2023-2024学年广东省佛山市顺德区重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省佛山市顺德区重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在空间直角坐标系Oxyz中，与点(−1,A.(−1,−2,1) 2.若a=(2,0,1)，A.(−1,−2,0) 3.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(

)A.至少有一个黑球与都是黑球 B.至少有一个黑球与至少有一个红球

C.恰有一个黑球与恰有两个黑球 D.至少有一个黑球与都是红球4.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PA.−23

B.23

C.15.如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.7A.0.441 B.0.782 C.0.819 D.0.96.如图，已知正四面体ABCD中，AE=12AB，CA.23

B.33

C.7.同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，事件A.A与B对立 B.P(BC)=16 C.A与C8.在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军.乒乓球决赛采用7局4胜制.在决胜局的比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为23，樊振东发球时马龙得分的概率为12，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，马龙先发球，则双方战至13：11的概率为(

)A.14 B.16 C.112二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(

)A.a+b，a−2b，c B.a−b，a+3b，2a

C.a10.已知事件A，B，且P(A)=0.5，A.如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.2，P(AB)=0.5

B.如果A与B互斥，那么P(A∪B)=0.711.已知空间中三点A0,1,0，B2,2A.AB与AC是共线向量

B.与AB同向的单位向量是255,55,0

12.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，AD=A.A1M⊥MN B.MD⋅MB1的最大值为0三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a=(2,−1,1)，b=(14.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为

．15.已知空间三点A(0,0,1)，B(−1,1,1)16.已知球O内切于正四面体A−BCD，且正四面体的棱长为26，线段MN是球O的一条动直径(M,N是直径的两端点)，点四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)

一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为A，B，C，有2个黑球，编号分别为D，E，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次．

(1)试写出该试验的样本空间；

(2)设事件M：“第一次摸到红球”，事件N：“第二次摸到黑球”，求事件M和事件18.(本小题12.0分)

已知空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(119.(本小题12.0分)

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．

(Ⅰ)求三位同学都没有中奖的概率；

(Ⅱ)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．20.(本小题12.0分)

如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BA21.(本小题12.0分)

随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为34，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为23，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．

(Ⅰ)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；

(Ⅱ)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．22.(本小题12.0分)

在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面正方形BB1C1C的中心为点M，A1M⊥平面BB1C1C，且BB1=2,AB=3，点

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：在空间直角坐标系Oxyz中，

与点(−1,2,1)关于平面xOz对称的点为(−1,−2,1)．

故选：2.【答案】D

【解析】解：∵a=(2,0,1)，b=(−3,3.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属于简单题．

列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可

【解答】

解：对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确

对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确

对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确

对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，

∴这两个事件是对立事件，∴D不正确

4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了空间向量运算的坐标表示和线性运算问题，是中档题．

建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，根据向量的线性表示，即可求出x、y和z的值，进而得到x+【解答】

解：以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设B(a,0,0)，D(0,b,0)，P(0,0,c)，

所以M5.【答案】C

【解析】解：当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，

∵A1、A2正常工作的概率依次是0.7，0.7，

∴A1、A2至少有一个正常工作的概率为1−(1−0.7)×(16.【答案】A

【解析】解：在正四面ABCD中，设向量DA=a， DB=b，DC=c，则三个向量两两夹角为60°，

设正四面体的棱长等于1，且a⋅b=12，a⋅c=12，b⋅c=12，

因为AE=12AB，CF=12CD，

所以DE=DA+AE=DA+17.【答案】C

【解析】解：依题意样本空间为：

Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36种，

事件A包含的基本事件有：(1,6)，(2,5)，(38.【答案】A

【解析】解：记甲为马龙，乙为樊振东，在比分为10：10后甲先发球的情况下，

甲以13：11赢下此局分两种情况：

①后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：P1=23×12×23×12=19，

②后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为：P2=13×12×23×12=118，

乙以13：9.【答案】AC【解析】解：对于A，a+b=λ(a−2b)+μc，有μ=0，而λ无解，

所以a+b，a−2b，c不共面，可构成空间基底；

对于B，a−b=λ(a+3b)+2μa，有λ+2μ=13λ=−1，解得λ=−110.【答案】BD【解析】解：由事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，知：

对于A，如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.5，P(AB)=0.2，故A错误；

对于B，如果A与B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7，P(AB11.【答案】BD【解析】【分析】利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．

本题考查命题真假的判断，考查空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．【解答】

解：空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，

对于A，AB=(2,1,0)，AC=(−1,2,1)，

∴AB与AC不是共线向量，故A错误；

对于B，AB=(2,1,12.【答案】AC【解析】解：长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，AD=AB=1，点M，N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点)，D1M⊥MN，

如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设AM=m(0<m<1)，BN=n(0<n<2)，

则A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，D1(0,0,2)，M(1,m,0)，N(1,1,n)，

D1M=(1,m,13.【答案】5【解析】解：向量a=(2,−1,1)与b=(−1,1,x)垂直，

则2×(14.【答案】0.3

【解析】【分析】本题考查了古典概率的问题，属于基础题．

设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共【解答】

解：设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，

则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种，

其中全是女生为AB，AC，BC15.【答案】(−【解析】【分析】

本题考查空间向量的坐标运算，考查向量共线定理，考查向量的数量积运算，属于基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．

设出M点的坐标，得到AM=(a,b,c−1)，AB=(−1,1,0)，由M在直线AB上，得AM=λAB，从而M(−λ,λ,1)，再由CM⊥AB能求出M(−12,116.【答案】8

【解析】解：由正四面体棱长为26，的其内切圆的半径为1，

由题意，M，N是直径的两端点，可得OM+ON=0，OM⋅ON=−1，

则PM⋅PN=(PO+OM)17.【答案】解：(1)由题意得，试验从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次的样本空间为：

{AB,AC,AD,AE,BA,BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE,【解析】利用列举法列出基本事件，结合古典概型的概率公式进行求解即可．

本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题．18.【答案】解：(1)设向量AB，AC的夹角为θ，

由已知AB=(−2,−1,3)，AC=(1,−3,2)，|AB|=(−2)2+(−1【解析】(1)根据已知条件，运用向量的夹角公式，可得θ=π3，再结合三角形面积公式，即可求解．

(2)19.【答案】解：设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，则P(A)=P(B)=P(C)=16，

甲、乙、丙没中奖的事件分别为A.、B.、C.，则P(A.)P=(B.)【解析】(Ⅰ)先求出甲、乙、丙没中奖的概率，因此事件为相互独立事件，代入公式求解；

(Ⅱ)先求出此事件的对立事件，再由对立事件的公式进行求解．

本小题主要考查相互独立事件、互斥事件的概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．20.【答案】解：(1)证明：如图，连结A1E，∵A1A=A1C，E是AC中点，∴A1E⊥AC，

∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，A1E⊂平面A1ACC1，

∴A1E⊥平面ABC，∴A1E⊥BC，

∵A1F/​/AB，∠ABC=90°，∴BC⊥A1F，

∵A1E∩A1F=A1，∴BC⊥平面A1EF【解析】(1)连结A1E，推导出A1E⊥AC，A1E⊥平面ABC，A1E⊥BC，BC⊥A1F，从而BC⊥平面A1EF，由此能证明EF⊥BC，

(2)取BC中点21.【答案】解：(1)设ξ表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的事件”，Ai表示“丈夫在第i次参加科目二考试中通过”，

Bi表示“妻子在第i次参加科目二考试中通过”，则P(Ai)=34,P(Bi)=23，

则P(ξ)=P【解析】(1)由题意可知P(ξ)=P(A122.【答案】解：(1)因为A1E=λA1C1，所以点E在A1C1上，

因为A1B/​/平面B1