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文档简介
海南省农垦实验中学2023届高三下学期三模数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.定义,已知函数,,则函数的最小值为()A. B. C. D.2.等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱,直角边AE绕斜边AB旋转,则在旋转的过程中,有下列说法:(1)四面体EBCD的体积有最大值和最小值;(2)存在某个位置,使得;(3)设二面角的平面角为,则;(4)AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P,则点P的轨迹为椭圆.其中,正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.43.如图,正四面体的体积为,底面积为,是高的中点,过的平面与棱、、分别交于、、,设三棱锥的体积为,截面三角形的面积为,则()A., B.,C., D.,4.双曲线x2a2A.y=±2x B.y=±3x5.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务,要求是:任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B、任务C不能相邻,则不同的执行方案共有()A.36种 B.44种 C.48种 D.54种6.已知定义在上的奇函数,其导函数为,当时,恒有.则不等式的解集为().A. B.C.或 D.或7.已知角的终边经过点P(),则sin()=A. B. C. D.8.设双曲线的左右焦点分别为,点.已知动点在双曲线的右支上,且点不共线.若的周长的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.9.若,则下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.10.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位:分)进行统计得到折线图,下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,故平均成绩为130分;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间110,120内;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关;④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为()A.4 B.3 C.2 D.111.命题:存在实数,对任意实数,使得恒成立;:,为奇函数,则下列命题是真命题的是()A. B. C. D.12.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知a,b均为正数,且,的最小值为________.14.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是_______.15.设满足约束条件,则的取值范围是______.16.已知内角的对边分别为外接圆的面积为,则的面积为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知中,角,,的对边分别为,,,已知向量,且.(1)求角的大小;(2)若的面积为,,求.18.(12分)已知椭圆C:()的左、右焦点分别为,,离心率为,且过点.(1)求椭圆C的方程;(2)过左焦点的直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,若,求直线l的斜率k.19.(12分)随着科技的发展,网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式,为了了解网购在我市的普及情况,某调查机构进行了有关网购的调查问卷,并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析,从而得到表(单位:人)经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计(1)完成上表,并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关?(2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机选取3人赠送优惠券,求选取的3人中至少有2人经常网购的概率;②将频率视为概率,从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常网购的人数为,求随机变量的数学期望和方差.参考公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)已知分别是椭圆的左焦点和右焦点,椭圆的离心率为是椭圆上两点,点满足.(1)求的方程;(2)若点在圆上,点为坐标原点,求的取值范围.21.(12分)已知函数(1)解不等式;(2)若均为正实数,且满足,为的最小值,求证:.22.(10分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据分段函数的定义得,,则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式,可求得函数的最小值.【详解】依题意得,,则,(当且仅当,即时“”成立.此时,,,的最小值为,故选:A.【点睛】本题考查求分段函数的最值,关键在于根据分段函数的定义得出,再由基本不等式求得最值,属于中档题.2、C【解析】
解:对于(1),当CD⊥平面ABE,且E在AB的右上方时,E到平面BCD的距离最大,当CD⊥平面ABE,且E在AB的左下方时,E到平面BCD的距离最小,∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值,故(1)正确;对于(2),连接DE,若存在某个位置,使得AE⊥BD,又AE⊥BE,则AE⊥平面BDE,可得AE⊥DE,进一步可得AE=DE,此时E﹣ABD为正三棱锥,故(2)正确;对于(3),取AB中点O,连接DO,EO,则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角,为θ,直角边AE绕斜边AB旋转,则在旋转的过程中,θ∈[0,π),∠DAE∈[,π),所以θ≥∠DAE不成立.(3)不正确;对于(4)AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P,P到BC的距离为:dP﹣BC,因为<1,所以点P的轨迹为椭圆.(4)正确.故选:C.点睛:该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征,以几何体为载体,考查相关的空间关系,在解题的过程中,需要认真分析,得到结果,注意对知识点的灵活运用.3、A【解析】
设,取与重合时的情况,计算出以及的值,利用排除法可得出正确选项.【详解】如图所示,利用排除法,取与重合时的情况.不妨设,延长到,使得.,,,,则,由余弦定理得,,,又,,当平面平面时,,,排除B、D选项;因为,,此时,,当平面平面时,,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.4、A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛:已知双曲线方程x2a25、B【解析】
分三种情况,任务A排在第一位时,E排在第二位;任务A排在第二位时,E排在第三位;任务A排在第三位时,E排在第四位,结合任务B和C不能相邻,分别求出三种情况的排列方法,即可得到答案.【详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F,如果任务A排在第一位时,E排在第二位,剩下四个位置,先排好D、F,再在D、F之间的3个空位中插入B、C,此时共有排列方法:;如果任务A排在第二位时,E排在第三位,则B,C可能分别在A、E的两侧,排列方法有,可能都在A、E的右侧,排列方法有;如果任务A排在第三位时,E排在第四位,则B,C分别在A、E的两侧;所以不同的执行方案共有种.【点睛】本题考查了排列组合问题,考查了学生的逻辑推理能力,属于中档题.6、D【解析】
先通过得到原函数为增函数且为偶函数,再利用到轴距离求解不等式即可.【详解】构造函数,则由题可知,所以在时为增函数;由为奇函数,为奇函数,所以为偶函数;又,即即又为开口向上的偶函数所以,解得或故选:D【点睛】此题考查根据导函数构造原函数,偶函数解不等式等知识点,属于较难题目.7、A【解析】
由题意可得三角函数的定义可知:,,则:本题选择A选项.8、A【解析】
依题意可得即可得到,从而求出双曲线的离心率的取值范围;【详解】解:依题意可得如下图象,所以则所以所以所以,即故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于中档题.9、B【解析】
根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A:由于,即,,所以,所以,所以成立;选项B:由于,即,所以,所以,所以不成立;选项C:由于,所以,所以,所以成立;选项D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故选:B.【点睛】本题考查不等关系和不等式,属于基础题.10、C【解析】
利用图形,判断折线图平均分以及线性相关性,成绩的比较,说明正误即可.【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性,最高130分,平均成绩为低于130分,①错误;②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计,估计该同学平均成绩在区间[110,120]内,②正确;③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性,且为正相关,③正确;④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步,故④不正确.故选:C.【点睛】本题考查折线图的应用,线性相关以及平均分的求解,考查转化思想以及计算能力,属于基础题.11、A【解析】
分别判断命题和的真假性,然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题,由于,所以命题为真命题.对于命题,由于,由解得,且,所以是奇函数,故为真命题.所以为真命题.、、都是假命题.故选:A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查函数的奇偶性,考查含有逻辑联结词命题真假性的判断,属于基础题.12、B【解析】
列出循环的每一步,进而可求得输出的值.【详解】根据程序框图,执行循环前:,,,执行第一次循环时:,,所以:不成立.继续进行循环,…,当,时,成立,,由于不成立,执行下一次循环,,,成立,,成立,输出的的值为.故选:B.【点睛】本题考查的知识要点:程序框图的循环结构和条件结构的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
本题首先可以根据将化简为,然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为,所以,当且仅当,即、时取等号,故答案为:.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值,基本不等式公式为,在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况,考查化归与转化思想,是中档题.14、1【解析】
把向量进行转化,用表示,利用基本不等式可求实数的值.【详解】,解得=1.故答案为:1.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用,综合了基本不等式,侧重考查数学运算的核心素养.15、【解析】
作出可行域,将目标函数整理为可视为可行解与的斜率,则由图可知或,分别计算出与,再由不等式的简单性质即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域,显然当时,z=0;当时将目标函数整理为可视为可行解与的斜率,则由图可知或显然,联立,所以则或,故或综上所述,故答案为:【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题,属于简单题.16、【解析】
由外接圆面积,求出外接圆半径,然后由正弦定理可求得三角形的内角,从而有,于是可得三角形边长,可得面积.【详解】设外接圆半径为,则,由正弦定理,得,∴,,.故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理,利用正弦定理求出三角形的内角,然后可得边长,从而得面积,掌握正弦定理是解题关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】试题分析:(1)利用已知及平面向量数量积运算可得,利用正弦定理可得,结合,可求,从而可求的值;(2)由三角形的面积可解得,利用余弦定理可得,故可得.试题解析:(1)∵,,,∴,∴,即,又∵,∴,又∵,∴.(2)∵,∴,又,即,∴,故.18、(1)(2)直线l的斜率为或【解析】
(1)根据已知列出方程组即可解得椭圆方程;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,转化为,借助向量的数量积的坐标表示,及韦达定理即可求得结果.【详解】(1)由题意得解得故椭圆C的方程为.(2)直线l的方程为,设,,则由方程组消去y得,,所以,,由,得,所以,又所以,即所以,因此,直线l的斜率为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查学生的计算求解能力,难度一般.19、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)①;②数学期望为6,方差为2.4.【解析】
(1)完成列联表,由列联表,得,由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关.(2)①由题意所抽取的10名女市民中,经常网购的有人,偶尔或不用网购的有人,由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率.②由列联表可知,抽到经常网购的市民的频率为:,由题意,由此能求出随机变量的数学期望和方差.【详解】解:(1)完成列联表(单位:人):经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表,得:,∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关.(2)①由题意所抽取的10名女市民中,经常网购的有人,偶尔或不用网购的有人,∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为:.②由列联表可知,抽到经常网购的市民的频率为:,将频率视为概率,∴从我市市民中任意抽取一人,恰好抽到经常网购市民的概率为0.6,由题意,∴随机变量的数学期望,方差D(X)=.【点睛】本题考查独立检验的应用,考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法,考查古典概型、二项分布等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20、(1);(2).【解析】
(1)根据焦点坐标和离心率,结合椭圆中的关系,即可求得的值,进而得椭圆的标准方程.(2)设出直线的方程为,由题意可知为中点.联立直线与椭圆方程,由韦达定理表示出,由判别式可得;由平面向量的线性运算及数量积定义,化简可得,代入弦长公式化简;由中点坐标公式可得点的坐标,代入圆
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