则下列关系式正确的个数是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．410．已知点是双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．211．如图，在正四棱柱中，，分别为的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则()A．直线与直线异面，且 B．直线与直线共面，且C．直线与直线异面，且 D．直线与直线共面，且12．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若，则实数的取值范围为__________．14．已知向量，且，则实数的值是__________．15．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____．16．已知函数是定义在上的奇函数，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的值域为A，且，求a的取值范围.18．（12分）如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．19．（12分）据《人民网》报道，美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.据统计，中国新增绿化面积的来自于植树造林，下表是中国十个地区在去年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷地区造林总面积造林方式人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区新封山育林面积占造林总面积的比值超过的概率；（3）在这十个地区中，从退化林修复面积超过一万公顷的地区中，任选两个地区，记X为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求X的分布列及数学期望.20．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．21．（12分）已知函数f(x)=ex-x2-kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．（1）求实数k的取值范围；（2）证明：f(x)的极大值不小于1．22．（10分）已知曲线的参数方程为为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知，则，所以有，，，，两边同时相加得，又因为，所以.故选：【点睛】本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.2、C【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：，故选：C【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.3、C【解析】根据命题的否定，可以写出：，所以选C.4、C【解析】

设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，代入得：.由根与系数的关系得，，所以.又直线CD的方程为，同理，所以，所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得.所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.5、B【解析】

，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【详解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.6、A【解析】

根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果.【详解】当时，，由在递增，所以在递增又是增函数，所以在递增，故排除B、C当时，若，则所以在递减，而是增函数所以在递减，所以A正确，D错误故选：A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题.7、A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正确答案.【详解】解：当时，，，所以，故可排除B，C；当时，，故可排除D．故选：A．【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．8、D【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，，中最大，最小，又，，为三角形的三边长，且最大内角为，由余弦定理得，设首项为，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前项和.故的最大值为.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.9、D【解析】

a，b可看成是与和交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.【详解】令，，作出图象如图，由，的图象可知，，，②正确；，，有，①正确；，，有，③正确；，，有，④正确.故选：D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.10、A【解析】

设点的坐标为，代入椭圆方程可得，然后分别求出点到两条渐近线的距离，由距离之积为，并结合，可得到的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为，有，得.双曲线的两条渐近线方程为和，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，所以，则，即，故，即，所以.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.11、B【解析】

连接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性质可知，直线与直线共面.，同理易得，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线与所成角为，然后再利用余弦定理求解.【详解】如图所示：连接，，，，由正方体的特征得，所以直线与直线共面.由正四棱柱的特征得，所以异面直线与所成角为.设，则，则，，，由余弦定理，得.故选：B【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.12、C【解析】

判断出已知条件中双曲线的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°，双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为，B选项渐近线为，C选项渐近线为，D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

画图分析可得函数是偶函数，且在上单调递减，利用偶函数性质和单调性可解.【详解】作出函数的图如下所示，观察可知，函数为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，故，故实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论：(1)如果函数是偶函数，那么．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．14、【解析】∵=（1，2），=（x，1），则=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4），=2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3），∵∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）=1，解得：x=．点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得，然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=1，∥⇔a1b2﹣a2b1=1．15、【解析】

利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.【详解】解：复数为纯虚数,解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.16、【解析】

先利用辅助角公式将转化成,根据函数是定义在上的奇函数得出,从而得出函数解析式,最后求出即可.【详解】解:,又因为定义在上的奇函数,则,则,又因为,所以,,所以.故答案为:【点睛】本题考查三角函数的化简,三角函数的奇偶性和三角函数求值,考查了基本知识的应用能力和计算能力,是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）【解析】

（1）分类讨论去绝对值即可；（2）根据条件分a＜﹣3和a≥﹣3两种情况，由[﹣2，1]⊆A建立关于a的不等式，然后求出a的取值范围.【详解】（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|x+1|.∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴当x≤﹣1时，原不等式可化为﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；当时，原不等式可化为x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此时不等式无解；当时，原不等式可化为x+1≤2x，∴x≥1，综上，原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥1}.（2）当a＜﹣3时，，∴函数g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≤﹣5；当a≥﹣3时，，∴函数g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.∵[﹣2，1]⊆A，∴，∴a≥﹣1，综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最小值为9，.【解析】

（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的，再由离心率可求得，从而得值，得标准方程；（Ⅱ）设直线方程为，设，把直线方程代入抛物线方程，化为的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得，同理求得点的横坐标，于是可得，将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值.【详解】（Ⅰ）∵椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，∴，又∵椭圆的离心率是，∴，，∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）过点的直线的方程设为，设，，联立得，∴，，∴．过且与直线垂直的直线设为，联立得，∴，故，∴，面积．令，则，，令，则，即时，面积最小，即当时，面积的最小值为9，此时直线的方程为．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困难题.19、（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省；（2）；（3）分布列见详解，数学期望为【解析】

（1）通过数据的观察以及计算人工造林面积与造林总面积比值，可得结果.（2）通过数据的观察以及计算新封山育林面积与造林总面积比值，得出比值超过的地区个数，然后可得结果.（3）计算退化林修复面积超过一万公顷的地区中选两个地区总数，退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数为，列出所有取值并计算相应概率，然后可得结果.【详解】（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.（2）记事件A：在这十个地区中，任选一个地区，该地区新封山育林面积占总面积的比值超过根据数据可知：青海地区人工造林面积占总面积比超过，则（3）退化林修复面积超过一万公顷有6个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、新疆，其中退化林修复面积超过六万公顷有3个地区：内蒙、河北、重庆，所以X的取值为0，1，2所以，，随机变量X的分布列如下：【点睛】本题考查数据的处理以及离散型随机变量的分布列与数学期望，审清题意，细心计算，属基础题.20、（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）连结AC交BD于点O，连结OE，利用三角形中位线可得AP∥OE，从而可证AP∥平面EBD；（2）先证明BD⊥平面PCD，再证明PC⊥平面BDE，从而可证BE⊥PC．【详解】证明：（1）连结AC交BD于点O，连结OE因为四边形ABCD为平行四边形∴O为AC中点，又E为PC中点，故AP∥OE，又AP平面EBD，OE平面EBD所以AP∥平面EBD

；（2）∵△PCD为正三角形，E为PC中点所以PC⊥DE