2024版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.2对数函数的图象和性质第2课时对数函数的图象和性质二导学案新人教A版必修第一册

第2课时对数函数的图象和性质(二)【学习目标】(1)进一步掌握对数函数的图象和性质．(2)了解反函数的概念和图象特点．题型1反函数【问题探究】在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察两个函数图象的关系．例1已知函数f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(x)的图象过点(5，2)，则a＝________.学霸笔记：(1)现行教材反函数只要求同底数的指数函数与对数函数．(2)互为反函数的两个函数具有相同的单调性，图象关于直线y＝x对称，定义域与值域互换．跟踪训练1已知函数f(x)＝log3x与g(x)的图象关于y＝x对称，则g(－1)＝()A．3B．1C．1D．－1题型2对数型函数的值域(最值)例2已知函数f(x)＝log2(x－4)－log2(x－2)．(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域．题后师说求对数型函数y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的值域(最值)的步骤跟踪训练2已知函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．题型3对数函数性质的综合应用例3已知函数f(x)＝loga(5＋x)－loga(5－x)(a>0，且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明；(3)求使f(x)>0成立的x的取值范围．学霸笔记：对数函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考虑对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提．跟踪训练3设f(x)＝log121-(1)求a的值；(2)证明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．随堂练习1.下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝C．f(x)＝log13xD．f(x)2．函数y＝log3x的反函数为y＝f(x)，则f(2)＝()A．9B．18C．32D．363．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)4．若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a＝________．课堂小结1.与对数函数有关的复合函数的最值或值域．2．与对数函数有关的复合函数的单调性、奇偶性等的判断方法．第2课时对数函数的图象和性质(二)问题探究提示：两个函数图象关于直线y＝x对称．例1解析：因为y＝ax(a>0，a≠1)的反函数为f(x)＝logax(a>0，a≠1)，又f(x)的图象过点(5，2)，所以loga5＝2，a2＝5，即a＝5.答案：5跟踪训练1解析：由题知g(x)是f(x)＝log3x的反函数，所以g(x)＝3x，所以g(－1)＝3－1＝13.故选答案：B例2解析：(1)因为f(x)＝log2(x－4)－log2(x－2)，所以x-4>0x-所以f(x)的定义域为(4，＋∞)．(2)因为f(x)＝log2(x－4)－log2(x－2)＝log2x-4x-2＝log2x-2-由(1)知f(x)的定义域为(4，＋∞)，所以x－2>2，0<2x-2<1，0<1－因为y＝log2x是增函数，所以f(x)<log21＝0，故f(x)的值域为(－∞，0)．跟踪训练2解析：(1)对于函数f(x)＝loga(3－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)，有3-x>03+x>0，解得－因此，函数f(x)的定义域为(－3，3)．(2)因为f(x)＝loga(9－x2)，且－3<x<3，则0<9－x2≤9，因为0<a<1，则函数y＝logau为(0，＋∞)上的减函数，故f(x)min＝loga9＝－2，可得a－2＝9，∵0<a<1，解得a＝13例3解析：(1)由题意可知5+x>05-x>0所以函数f(x)的定义域为(－5，5)．(2)函数f(x)为奇函数；证明：因为f(x)＝loga(5＋x)－loga(5－x)的定义域为(－5，5)，设∀x∈(－5，5)，则－x∈(－5，5)，所以f(－x)＝loga(5－x)－loga(5＋x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(3)因为f(x)＝loga(5＋x)－loga(5－x)＝loga5+x5当a>1时，若f(x)>0，则loga5+x5-即5+x5-x>1且x∈(－5，5)，解得x∈(0当0<a<1时，若f(x)>0，则loga5+x5-即0<5+x5-x<1且x∈(－5，5)，解得x∈(－5综上所述，当a>1时，使f(x)>0的x的取值范围为(0，5)；当0<a<1时，使f(x)>0的x的取值范围为(－5，0)．跟踪训练3解析：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log121+ax-x-1＝log1即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，所以a＝－1或a＝1，当a＝1时，f(x)＝log121-(2)证明：由(1)可知f(x)＝log12x+1x-1＝令u(x)＝1＋2x-1，∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<则u(x1)－u(x2)＝(1＋2x1-1)－(1＋2因为1<x1<x2，所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0，所以2x2-x1x1-1x2-1>0所以函数u(x)＝1＋2x-1在(1，＋又因为函数y＝log12u在(0，＋所以f(x)＝log12x+1x-1[随堂练习]1．解析：对于A选项，函数f(x)＝1x在定义域(－∞，0)∪0，+∞上不单调，A错；对于B选项，函数f(x)＝x13在定义域R上为增函数，B错；对于C选项，函数f(x)＝log13x在定义域(0，＋∞)上为减函数，C对；对于D选项，函数f(x答案：C2．解析：函数y＝log3x的反函数为f(x)＝3x，所以f(2)＝32＝9，故选A.答案：A3