安徽省黄山市普通高中2023年高二上数学期末监测试题含解析

安徽省黄山市普通高中2023年高二上数学期末监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A. B.C. D.2．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.3．已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线4．若抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.5．已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（）A.1 B.2C.3 D.46．已知随机变量，且，，则为（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27187．在中，已知点在线段上，点是的中点，，，，则的最小值为（）A. B.4C. D.8．直线的倾斜角为（）A. B.C. D.9．已知点是椭圆上的一点，点，则的最小值为A. B.C. D.10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A. B.C. D.11．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A. B.C. D.12．已知数列满足，且，为其前n项的和，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从双曲线上一点作轴的垂线，垂足为，则线段中点的轨迹方程为___________.14．i为虚数单位，复数______15．已知双曲线中心在坐标原点，左右焦点分别为，渐近线分别为，过点且与垂直的直线分别交于两点，且，则双曲线的离心率为________16．已知函数有三个零点，则正实数a的取值范围为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点(不与，重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.18．（12分）已知A，B两地相距200km，某船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h（v＞8）．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元（1）求比例系数k（2）当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？（3）当（x为大于8的常数）时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？19．（12分）如图，已知抛物线的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|·|NF|的最小值20．（12分）设函数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）函数，若对任意的，总存在使得，求实数的取值范围.21．（12分）已知：圆是的外接圆，边所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，直线与圆相切于点.（1）求点和点的坐标；（2）求圆的方程.22．（10分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.（1）求该抛物线的标准方程和的值；（2）若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.【详解】双曲线，，，因为双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，解得，所以，，，.故选：B2、B【解析】构造，通过求导，研究函数的单调性及极值，最值，画出函数图象，数形结合求出实数的取值范围.【详解】令，即，令，当时，，，令得：或，结合，所以，令得：，结合得：，所以在处取得极大值，也是最大值，，当时，，且，当时，，则恒成立，单调递增，且当时，，当时，，画出的图象，如下图：要想有3个零点，则故选：B3、D【解析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D.故选：D4、D【解析】根据抛物线的准线方程，可直接得出抛物线的焦点，进而利用待定系数法求得抛物线的标准方程【详解】准线方程为，则说明抛物线的焦点在轴的正半轴则其标准方程可设为：则准线方程为：解得：则抛物线的标准方程为：故选：D5、D【解析】先确定双曲线的右顶点，再分垂直轴、与轴不垂直两种情况讨论，当与轴不垂直时，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理，再分、两种情况讨论，即可得解【详解】解：根据双曲线方程可知右顶点为，使与有且只有一个公共点情况为：①当垂直轴时，此时过点的直线方程为，与双曲线只有一个公共点，②当与轴不垂直时，可设直线方程为联立方程可得当即时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点，当时，，整理可得即故选：D6、C【解析】根据正态分布的对称性可求概率.【详解】由题设可得，，故选：C.7、C【解析】利用三点共线可得，由，利用基本不等式即可求解.【详解】由点是的中点，则，又因为点在线段上，则，所以，当且仅当，时取等号，故选：C【点睛】本题考查了基本不等式求最值、平面向量共线的推论，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8、D【解析】由直线斜率概念可写出倾斜角的正切值，进而可求出倾斜角.【详解】因为直线的斜率为，所以倾斜角.故选D【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，由斜率的概念，即可求出结果.9、D【解析】设，则，.所以当时，的最小值为.故选D.10、D【解析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，故第四个五边形数为.故选：D.11、A【解析】两直线垂直，斜率之积为，曲线与直线相切，联立方程令.【详解】法一：直线，所以，所以切线的，设切线的方程为，联立方程，所以，令，解得，所以切线方程为.法二：直线，所以，所以切线的，，所以令，所以，带入曲线方程得切点坐标为，所以切线方程为，化简得.故选：A.12、B【解析】根据等比数列的前n项和公式即可求解.【详解】由题可知是首项为2，公比为3的等比数列，则.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解析】根据题意，设，进而根据中点坐标公式及点P已知双曲线上求得答案.【详解】由题意，设，则，则，即，因为，则，即的轨迹方程为.14、【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.【详解】故答案为：.15、【解析】判断出三角形的形状，求得点坐标，由此列方程求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意设双曲线方程为，双曲线的渐近线方程为，右焦点，不妨设.由于，所以是线段的中点，由于，所以是线段的垂直平均分，所以三角形是等腰三角形，则.直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，由解得，则，即，化简得，所以双曲线的离心率为.故答案为：16、【解析】求导易得函数有两个极值点和，根据题意，由求解.【详解】由，可得函数有两个极值点和，，，若函数有三个零点，必有解得或故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；（2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案；（3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，，又因为，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，，，，，，所以，，，因为，，所以，，又，平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，可作为平面的法向量，设平面的法向量因为，.所以，即，不妨设，得.，又由图示知二面角为锐角，所以二面角的正弦值为.（3）设，即，，所以，即，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，即，解得，即.【点睛】本题考查利用空间向量求线面垂直、线面角、二面角的求法，向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取：1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的垂线的交点为原点；2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标；3、求：求出两个面的法向量；4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.18、（1）5（2）8km/h（3）答案见解析【解析】（1）列出关系式，根据当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元即可求解;（2）列出燃料费的函数解析式，利用导数求其最值即可；（3）讨论x的范围，结合（2）的结论可得答案.【小问1详解】设每小时的燃料费为，则当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元，代入得.【小问2详解】由（1）得.设全程燃料费为y，则（），所以,令，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以当时，；当时，，所以当v＝16时，y取得最小值，故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为8km/h【小问3详解】由（2）得，若时，则y在区间上单调递减，当v＝x时，y取得最小值；若时，则y区间（8，16）上单调递减，在区间上单调递增，当v＝16时，y取得最小值；综上，当时，船的实际前进速度为8km/h，全程燃料费最省；当时，船的实际前进速度应为（x－8）km/h，全程燃料费最省19、（1）（2）8【解析】（1）由抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以，即可求得抛物线的方程；（2）设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，得到直线AB的方程为，联立方程，求得，进而求得的坐标，得到的表达式，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：因为抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以，解得，所以抛物线C的方程为【小问2详解】解：由（1）可知焦点为F(1，0)，由已知可得ABCD，所以直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB斜率为k，则直线CD的斜率为，所以直线AB的方程为，联立方程，消去x得，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，因为M(xM，yM)为弦AB的中点，所以，由，得，所以点，同理可得，所以，＝，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为20、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求导，根据导函数的正负性分类讨论进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合导数的性质、（1）的结论、构造函数法分类讨论进行求解即可.【小问1详解】,,①当时，恒成立，在上单调递增.②当时，恒成立，在上单调递减，③当吋，，在单调递减，单调递增.综上所述，当吋，在上单调递增；当时，在上单调递减，当时，在单调递减，单调递增.【小问2详解】由题意可知：在单调递减，单调递增由（1）可知：①当时，在单调递增，则恒成立②当时，在单调递减，则应（舍）③当时，，则应有令，则，且在单调递增，单调递减，又恒成立，则无解综上，.【点睛】关键点睛：运用构造函数法，结合存在性、任意性的定义进行求解是解题的关键.21、（1）A（1,7）,（2）【解析】（1）与的的交点为点D,与的的交点为点A,联立解方程即可得出结果.（2）设圆P的圆心P为，由，，计算求解即可得出点坐标，由求得半径，进而可得出圆的方程.【小问1详解】由题可得：与的的交点为点D,故由，解得：，故与的的交点为点A,，解得：，故A（1，7）【小问2详解】设圆P的圆心P为，由与圆相切于点A，且的斜率为,则即，即，①又圆P为的外接圆，则BC为圆P的弦，又边BC所在直线的科率为,故根据垂径定理，有进而，即②，联立①②，解得：，即故，则圆P的方程为：.22、（1），（2）证明见解析【解析】（1）根据点到焦点的距离等于5，利用抛物线的定义求得p，进而得到抛物线方程，然后将点代入抛物线求解；（2）方法一：设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用数量积的运算求解；方法二：根据直线过点，分