线性规划数学教案

线性规划数学教案线性规划数学教案教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．教学步骤我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足以下条件①求z的最大值和最小值．我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界．点〔0，0〕不在这个三角形区域内，当时，，点〔0，0〕在直线上．作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足．即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A〔5，2〕的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解〔5，2〕和〔1，1〕分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．例1解以下线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得．作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值．通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．例2解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件．解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为〔9，2〕．∴这个例题可在教师的指导下，由同学解出．在此例中，假设目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C〔3，6〕处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关．就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，假设〔直线的斜率〕时，线段BC上所有点都是使z取得最大值〔如本例〕；当时，点C处使z取得最大值〔比如：时〕，假设，可请同学思索．随堂学习1．求的最小值，使式中的满足约束条件2．求的最大值，使式中满足约束条件答案：1．时，．2．时，．总结提炼1．线性规划的概念．2．线性规划的问题解法．布置作业1．求的最大值，使式中的满足条件2．求的最小值，使满足以下条件答案：1．2．在可行域内整点中，点〔5，2〕使z最小，探究活动［问题］某企业2021年的利润为5万元，2021年的利润为7万元，2021年的利润为81元，请你依据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2021年企业的利润，请问你帮该企业推测的利润是多少万？［分析］首先应合计在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“2021年的利润为5万元，2021年的利润为7万元，2021年的利润为8万元〞，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思索的方向可以合计将通过特别点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为推测直线等等．建立平面直角坐标系，设2021年的利润为5万元对应的点为〔0，5〕，1998年的利润为7万元及2021年的利润为8万元分别对应点〔1，7〕和〔2，8〕，那么①假设将过两点的直线作为推测直线，其方程为：，这样推测2021年的利润为13万元．②假设将过两点的直线作为推测直线，其方程为：，这样推测2021年的利润为11万元．③假设将过两点的直线作为推测直线，其方程为：，这样推测2021年的利润为10万元．④假设将过及线段的中点的直线作为推测直线，其方程为：，这样推测2001年的利润为11．667万元．⑤假设将过及的重心〔注：为3年的年平均利润〕的直线作为推测直线，其方程为：，这样推测2021年的利润为11．667万元．⑥假设将过及的重心的直线作为推测直线，其方程为：，这样推测2021年的利润为10．667万元．⑦假设将过且以线段的斜率为斜率的直线作为推测直线，则推测直线的方程为：，这样推测2021年的利润为9万元．⑧假设将过且以线段的斜率为斜率的`直线作为推测直线，则推测直线的方程为：，这样推测2021年的利润为11。5万元。⑨假设将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为推测直线，则推测直线的方程为；，这样推测2021年的利润为12万元．⑩假设将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为推测直线，则推测直线的方程为：，这样推测2001年的利润为12万元．如此这样，还有其他方案，在此不—一排列．［思索］〔1〕第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？〔2〕第⑦种方案中，的现实意义是什么？〔3〕依据以上的基本解题思路，请你思索新的方案．如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为推测直线．〔4〕依据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你推测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你推测的结论作怎样的处理，使之得到的利润推测更为有效？如果不要求用线性推测，你能得出什么结果？数学教案－简单的线性规划〔一〕数学教案－简单的线性规划〔一〕教学目标〔1〕使同学了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；〔2〕了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；〔3〕了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；〔4〕培养同学观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提升同学“建模〞和解决实际问题的能力；〔5〕结合教学内容，培养同学学习数学的兴趣和“用数学〞的意识，激励同学勇于革新．教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式〔组〕表示平面的区域．对同学来说，二元一次不等式〔组〕表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二同学现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式〔组〕表示平面的区域分为两个大的层次：〔1〕二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包涵边界直线〔画成虚线〕．其次再扩大到所表示的平面区域是包涵边界直线且要把边界直线画成实线．〔2〕二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是同学对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．对许多同学来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象碰到的问题少，同学解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导同学依据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．对同学而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地合计单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课制定为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在同学面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助同学掌握寻找整点最优解的方法．三、教法建议〔1〕对同学来说，二元一次不等式〔组〕表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使同学对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念〔2〕建议将本节新课讲授分为五步〔思索、尝试、推测、证实、归纳〕来进行，目的是为了分散难点，层层递进，特别重点，只要同学对旧知识掌握较好，完全有可能由同学主动去探求新知，得出结论．〔3〕要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式〔组〕表示的平面区域的含义是十分必要的．〔4〕建议通过本节教学着重培养同学掌握“数形结合〞的数学思想，无论侧重于用“数〞研究“形〞，但同时也用“形〞去研究“数〞，这对培养同学观察、联想、推测、归纳等数学能力是大有益处的．〔5〕对作业、思索题、研究性题的.建议：①作业主要训练同学规范的解题步骤和作图能力；②思索题主要供学有余力的同学课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽同学的思维．〔6〕假设实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解〔近似解〕，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的四周寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解四周