2024届山东省青州二中数学高二上期末考试试题含解析

2024届山东省青州二中数学高二上期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题：△中，若，则；命题：函数，，则的最大值为.则下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.2．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（）A.2 B.C.4 D.3．方程表示的图形是A.两个半圆 B.两个圆C.圆 D.半圆4．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（）A2 B.3C.4 D.55．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为A.3 B.2C. D.6．在三棱锥中，，，，若，，则（）A. B.C. D.7．已知，，若，则（）A.9 B.6C.5 D.38．在正三棱锥S−ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S−ABC外接球的表面积是（）A. B.C. D.9．某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为=6.3x+6.8，下列说法正确的是（）x23456y1925★4044A.看不清的数据★的值为33B.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨C.据此模型预测产量为8吨时，相应的生产能耗为50.9吨D.回归直线=6.3x+6.8恰好经过样本点（4，★）10．如果双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的标准方程是（）A. B.C. D.11．“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A.充要条件 B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件12．已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于A，B两点，P为C的准线上一点，若的面积为36，则等于（）A.36 B.24C.12 D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图茎叶图记录了A、两名营业员五天的销售量，若A的销售量的平均数比的销售量的平均数多1，则A营业员销售量的方差为___________.14．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.15．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且，则c的最小值为__________.16．某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100分.现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40的样本，再将40个成绩样本数据分为6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数，平均数，中位数；（2）在区间40，50）和90，100内的两组学生成绩样本数据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组的概率.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了1000件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，若该工厂认定产品的质量指数不低于6为优良级产品，产品的质量指数在内时为优等品.（1）用统计有关知识判断甲、乙两条生产线所生产产品的质量哪一条更好，并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从该工厂样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，求抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率.18．（12分）已知数列满足，.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式及前项的和.19．（12分）已知椭圆C：经过点，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切线l与椭圆交于A，B两点，都有．若存在，求出r的值，并求此时△AOB的面积S的取值范围；若不存在，请说明理由20．（12分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.设数列的前项和为，且__________.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.21．（12分）等差数列{an}的前n项和记为Sn，且.（1）求数列{an}的通项公式an（2）记数列的前n项和为Tn，若，求n的最小值.22．（10分）已知如图①，在菱形ABCD中，且，为AD的中点，将沿BE折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题：（1）求证：BC平面ABE；（2）若P为AC中点，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由三角形内角及正弦函数的性质判断、的真假，应用换元法令，结合对勾函数的性质确定的值域即知、的真假，根据各选项复合命题判断真假即可.【详解】由且，可得或，故为假命题，为真命题；令，又，则，故，∵在上递减，∴，故的最大值为.∴为真命题，为假命题；∴为真，为假，为假，为假.故选：A.2、D【解析】先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.【详解】由题意可知是等腰直角三角形，，其原图形是，，，，则，故选：D.3、D【解析】其中，再两边同时平方，由此确定图形【详解】根据题意，，再两边同时平方，由此确定图形为半圆.故选：D【点睛】几何图像中要注意与方程式是一一对应，故方程的中未知数的的取值范围对应到图形中的坐标的取值范围4、B【解析】画出可行域，找到最优解，得最值.【详解】画出不等式组对应的可行域如下：平行移动直线，当直线过点时，.故选：B.5、D【解析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，∴≥2∴，故选D【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题6、B【解析】根据空间向量的基本定理及向量的运算法则计算即可得出结果.【详解】连接,因为，所以，因为，所以，所以,故选：B7、D【解析】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】.故选：D.8、A【解析】由题意推出平面，即平面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积【详解】∵，分别为棱，的中点，∴，∵三棱锥为正棱锥，作平面，所以是底面正三角的中心，连接并延长交与点，∵底面是正三角形，，平面∴，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∴，又∵，而，且，平面，∴平面，∴平面，∴，因为S−ABC是正三棱锥。所以，以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的体对角线就是球的直径，，所以.故选：A.9、D【解析】根据回归直线方程的性质和应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：因为，将代入，故，∴，故A错误；对，回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗大约增加6.3吨，故错误；对，当时，，故错误；对，因为，故必经过，故正确.故选：.10、D【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点代入，进而求得答案.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以设双曲线方程为，将代入得：，即双曲线方程为.故选：D.11、A【解析】由椭圆的标准方程结合充分必要条件的定义即得.【详解】若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；反之，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则；所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充要条件.故选：A.12、C【解析】设抛物线方程为，根据题意由求解.【详解】设抛物线方程为：，因为直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，所以，又P为C的准线上一点，所以点P到直线AB的距离为p，所以，解得，所以，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、44【解析】先根据题意求出x的值，进而利用方差公式求出A营业员销售量的方差.【详解】由A的平均数比的平均数多1知，A的总量比的总量多5，所以，A的平均数为17，方差为.故答案为：4414、或【解析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可【详解】点关于轴的对称点为,（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,因为反射光线与圆相切,所以圆心到反射光线的距离,即,解得,所以反射光线方程为:；（2）当不存在时,反射光线,此时,也与圆相切,故答案为:或【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程15、【解析】先利用正弦定理边化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根据与的关系，求得，即可求得c的最小值.【详解】，即，又，当最大时，即，最小，且为由正弦定理得：，当时，c的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.16、（1）众数；平均数，中位数.（2）.【解析】（1）按“众数，平均数，中位数”的公式求解.（2）由频率分布直方图得到各区间的频率，再用古典概型求解.【小问1详解】众数取频率分布直方图中最高矩形对应区间的中点75；平均数；因为，所以中位数在区间上，且中位数【小问2详解】由频率分布直方图得出在区间40，50）和90，100内的成绩样本数据分别有4个和2个，从6个样本选2个共有个结果，记事件A=“调查对象来自不同分组”，结果有所以.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）甲更好，详细见解析（2）【解析】（1）根据频率分布直方图计算甲、乙两条生产线所生产产品的质量指数的平均数，比较大小即可得答案；（2）由题意可知，甲、乙生产线的样品中优等品件数，利用分层抽样可得从甲生产线的样品中抽取的优等品有件件，记为，从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；列出抽取到的2件产品的所有基本事件，根据古典概型计算即可.【小问1详解】解：甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因为，所以甲生产线生产产品质量的平均水平高于乙生产线生产产品质量的平均水平，故甲生产线所生产产品的质量更好.【小问2详解】由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，乙生产线的样品中优等品有件，从甲生产线的样品中抽取的优等品有件件，记为，从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；从这6件产品中随机抽取2件的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F），（c，d），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），（E，F），共15种；其中符合条件的情况有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6种.故抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率为：18、（1）证明见解析；（2），.【解析】（1）证明出，即可证得结论成立；（2）由（1）的结论并确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，再利用分组求和法可求得.【小问1详解】证明：因为数列满足，，则，且，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，，故数列为等比数列.【小问2详解】解：由（1）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，，因此，.19、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用离心率和椭圆所过点列出方程组，求出，求出椭圆方程；（2）假设存在，分切线斜率存在和不存在分类讨论，根据向量数量积为0求出r的值，表达出△AOB的面积，利用基本不等式求出的取值范围，进而求出△AOB面积的取值范围.【小问1详解】因为椭圆C：的离心率，且过点所以解得所以椭圆C的方程为【小问2详解】假设存在⊙O：满足题意，①切线方程l的斜率存在时，设切线方程l：y＝kx＋m与椭圆方程联立，消去y得，(*)设，，由题意知，(*)有两解所以，即由根与系数的关系可得，所以因为，所以，即化简得，且，O到直线l的距离所以，又，此时，所以满足题意所以存在圆的方程为⊙O：△AOB的面积，又因为当k≠0时当且仅当即时取等号又因为，所以，所以当k＝0时，②斜率不存在时，直线与椭圆交于两点或两点易知存在圆的方程为⊙O：且综上，所以【点睛】求解圆锥曲线相关的三角形或四边形面积取值范围问题，需要先设出变量，表达出面积，利用基本不等式或者配方，导函数等求出最值，求出取值范围，特别注意直线斜率存在和不存在的情况，需要分类讨论.20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）若选①：根据，利用数列通项与前n项和的关系求解；