计算机组成原理课件2 12

第二章运算方法与运算器

22.1数制与编码2.1.1进位计数制及其相互转换回顾与复习1、数制任意一个数（N）R＝an－1an－2…a1a0.a－1a－2…a－m的按权展开式为：（N）R＝an－1Rn-1＋an－2Rn-2＋…＋a0R0＋a-1R-1＋…＋a－mR-m①R为基数，表示数列中各位数字ai的取值范围是0～R－1，并且计数规则是“逢R进一”②ai为系数，代表第i位的一个数码，可以是0～R-1中任意一个；③Ri

为第i位的权值。基数和权值是任意进位计数制中两个重要的基本因素。3常见的进位计数制有：二、八、十、十六进制等。

基数基本取值规则后缀表示形式二进制20，1逢二进一B（1010.0010）2或1010.0010B八进制80，1…，7逢八进一O或Q（317.061）8或317.061Q或317.061O

十进制100，1…，9逢十进一D或省略（2549.57）10或2569.57D或2569.57

十六进制160，1…，F

逢十六进一

H

（24AE.F）16或24AE.FH

42、各种进制数之间的转换1）任意进制十进制方法：按权展开然后相加例：将（101101.0011）2转换成十进制数。解：（101101.0011）2＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＋0×2－1＋0×2－2＋1×2－3＋1×2－4＝45.18755２）十进制

任意进制整数部分：除基取余小数部分：乘基取整例：将十进制数98.375转换成二进制数。解：整数部分

298余数

2490最低位

2241212026023021101最高位整数部分（98）10＝（1100010）260.375×2整数

0.750最高位

×21.510.5×21.01最低位故小数部分（0.375）10＝（0.011）2所以（98.375）10＝（1100010.011）273）二、八、十六进制间的转换例：（1101011.1101）2=（153.64）8=（6B.D）16例：将十六进制数（2B.6）16转换成八进制数。解：（2B.6）16=（00101011.0110）2=（053.30）8

任意进制数之间的转换可以用十进制或二进制进行中转。82.1.2机器数的表示机器数无符号数有符号数原码补码反码移码9真值、原码、反码、补码的转换10例如：当X＝＋0.1100[X]原＝0.1100[X]反＝0.1100[X]补＝0.1100

当X＝－1100[X]原＝11100[X]反＝10011[X]补＝1010011当X＝0时，[＋0.0000]原＝0.0000[－0.0000]原＝1.0000当X＝0时，[＋0.0000]反＝0.0000[－0.0000]反＝1.1111当X＝0时，[＋0.0000]补＝0.0000[－0.0000]补＝0.0000原码、反码“0”的表示形式不唯一。补码“0”只有一种表示形式。12移码表示法小数移码：[X]移＝1＋X1＞X≥－1整数移码：[X]移＝2n＋X2n＞X≥－2nX为真值，n为整数的位数。移码表示是将真值X在数轴上正向平移1（小数）或2n（整数）后得到的。13例：（1）当X＝＋10101，求[X]移。解：[X]移＝2n＋X＝25＋X＝100000＋10101＝110101[X]补＝010101

（2）当X＝－0.10101，求[X]移。解：[X]移＝1＋X＝1－0.10101＝0.01011[X]补＝1.01011移码和补码的符号位相异。当X＝0时，[＋0.00…0]移＝1＋X＝1＋0.00…0＝1.00…0[－0.00…0]移＝1＋X＝1－0.00…0＝1.00…0“0”的移码的表示形式也是唯一的。14例：设机器字长为8位，其中包含一位符号位，对于整数，当其分别代表无符号数、原码、补码、反码和移码时，对应的真值范围各位多少？解：下表列出了8位机器字长所对应的所有的二进制代码，当其分别代表无符号数、原码、补码、反码和移码时，所对应的真值（用十进制数表示）。15二进制代码无符号数对应的真值原码对应的真值补码对应的真值反码对应的真值移码对应的真值000000000+00+0－128000000011＋1＋1＋1－127000000102＋2＋2＋2－126………………01111111127＋127＋127＋127－110000000128－0－128－127010000001129－1－127－126＋1………………11111110254－126－2－1＋12611111111255－127－1－0＋12716结论：1、补码和移码只有一个“0”，原码和反码有“＋0”和“－0”之分。2、8位无符号数对应的真值的表示范围是0～255；原码、反码对应的真值的表示范围是－127～＋127；补码、移码对应的真值的表示范围是－128～＋127。3、补码和移码表示范围比原码和反码多一个负数。172.1.3十进制数的二进制编码

计算机能处理十进制数，而十进制数在计算机内是采用二进制数码编码的。 用二进制数码表示十进制数称为二进制编码的十进制数（Binary-CodedDecimal），简称BCD码。 一位十进制数需要4位二进制数进行编码。181、8421码特点：①有权编码，十进制数D＝8b3＋4b2＋2b1＋1b0。②8421码与所对应的十进制数之间符合二进制和十进制数相互转换的规则，简单直观。③编码中不许出现1010～1111。例：（258.27）10=(001001011000.00100111)8421(10010101.01110010)8421=(95.72)10192、2421码特点：①有权编码，十进制数D＝2b3＋4b2＋2b1＋1b0。②是对9的自补码。即某数的2421码，只要按自身取反，就能得到该数对9的补码的2421码。例如：4的2421码是0100，4对9的补码是5，而5的2421码是1011，即4的2421码自身按位取反可得到5的2421码。③编码中不许出现0101～1010。203、余三码 从二进制编码序列中选取0011～1100对应表示十进制数的0～9。 若将二进制代码按二进制数转换成十进制数，其值比相应的十进制数多3，所以称为余三码。特点：①无权编码。②也是对9的自补码。③不许出现0000～0010、1101～1111。21十进制数的二进制编码表十进制数8421码2421码余三码0000000000011100010001010020010001001013001100110110401000100011150101101110006011011001001701111101101081000111010119100111111100未选用的编码1010～11110101～10100000～00101101～1111222.1.4非数值数据的表示

机器内除了数值信息之外，还有数字、字母、通用符号、控制符号等字符信息、逻辑信息、图形、图像、语音等信息，称为非数值数据。这些信息进入计算机后都转变成“0”、“1”表示的二进制编码。1、逻辑数据特点：（1）逻辑数中的“0”和“1”不代表值的大小，仅代表一个命题的真与假、是与非等逻辑关系；（2）没有符号问题。各位之间相互独立，没有位权和进位问题；（3）只能参加逻辑运算，并且按位进行。232、字符与字符串 字符是非数值数据的基础，字符与字符串数据是计算机中用的最多的非数值型数据。在使用计算机的过程中，人们需要利用字符与字符串编写程序、表示文字及各类信息，以便与计算机进行交流。（1）字符编码 对字符按一定规则进行二进制进行编码。广泛采用的是美国国家信息交换标准代码(AmericanStandardCodeforInformationInterchange)，简称ASCII码。（2）字符串的表示 字符串数据是指连续的一串字符。通常一个字符串需要占用主存中多个连续的字节进行存放。24字符串的存储形式（单字节存储器）：25多字节存储器存储形式：字符串中的字符从低位字节向高位字节顺序存放；字符串中的字符从高位字节向低位字节顺序存放。例：设主存字长为32位，将字符串“HOWAREYOU?”按从高位字节向低位字节的顺序和从低位字节向高位字节的顺序存放到主存中。解：这一字符串包括空格在内共有12个字符。48H4FH57H20H41H52H45H20H59H4FH55H3FH3210A+0A+4A+820H57H4FH48H20H45H52H41H3FH55H4FH59H3210A+0A+4A+8从高到低从低到高263、汉字编码计算机处理汉字要比处理英文字符更加复杂。 在计算机中使用汉字时，需要涉及汉字的输入、存储、处理、输出等各方面的问题。（1）汉字输入码①拼音码②字形码③数字编码④整字编码（2）国标码汉字信息交换的一个通用的标准。国标码规定每个汉字或图像符号都用两个连续的字节表示，每个字节只使用最低七位，两个字节的最高位均为0。27（3）汉字内码汉字内码是汉字在计算机内用于存储、检索、交换的信息代码。将国标码两个字节最高位改为1。如“啊”的国标码为0011000000100001，汉字内码为1011000010100001。（4）汉字字形码用0、1表示汉字的字形，将汉字放入n行×ｎ列的正方形内，该正方形共有n2个小方格，每个小方格用一位二进制表示，凡是笔画经过的方格值为1，未经过的值为0。284、UnicodeUnicode是一种在计算机上使用的字符编码。 它为每种语言中的每个字符设定了统一并且唯一的二进制编码，以满足跨语言、跨平台进行文本转换、处理的要求。

Unicode于1990年开始研发，1994年正式公布。 在Unicode体系中，每个字符和符号被赋予一个永久、唯一的16位值，即码点。Unicode体系中共有65536个码点，可以表示65536个字符。292.1.5数据信息的校验1、奇偶校验奇校验：校验码（包括信息位和校验位）中1的个数为奇数。偶校验：校验码中1的个数为偶数。例：信息位奇校验码偶校验码

00000000

100000000

000000000

01010100

001010100

101010100

01111111

001111111

101111111

11111111

111111111

011111111其中，最高一位为校验位，低八位为信息位。30优点：实现简单方便。缺点：只能发现出错，不能找出错误的具体位置；检测不了偶数位同时出错的情况。312、海明校验由RichardHamming（理查德·海明）于1950年提出。不仅能检测错误，还能指出错误所在位置。（1）校验位的位数 设海明码为N位，信息位为k位，校验位为r位。应满足如下关系：2r≥k+r+1信息位k值校验位r值122~435~11412~26527~57658~120732（2）海明码的编码方法①将k位信息位和r位校验位，构成k＋r位的海明校验码。设校验码各位编码的位号按从左向右（或从右向左）的顺序从1到k＋r排列，规定校验位所在的位号分别为2i，i＝0，1，2，…，r－1，信息位按照原来的编码顺序依次安排在其他的位号中。设ASCII码的有效信息位为b1b2b3b4b5b6b7。若k＝7，则r＝4，海明校验码为7＋4＝11位。4个校验位分别位于位号为2i的位置上，即位号为20、21、22、23的位置上。设校验位为p1、p2、p3、p4，有效校验位b1b2b3b4b5b6b7依次排列在其余位上。位号：1234567891011编码：p1p2b1p3b2b3b4p4b5b6b733②将r个校验位分成r组进行奇偶校验，每个有效信息位都被2个或2个以上的校验位校验。 有效信息位被哪些校验位校验的规则：被校验的信息位位号等于校验它的校验位的位号之和。例：b3的位号是6，6＝2＋4，所以b3应被p2和p3所校验；b7位号是11，11＝1＋2＋8，所以b7应被p1、p2和p4所校验。依此类推。。。34

由上图可知，每个校验位校验着哪些信息位，也可以看出校验组的分组情况，每一组包含了一个校验位。p1：b1、b2、b4、b5、b7（校验位p1可以校验信息位b1、b2、b4、b5、b7）（第一组）p2：b1、b3、b4、b6、b7（校验位p2可以校验信息位b1、b3、b4、b6、b7）（第二组）p3：b2、b3、b4（校验位p3可以校验信息位b2、b3、b4）（第三组）p4：b5、b6、b7（校验位p4可以校验信息位b5、b6、b7）（第四组）35③根据分组情况，按奇偶校验原理，求出各个校验位，形成海明校验码。偶校验方法：p1＝b1⊕b2⊕b4⊕b5⊕b7p2＝b1⊕b3⊕b4⊕b6⊕b7p3＝b2⊕b3⊕b4p4＝b5⊕b6⊕b7奇校验方法：p1＝b1⊕b2⊕b4⊕b5⊕b7⊕1p2＝b1⊕b3⊕b4⊕b6⊕b7⊕1p3＝b2⊕b3⊕b4⊕1p4＝b5⊕b6⊕b7⊕136例：编制ASCII字符X的偶校验的海明码。解：X的ASCII码为1011000，其偶校验海明码的校验位分别为：p1＝b1⊕b2⊕b4⊕b5⊕b7＝10100＝0p2＝b1⊕b3⊕b4⊕b6⊕b7＝11100＝1p3＝b2⊕b3⊕b4＝011＝0p4＝b5⊕b6⊕b7＝000＝0则字符X的偶校验的海明码：。同理求得其奇校验的海明码为：10110111000。37（3）海明码的校验以上述7位ASCII码为例，校验时，分四组进行校验。按偶校验的海明码求指误字E4E3E2E1：E1＝p1⊕b1⊕b2⊕b4⊕b5⊕b7E2＝p2⊕b1⊕b3⊕b4⊕b6⊕b7E3＝p3⊕b2⊕b3⊕b4E4＝p4⊕b5⊕b6⊕b7按奇校验的海明码求指误字E4E3E2E1：E1＝p1⊕b1⊕b2⊕b4⊕b5⊕b7⊕1E2＝p2⊕b1⊕b3⊕b4⊕b6⊕b7⊕1E3＝p3⊕b2⊕b3⊕b4⊕1E4＝p4⊕b5⊕b6⊕b7⊕1若E4E3E2E1＝0000，则无错误；若E4E3E2E1≠0000，则其所对应的十进制值可以指明所接收到的11位海明校验码中出错的位号。38例：已知ASCII字符X的偶校验的海明码为。设接收到的代码是和，分别写出校验后得到的指误字并判别出错位置。解：①若接收到的代码是，则指误字E4E3E2E1分别为：E1＝p1⊕b1⊕b2⊕b4⊕b5⊕b7＝0⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1＝0E2＝p2⊕b1⊕b3⊕b4⊕b6⊕b7＝1⊕1⊕1⊕1⊕0⊕0＝0E3＝p3⊕b2⊕b3⊕b4＝0⊕0⊕1⊕1＝0E4＝p4⊕b5⊕b6⊕b7＝0⊕0⊕0⊕1＝0即E4E3E2E1＝0000，说明接收到的海明校验码没有错误。②若接收到的代码是，则指误字E4E3E2E1分别为：E1＝p1⊕b1⊕b2⊕b4⊕b5⊕b7＝0⊕1⊕0⊕0⊕1⊕1＝1E2＝p2⊕b1⊕b3⊕b4⊕b6⊕b7＝1⊕1⊕1⊕0⊕0⊕0＝1E3＝p3⊕b2⊕b3⊕b4＝0⊕0⊕1⊕0＝1E4＝p4⊕b5⊕b6⊕b7＝0⊕0⊕0⊕1＝0即E4E3E2E1＝0111，说明接收到的海明校验码的第7位出错，将其取反即可。393、循环冗余校验码（CyclicRedundancyCheck，CRC）适用于串行传送方式的领域中。如：磁介质存储器与主机之间的信息传输；计算机之间的通信；网络通信等。CRC码是基于模2运算的校验码。40特点：不考虑进位和借位的运算。①模2加减：即按位加，可用异或逻辑实现。0±0=00±1=11±0=11±1=0。②模2乘：按模2加的规则求部分积之和，计算时不进位。

1010

×

101

1010

0000

1010

10001041③模2除：按模2减（加）求部分余数，计算时不借位。上商的原则是：当部分余数（首次是被除数）的最高位为1时，则上商为1；当部分余数最高位为0时，则上商为0。每求一位商应使部分余数减少一位。当部分余数的位数小于除数的位数时，该余数即为最后余数。42

110110110011101110011010010000001010000101100143（1）CRC编码方法将待编码的k位有效信息位表示为多项式：M(x)＝Ck-1xk-1+Ck-2xk-2+…+Cixi+…+C1x1+C0x0将信息位左移r位，即M(x)·xr

，就可以空出初值为０的r个校验位。CRC码是用k个数据位拼接上r个校验位得到的。设G(x)为生成多项式（特定的一个多项式），余数为R(x)（校验位），商为Q(x)，则：M(x)·xr/G(x)=Q(x)+R(x)/G(x)并推导出：M(x)·xr+R(x)=[Q(x)·G(x)+R(x)]+R(x)

=[Q(x)·G(x)]+[R(x)+R(x)]

=Q(x)·G(x)

即CRC码是一个可被G(x)数码除尽的数码。44例：设生成多项式为G(x)=x3+x+1，将4位有效信息位1100编成7位CRC码。解：生成多项式G(x)=x3+x+1=1011，有效信息M(x)=1100=x3+x2

(k=4)M(x)·x3=x6+x5=1100000；

M(x)·x3/G(x)=1100000/1011=1110+010/1011

即余数R(x)（校验位）为010。

M(x)·x3+R(x)=1100000+010=1100010∴有效信息位1100的7位CRC码为1100010。45在CRC码中，由k位信息位和r位校验位构成k＋r位编码，称为（k＋r，k）码。在若k＝4，k＋r＝7，则称（7，4）码。（7，4）码为码制，还可以有（7，3）码制和（7，6）码制等。46（2）CRC的译码与纠错将收到的CRC码用G(x)去除，如果无错余数应为0；如有某一位出错，则余数不为0；不同数位出错余数会不同。如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去,则各次余数将按下表中的内容顺序循环。47A1A2A3A4A5A6A7余数出错位正确1

1

0

0

0

1

0000无错误11

0

00

1

1

1

1

0

00

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0001

010

100

011

110

111

1017

6

5

4

3

2

148并不是任何一个r次的多项式都可以作为生成多项式。要求：任何一位发生错误应当使余数不为0；不同位发生错误应当使余数不同；对余数继续作模2除，应使余数循环。2.2机器数的定点表示和浮点表示502.2.1定点数的表示定点数的格式定点整数（小数点约定在最低位的右边，最高位为符号位）

2.定点小数（最高位为符号位，小数点约定在符号位的右边）说明：小数点的位置仅是一种约定，计算机内并无专门的器件来表示它。XnXn-1……X0XnXn-1……X051定点数的表示范围：编码方式定点小数定点整数最小数最大数最小数最大数原码－（1－2-n）1－2-n－（2n－1）2n－1反码－（1－2-n）1－2-n－（2n－1）2n－1补码－11－2-n－2n2n－1移码－11－2-n－2n2n－1522.2.2浮点数的表示定点数和浮点数的比较定点数表示数的范围比较小，运算容易发生溢出；浮点数表示数的范围比较大，运算不容易发生溢出且精度高