2023-2024学年湖北省武汉市重点大学附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省武汉市重点大学附中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线l过点A(2,1)，B(m,3)A.(0,2] B.(0,2.直线l1：ax+y−1=0，l2：A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要3.已知空间向量a=(0,1,2)A.(−13,23,234.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点M是棱A.DP=23AB−135.将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2,0)与点(−2,4)A.1 B.2023 C.4043 D.40466.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，A.53

B.305

C.7.过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有A.4条 B.5条 C.6条 D.7条8.在四棱锥P−ABCD中，棱长为2的侧棱PD垂直底面边长为2的正方形ABCD，M为棱PD的中点，过直线BM的平面α分别与侧棱PA、PA.22 B.2 C.3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法中不正确的是(

)A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(10.下列命题中正确的是(

)A.若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0

B.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角等于50°

C.已知向量{a,b,c}组是空间的一个基底，则{a+b,b+c,11.已知点M(−1,1)，N(2,1A.存在点P，使得PM⊥PN B.存在点P，使得2|PM|=|12.如图，四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=AD=25，∠ACA.三棱锥B′−ACD的体积为8

B.三棱锥B′−ACD的外接球的表面积为44π

C.二面角三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线l1：mx+2y−3=0与直线l14.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，

15.已知正方形的中心为直线2x−y+2=0，x16.已知a，b∈R，a≠0，曲线y=a+2x，y四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

(1)求证：动直线(m2+2m+3)x+(1+m−m2)y+3m18.(本小题12.0分)

在△ABC中，A(3,4)，B(−1,3)，C(5,0)．

(1)求BC19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，BC⊥CD，∠AB20.(本小题12.0分)

如图1，边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=120°，E，O，F分别是AB，BD，CD的中点.现沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，连接AC，如图2．

(1)21.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A点落在线段DC上．

(1)若折痕所在直线的斜率为k22.(本小题12.0分)

如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，△ABD为底面圆O的内接正三角形，且△ABD的边长为3，点E在母线PC上，且AE=3，CE=1．

(1)求证：直线PO/​/

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查的知识要点：两点求直线的斜率及斜率与倾斜角的关系及应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

根据直线l的倾斜角α的范围讨论斜率存在时和斜率不存在时，分别求出实数m的取值范围.

【解答】

解：由直线l的倾斜角α的范围是(π4,3π4)，当直线l的斜率存在时，有k<−1或k>1．

因为kAB=3−1m−2=2m−2，

所以2.【答案】B

【解析】解：直线l1：ax+y−1=0，l2：(a−1)x−2y+1=0，

当l1⊥l2时，有a(a−1)−3.【答案】B

【解析】解：因为a=(0,1,2),b=(−1,2,2)，

所以a⋅b4.【答案】B

【解析】解：在平行四边形BB1C1C中，因为M为CC1的中点，且BB1//CC1，

所以C1PBP=C1MBB1=15.【答案】C

【解析】解：设A(2,0)，B(−2,4)，

则AB所在直线的斜率为k=4−0−2−2=−1，

而点(2021,2022)与点(m,n)所在的直线与直线AB平行，

所以点6.【答案】D

【解析】解：∵AE//FC1，FC1⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E，∴FC1/​/平面AB1E，

∴直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离，

如图，以D点为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立直角坐标系，

则A(1,0,0),B1(1,1,7.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了直线的截距式、整数的性质，考查了推理能力，属于基础题．

当直线经过原点时满足条件，直线方程为：y=43x.当直线不经过原点时，设直线方程为xa+yb=1，把点P(3,4)代入可得：3a+4b=1，对a，b取正整数即可得出．

【解答】

解：当直线经过原点时，满足条件，此时直线方程为：y=43x，

此时在两坐标轴上的截距都为0，符合题意;

当直线不经过原点时，设直线方程为xa+yb=1，8.【答案】A

【解析】解：如图，G，H分别为所在棱的四等分点，

由几何关系可知线段MG与BH平行且相等，所以四边形MGBH为平行四边形，

所以此时M，E，B，F在平面MGBH上，

由三角形相似原理及几何关系，可得PE=23PA=23PC=PF，MG=BG=(12)2+229.【答案】AB【解析】解：对于A，点斜式方程适用斜率存在的直线，故A错误；

对于B，斜截式方程适用斜率存在的直线，故B错误；

对于C，截距式方程适用不与坐标轴重合或平行且不过原点的直线，故C错误；

对于D，两点式方程适用不与坐标轴重合或平行的直线，故D正确．

故选：ABC．

根据直线方程五种形式的限制条件解决即可．10.【答案】AC【解析】解：对于A，由空间向量的线性运算可知，AB+BC+CD+DA=0，故A正确；

对于B，若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α所成的角等于90°−(180°−130°)=40°，故B错误；

对于C，设x(a+b)+y(b+c)=a+b+c，

则x=1x+y=1y=1，无解，

所以不存在x，y，使得x(a+b)+y(11.【答案】BC【解析】解：对于A：设P(a,−a−2)，

当PM的斜率不存在时，a=−1，此时P(−1,−1)，kPN=1+12+1=23≠0，所以PM与PN不垂直；

当PN的斜率不存在时，a=2，此时P(2,−4)，kPM=1+4−1−2=−53≠0，所以PM与PN不垂直；

当a≠−1且a≠2时，kPM=−a−2−1a+1=−a+3a+1，kPN=−a−2−1a−2=−a+3a−2，

若PM⊥PN，则(−a+3a+1)⋅(−a+3a−2)=−1，整理得12.【答案】AB【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．

在△ABC中，过B作AC的垂线，垂足为E，取BD的中点O1，过O1作AC的垂线，垂足为F，设∠BAC=α，∠CAO1=β，则α+β=π4，推导出△ABC和△ACD的外接圆的圆心为O1，且外接圆的半径为r=10．

对于A，由平面B′AC⊥平面ADC，且BE⊥AC，得BE⊥平面ACD，从求出三棱棱的体积为8；

对于B，将△ABC沿AC折到B′AC位置，使得平面B′AC⊥平面ADC时，设此时△ABC的外接圆的圆心为O2，则FO【解答】解：如图1，在△ABC中，过B作AC的垂线，垂足为E，

取BD的中点O1，过O1作AC的垂线，垂足为F，

设∠BAC=α，∠CAO1=β，则α+β=π4，

在△ABC中，由tanα=12，得sinα=55，cosα=255，

∴BE=AB⋅sinα=2，AE=AB⋅cosα=4，

BC=BEsinπ4=22，CE=BE=2，∴AC=AE+CE=6，

在△AFO1中，sinβ=sin(π4−α)=22(cosα−sinα)=1010，AO1=10，∴FO1=1，

在△ACD中，CD=AC2+AD2−2AC⋅AD⋅cos∠CAD=42，

∴BD2=BC2+CD2，∴BC⊥CD，

∴△ABC和13.【答案】−2【解析】解：由l1：mx+2y−3=0，得到l1：y=−m2x+32，

因为l1/14.【答案】2【解析】解：依题意，AC1=AC+CC1，得AC12=(AC+CC1)2=AC2+2AC⋅CC1+15.【答案】3x−y【解析】解：联立2x−y+2=0x+y+1=0，解得x=−1y=0，

∴中心坐标为M(−1,0)，

又点M到直线l1：x+3y−5=0的距离d=|−1−5|12+32=3105，

设与l1垂直两线分别为16.【答案】1100【解析】解：∵曲线y=a+2x，y=ax+2b+1，

∴a+2x=ax+2b+1，

∴a+2=ax2+2bx+x，

∴(x2−1)a+2bx+x−2=0，

于是可以看作关于a，b的直线方程，则(a,b)是该直线上的点，

则a2+b2表示原点到直线的距离的平方，

设原点到直线的距离为d，根据到点直线的距离公式得到

d=|x−2|(x17.【答案】解：(1)证明：解法一：令m=0，则直线方程为3x+y+1=0

①，

再令m=1时，直线方程为6x+y+4=0

②，

①和②联立方程组3x+y+1=06x+y+4=0，得x=−1y=2，

将点A(−1,2)代入动直线(m2+2m+3)x+(1+m−m2)y+3m2+1=0中，

即(m2+2m+3)×(−1)+(1+m−m2)×【解析】(1)解法一：利用特值法，可得定点A(−1,2)，再验证满足题意；

解法二：动直线转化为(x−y+3)m2+(2x+y)m+3x+y+1=0，利用m∈R，则关于m的方程系数为18.【答案】解：(1)设BC边的高线所在的直线为m，

所以由km⋅kBC=−1⇒km⋅3−0−1−5=−1⇒km=2，

所以直线m的方程为y−4=2(x−3)=2x−y−2=0；

(2)当直线l不存在斜率时，直线l的方程为x=3，

【解析】(1)根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可；

(219.【答案】解：(1)证明：在四边形ABCD中，AD//BC，取BE中点G，连接AG，AE，

由CD=CE=12BE=1，得CG=2=AD，

则四边形AGCD是平行四边形，

又BC⊥CD，∴平行四边形AGCD是矩形，∴AG⊥BC，

AE=AB，∠AEB=∠ABC=π4，∴∠BAE=π2，∴AB⊥AE，

∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，则AB⊥PA，

∵PA∩AE=A，∴AB⊥平面PA【解析】(1)根据给定条件，证明AB⊥AE，再利用线面垂直的性质，能证明AB⊥PE20.【答案】解：(1)连接OA，OC，平面ABD⊥平面BCD，平面AB∩平面BCD=BD，

OA⊥BD，OA⊂平面ABD，故OA⊥平面BCD，

分别以OC，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,1)，B(0,−3,0)，C(1,0,0)，D(0,3,0)，

因为E，F分别是AB，CD的中点，所以O【解析】(1)证明OA⊥平面BCD，建立空间直角坐标系，得到OE=(0,−32,1221.【答案】解：(1)①当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=12．

②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1)，

所以A与G关于折痕所在的直线对称，

有kOG⋅k=−1，∴1a⋅k=−1，解得a=−k，故G点坐标为G(−k,1)，

从而折痕所在的直线与OG的交点M的坐标为(−k2,12)【解析】(1)当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=12.当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a,1)，可知：A与G关于折痕所在的直线对称，有kOG⋅k=−22.【答案】解：(1)证明：设AC交BD于点F，连接EF，

易知PO⊥底面ABD，AC⊂平面ABD，所以PO⊥AC，

又△ABD