2024届甘肃省武威市民勤县第三中学高二上数学期末调研试题含解析

2024届甘肃省武威市民勤县第三中学高二上数学期末调研试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（）A.5 B.C. D.2．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)3．设是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.4．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK和LM所成角的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.90°5．过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.2 B.2C.1 D.16．已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（）A. B.C. D.7．在等比数列中，，公比，则（）A. B.6C. D.28．曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.9．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，不等式的左边增加了（）A. B.C. D.10．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.1611．已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）A. B.C. D.与2的大小关系不确定12．过抛物线C：y2=4x的焦点F分别作斜率为k1、k2的直线l1、l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，若|k1·k2|=2，则|AB|+|DE|的最小值为（）A.10 B.12C.14 D.16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________.14．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______15．已知圆，若圆的过点的三条弦的长，，构成等差数列，则该数列的公差的最大值是______.16．点到直线的距离为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组的成员按年龄分成、、、、这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为.（1）若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者做环境保护知识宣讲，求这名环境保护知识宣讲志愿者中至少有名年龄在内的概率；（2）在（1）的条件下，记抽取的名志愿者分别为甲、乙，该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者，给甲、乙各随机派发价值元、元、元的纪念品一件，求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率.18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.（1）求的标准方程；（2）记直线斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19．（12分）已知抛物线的焦点在直线上（1）求抛物线的方程（2）设直线经过点，且与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程20．（12分）已知椭圆的短轴长是2，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知，若直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使恒成立，并说明理由21．（12分）如图，几何体中，平面，，，，E是中点，二面角的平面角为.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额（万元）的数据如下：加盟店个数（个）12345单店日平均营业额（万元）10.910.297.871（参考数据及公式：，，线性回归方程，其中，.）（1）求单店日平均营业额（万元）与所在地区加盟店个数（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先求的平方后再求解即可.【详解】，故，故选：C2、C【解析】求导得，再解不等式即得解.【详解】由得，根据题意得，解得故选：C3、B【解析】先由双曲线定义与题中条件得到，，求出，，再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果.【详解】解：根据双曲线定义：，，∴，∴，，，∴是圆的直径，∴，中，，得故选【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.4、D【解析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K为的四等分点，L为的中点，M为的四等分点，，取的中点N，易证，则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角，在中，，，故故选：D5、C【解析】应用向量的坐标表示求的坐标，由且列方程求y值.【详解】由题设，，则且，所以，即，可得.故选：C6、D【解析】由离心率得，再由转化为【详解】因为，所以8a2＝9b2，所以故选：D.7、D【解析】利用等比数列的通项公式求解【详解】由等比数列的通项公式得：.故选：D8、A【解析】利用切点和斜率求得切线方程.【详解】由，有曲线在点处的切线方程为，整理为故选：A9、B【解析】依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边作差比较即可得到答案【详解】用数学归纳法证明等式的过程中，假设时不等式成立，左边，则当时，左边，∴从到时，不等式的左边增加了故选：B10、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C11、A【解析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.【详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，则由切线的性质可知：，，，所以，所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.12、B【解析】设出l1的方程为，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，用弦长公式表达出，同理表达出，利用基本不等式求出的最小值.【详解】抛物线C：y2=4x的焦点F为，直线l1的方程为，则联立后得到，设，，，则，同理设可得：，因为|k1·k2|=2，所以，当且仅当，即或时，等号成立，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求.【详解】因为，，共面且，不共线，所以可设，所以，所以，所以，所以，故答案为：1.14、【解析】取的中点，连接，，过点A作，垂足为，设，利用三角形的边角关系求出，利用锥体的体积公式求出的值，确定三棱锥外接球的球心，求解外接球的半径，由表面积公式求解即可【详解】取的中点，连接，，过点A作，交DE的延长线于点，所以为二面角的平面角，设，则，，所以，所以，EH=，因为三棱锥的体积为，所以，解得：，，设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，，，过点O作OF⊥AH于点F，则，，，，设，则，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱锥外接球的半径满足，则三棱锥的外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查了几何体的外接球问题，棱锥的体积公式的理解与应用，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，15、2【解析】根据题意，求得过点的直线截圆所得弦长的最大值和最小值，即可求得公差的最大值.【详解】圆的圆心，半径，设点为点，因为，故点在圆内，当直线过点，且经过圆心时，该直线截圆所得弦长取得最大值；当直线过点，且与直线垂直时，该直线截圆所得弦长取得最小值，此时，则满足题意的直线为，即，又，则该直线截圆所得弦长为；根据题意，要使得数列的公差最大，则，故最大公差.故答案为：.16、【解析】直接利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】点到直线的距离为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）将名志愿者进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列举出甲、乙获得纪念品价值的所有情况，并确定所求事件所包含的情况，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：因为志愿者年龄在、、内的频率分别为、、，所以用分层抽样的方法抽取的名志愿者年龄在、、内的人数分别为、、.记年龄在内的名志愿者分别记为、、，年龄在的名志愿者分别记为、，年龄在内的名志愿者记为，则从中抽取名志愿者的情况有、、、、、、、、、、、、、、，共种可能；而至少有名志愿者的年龄在内的情况有、、、、、、、、，共种可能.所以至少有名志愿者的年龄在内的概率为.【小问2详解】解：甲、乙获得纪念品价值的情况有、、、、、、、、，共种可能；而甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的情况有、、、、、，共种可能.故甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率为.18、（1）；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【解析】（1）由椭圆所过点及离心率，列方程组，再求解即得；（2）设出点A，B坐标并列出它们满足的关系，利用点差法即可作答；（3）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程，借助韦达定理求得，，再结合为等边三角形的条件即可作答.【详解】（1）显然，半焦距c有，即，则，所以椭圆的标准方程为；（2）设，，，，由(1)知，，两式相减得，即，而弦的中点，则有，所以；（3）假定存在符合要求的点P，由(1)知，设直线的方程为，由得：，则，，于是得，从而得点，，因为等边三角形，即有，，因此，，，从而得，整理得，无解，所以在y轴上不存在点，使得为等边三角形.19、（1）（2）的方程为、、【解析】（1）求得点的坐标，由此求得，进而求得抛物线的方程.（2）结合图象以及判别式求得直线的方程.【小问1详解】抛物线的焦点在轴上，且开口向上，直线与轴的交点为，则，所以，抛物线的方程为.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个公共点.那个直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，解得或.所以直线的方程为或.综上所述，的方程为、、.20、（1）；（2）存在，理由见解析.【解析】(1)利用离心率，短轴长求出a，b，即可求得椭圆方程.(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理计算判定，由M为线段AB中点即可确定存在常数推理作答.【小问1详解】因椭圆的短轴长是2，则，而离心率，解得，所以椭圆方程为.【小问2详解】存在常数，使恒成立，

由消去y并整理得：，设，，则，，又，，，则有，而线段AB的中点为M，于是得，并且有所以存在常数，使恒成立.21、（1）证明见解答；（2）【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，从而可证平面；（2）以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量与的方向向量，利用向量法可求直线与平面所成角的正弦值【小问1详解】证明：取中点，又是中点，，，平面，平面，，平面，是二面角的平面角，，又，，在中，由余弦定理有，可得，又是中点，，平面，，又，平面，平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，，0，，，1，，1，，，0，，，1，设平面的一个法向量为，，，则，令，则，，平面的一个法向量为，，，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为22、（1）；（2）5，6，7；（3）.【解析】（1）先