关于enordalsvenkeesan的进一步研究

关于enordalsvenkeesan的进一步研究

正交*-半组的概念由t.e.nordahl和h.e.scheiblih给出，m.yama和t.imarka进行了进一步研究。左后半组和左后半组由p.s.ventisan研究。本文给出了π*-半群的概念,证明了π*-半群是正则半群;π*-半群可以不是纯正半群,当然,可以不是右逆半群;π*-半群可以不是弱正则*-半群,当然,可以不是正则*-半群;证明了存在π*-半群无法重新定义*运算使之成为弱正则*-半群.本文未给出的概念、符号见文献1正则型半群设S是半群,E(S)为S的幂等元集,V(a)为a的逆元集.定义1.1正则半群S称为右逆半群(左逆半群),如果E(S)是左正则带(右正则带)即∀e、f∈E(S)满足efe=ef(efe=fe).定义1.2如果一个半群S上有一个一元运算*:S→S,对∀a、b∈S,它满足:(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(ab)*=b*a*.则称S是正则*-半群.在正则*-半群S中,a*aa*=((a*aa*)*)*=(aa*a)*=a*.因而a*是a的一个逆元、S是正则半群.定义1.3设S是一个半群,S上有一个一元运算*:S→S,对∀a、b∈S,它满足:(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(aa*bb*)*=bb*aa*.则称S是一个弱正则*-半群.正则*-半群是一个弱正则*-半群.因为当S是正则*-半群时,对∀a、b∈S有(aa*bb*)*=(bb*)*(aa*)*=bb*aa*.定义1.4S是正则半群,E(S)为S的幂等元集.若E(S)为S的子半群,则称S是一个纯正半群.S是一个正则半群.S的幂等元可以交换当且仅当S是逆半群.若S是逆半群,则∀e、f∈E(S)满足efe=ef(efe=fe).所以,一个逆半群是右逆半群.又因为,S是逆半群当且仅当S的每个元素的逆元唯一即可.若S是逆半群,可以令a*=a′,满足定义1.2.S是正则*-半群.定义1.5设S是一个半群,S上有一个一元运算*:S→S,对∀a、b∈S,它满足:(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(ab)*=a*b*.则称S是π*-半群.2特定型各行定义s为弱正则型半群定理2.1一个π*-半群是正则半群;π*-半群可以不是纯正半群,;π*-半群可以不是弱正则*-半群;存在π*-半群无法重新定义*运算使之成为弱正则*-半群.证明:设S是一个π*-半群,则对∀a∈S有aa*a=a.(a*)*=a.而a*∈S所以a*(a*)*a*=a*a*aa*=a*,S是一个正则半群.令S={(1100)‚(1-100)‚(-1100)‚(-1-100)‚(0011)‚(001-1)‚(00-11)‚(00-1-1)}S={(1100)‚(1−100)‚(−1100)‚(−1−100)‚(0011)‚(001−1)‚(00−11)‚(00−1−1)},容易验证S关于矩阵的乘法是封闭的.又因为矩阵的乘法满足结合律,所以,S关于矩阵的乘法构成一个半群.下面观察每个元素的逆元.V((1100))={(1100)‚(1-100)‚(0011)‚(001-1)}V((0011))={(1100)‚(-1100)‚(0011)‚(00-11)}V((1-100))={(1100)‚(1-100)‚(00-11)‚(00-1-1)}V((001-1))={(1100)‚(-1100)‚(001-1)‚(00-1-1)}V((-1-100))={(-1100)‚(-1-100)‚(00-11)‚(00-1-1)}V((-1100),)={(-1100)‚(-1-100)‚(0011)‚(001-1)}V((00-1-1))={(1-100)‚(-1-100)‚(001-1)‚(00-1-1)}V((00-11))={(1-100)‚(-1-100)‚(0011)‚(00-11)}V((1100))={(1100)‚(1−100)‚(0011)‚(001−1)}V((0011))={(1100)‚(−1100)‚(0011)‚(00−11)}V((1−100))={(1100)‚(1−100)‚(00−11)‚(00−1−1)}V((001−1))={(1100)‚(−1100)‚(001−1)‚(00−1−1)}V((−1−100))={(−1100)‚(−1−100)‚(00−11)‚(00−1−1)}V((−1100),)={(−1100)‚(−1−100)‚(0011)‚(001−1)}V((00−1−1))={(1−100)‚(−1−100)‚(001−1)‚(00−1−1)}V((00−11))={(1−100)‚(−1−100)‚(0011)‚(00−11)}注意到每个元素都是自己的逆元.令*:a*=aa∈S,则aa*a=a.(a*)*=a.(ab)*=a*b*由定义1.5可知S是π*-半群.又因为(1100)(00-11)=(-1100)(1100)(00−11)=(−1100),两个幂等元的积不是幂等元.由定义1.4可知,S不是纯正半群.((1100)(1100)(00-11)(00-11))*=(-1100)‚(00-11)(00-11)(1100)(1100)=(00-1-1)((1100)(1100)(00−11)(00−11))*=(−1100)‚(00−11)(00−11)(1100)(1100)=(00−1−1),不满足定义1.3的(3),S不是弱正则*-半群.下面证明在这个半群S上不能重新定义一个*运算使之成为弱正则*-半群.假设有一个*运算使S成为弱正则*-半群,满足定义1.3.对∀a、b∈S有(1)aa*a=a.(2)(a*)*=a.(3)(aa*bb*)*=bb*aa*.令a=b则(aa*)*=aa*,(a*a)*=a*a.若a的第1行元素为0,aa*的第1行元素必为0,若b的第2行元素为0,则bb*的第2行元素必为0,则aa*=(1100)aa*=(1100)或(1-100)‚bb*=(0011)(1−100)‚bb*=(0011)或(00-11)(00−11)当aa*=(1100)‚bb*=(0011)aa*=(1100)‚bb*=(0011)时,(aa*bb*)*=aa*≠bb*aa*=bb*;当aa*=(1100)‚bb*=(00-11)aa*=(1100)‚bb*=(00−11)时,(aa*bb*)*=((-1100))*≠bb*aa*=bb*(aa*bb*)*=((−1100))*≠bb*aa*=bb*;当aa*=(1-100)‚bb*=(00-11)aa*=(1−100)‚bb*=(00−11)时,(aa*bb*)*=aa*≠(00-11)(aa*bb*)*=aa*≠(00−11);当aa*=(1-100)‚bb*=(0011