福建省闽侯市第六中学2023年数学高二上期末复习检测试题含解析

福建省闽侯市第六中学2023年数学高二上期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（）A.1 B.C. D.2．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的方程为（）A. B.C. D.3．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为（）A.1 B.C. D.4．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.5．已知点是椭圆上的一点，点，则的最小值为A. B.C. D.6．在中，内角的对边分别为，若，则角为A. B.C. D.7．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元8．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（）A.16 B.8C.2 D.19．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{an}中，，公和为5，则（）A.2 B.﹣2C.3 D.﹣310．若直线与平行，则m的值为（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.111．若椭圆的短轴为,一个焦点为,且为等边三角形的椭圆的离心率是A. B.C. D.12．设点P是双曲线，与圆在第一象限的交点，、分别是双曲线的左、右焦点，且，则此双曲线的离心率为（）A. B.C. D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在下列所示电路图中，下列说法正确的是____(填序号)（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；（4）如图④所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件14．一个质地均匀的正四面体，其四个面涂有不同的颜色，抛掷这个正四面体一次，观察它与地面接触的颜色得到样本空间{红，黄，蓝，绿}，设事件{红，黄}，事件{红，蓝}，事件{黄，绿}，则下列判断：①E与F是互斥事件；②E与F是独立事件；③F与G是对立事件；④F与G是独立事件．其中正确判断的序号是______（请写出所有正确判断的序号）15．等差数列的前n项和分别为，若对任意正整数n都有，则的值为___________.16．在平面直角坐标系中，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.18．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，（1）求，；（2）已知，，试比较，的大小19．（12分）已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）设为的导数，若方程的两根为，且，当时，不等式对任意的恒成立，求正实数的最小值.20．（12分）要设计一种圆柱形、容积为500mL的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？21．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角正弦值.22．（10分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且，，成等比数列(1)求的通项公式(2)求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由题设及椭圆方程可得，即可求参数a的值.【详解】由题设易知：椭圆参数，即有，可得故选：A2、C【解析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程【详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，点被圆所截得的弦最短，此时，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，故选：C.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键3、B【解析】先证明点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】因为平面平面，所以A1C1//平面ACD1，则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离.建立如图所示的空间直角坐标系，易知＝(0,0,1)，由题得平面,所以平面,所以,同理,因为平面，所以平面，所以是平面一个法向量，所以平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)，故所求的距离为.故选：B【点睛】方法点睛：求点到平面的距离常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法；（3）等体积法.要根据已知条件灵活选择方法求解.4、D【解析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围.【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：，故选：D5、D【解析】设，则，.所以当时，的最小值为.故选D.6、A【解析】因为，那么结合，所以cosA==，所以A=，故答案为A考点：正弦定理与余弦定理点评：本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题.7、D【解析】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，由题意得出的递推关系，变形构造出等比数列，由得其通项公式后可得结论【详解】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，，、同理可得，所以，而，所以数列是等比数列，公比为，所以，，总利润为故选：D【点睛】思路点睛：本题考查数列的实际应用．解题方法是用数列表示月初进货款，得出递推关系，然后构造等比数列求解8、C【解析】根据双曲线的渐近线方程的特点，结合虚轴长的定义进行求解即可.【详解】因为双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，所以，因此该双曲线的虚轴长为，故选：C9、C【解析】利用已知即可求得，再利用已知可得：，问题得解【详解】解：根据题意，等和数列{an}中，，公和为5，则，即可得，又由an﹣1+an＝5，则，则3；故选C【点睛】本题主要考查了新概念知识，考查理解能力及转化能力，还考查了数列的周期性，属于中档题10、C【解析】利用两直线平行的判定有，即可求参数值.【详解】由题设，，可得或.经验证不重合，满足题意，故选：C.11、B【解析】因为为等边三角形,所以.考点：椭圆的几何性质.点评：椭圆图形当中有一个特征三角形，它的三边分别为a,b,c.因而可据此求出离心率.12、C【解析】根据几何关系得到是直角三角形，然后由双曲线的定义及勾股定理可求解.【详解】点到原点的距离为，又因为在中，，所以是直角三角形，即.由双曲线定义知，又因为，所以.在中，由勾股定理得，化简得，所以.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、（1）（2）（3）【解析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件【详解】（1）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件，选项（1）正确.（2）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件，选项（2）正确.（3）开关闭合，灯泡亮；而灯泡亮时，开关必须闭合，所以开关闭合是灯泡亮的充要条件，选项（3）正确.（4）开关闭合，灯泡不一定亮；而灯泡亮时，开关不一定闭合，所以开关闭合是灯泡亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.故答案为（1）（2）（3）.14、②③【解析】由对立和互斥事件的定义判断①③；由独立事件的性质判断②④.【详解】{红}，则E与F不是互斥事件；且，则F与G是对立事件；，则E与F是独立事件；，，则F与G不是独立事件故答案为：②③15、##0.68【解析】利用等差数列求和公式与等差中项进行求解.【详解】由题意得：，同理可得：，所以故答案为：16、【解析】直线与椭圆相交，求交点，利用列式求解即可.【详解】联立方程得，因为，所以,即，所以，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）设出椭圆方程，根据题意得出关于的方程组，从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意设出直线方程，并与椭圆方程联立消元，根据直线与椭圆方程有两个不同交点，利用即可求出m取值范围；（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，根据题意把所证问题转化为证明k1+k2=0即可.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意可得，解得，∴椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，，所以设直线的方程为，由消元，得∵直线l与椭圆交于A，B两个不同点，所以，解得，所以m的取值范围为.（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可，设，由（Ⅱ）可知，则，由，而，，故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.18、（1），；（2）.【解析】(1)设等差数列的公差，等比数列的公比，由已知列式计算得解.(2)由(1)的结论，用等比数列前n项和公式求出，用裂项相消法求出，再比较大小作答.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，，整理得：，解得，所以，.【小问2详解】由(1)知，，数列是首项为，公比为的等比数列，则，，，则，用数学归纳法证明，，①当时，左边，右边，左边>右边，即原不等式成立，②假设当时，不等式成立，即，则，即时，原不等式成立，综合①②知，，成立，因此，，即，所以.19、（1）（2）1【解析】（1）先求导数，根据导数的几何意义可求得切线方程；（2）将已知方程结合其两根，进行变式，求得，利用该式再将不等式变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解.【小问1详解】由题意可得，所以切点为，则切线方程为：.【小问2详解】由题意有：，则，因为分别是方程的两个根，即.两式相减，则，则不等式，可变为，两边同时除以得，，令，则在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，则，①当，即时，在上恒成立，则在上单调递增，又，则在上恒成立；②当，即时，当时，，则在上单调递减，则，不符合题意.综上：，所以的最小值为1.20、当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.【解析】设圆柱底面半径为cm，高为cm，圆柱表面积为Scm2，进而根据体积得到，然后求出表面积，进而运用导数的方法求得表面积的最小值，此时成本最小.【详解】设圆柱底面半径为cm，高为cm,圆柱表面积为Scm2,每平方厘米金属包装造价为元，由题意得：，则，表面积造价，，令，得，令，得，的单调递减区间为，递增区间为，当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果【详解】（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系由已知得取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得，可取所以．由已知得所以．解得(舍去)，所以又，所以所以与平面所成角的正弦值为【点睛】利用