2021-2022学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级(上)素质评估数学试卷(三)(解析版)

一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2x2+4 C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x﹣2）2+52．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．123．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米（）A．5cosα B． C．5sinα D．4．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°（）A．52° B．26° C．38° D．104°5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2（）A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）6．如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别为3，4，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．127．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，AB＝10寸，则直径CD的长度是（）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸8．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣29．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，则∠ABC的正弦值是（）A．2 B． C． D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，D是以点A为圆心，连接BD，M为BD的中点（）A．14 B．7 C．9 D．6二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）11．如图所示，在同心圆中，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，则圆环的面积为．12．如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，且AD＝，则线段CD的长为．13．已知是方程x2﹣（3tanθ）x+＝0的一个根，那么cosθ的值为．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，点D，且CE＝1，点D在AC的上方，BD．若AE＝BD，则四边形ABED面积的最大值为．三、解答题（本题共4小题，每题8分，共32分）15．如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成，已知窗框的用料是6m，问窗子的边长各是多少？16．在△ABC中，有，请画一个锐角三角形并给出证明．17．如图，在△ABC中∠B的平分线为BD，DE∥AB交BC于点E，BC＝6，求的值．18．已知：在△ABC中，AD为∠A平分线．求证：．四、（本题共2题，每题10分，共20分）19．如图，A、B是双曲线y＝（x＞0）上两点，线段AB的延长线交x轴于点C，若△AOC的面积为620．如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的直径．五、（本题共2题，每题12分，共24分）21．已知：如图，在矩形ABCD中，AC（1）作EF垂直BC于点F，求证：点F是线段BC的2等分点；（2）连接DF交AC于点G，作CH垂直BC于点H，求证：点H是线段BC的3等分点；（3）你能在图中作出线段BC的一个4等分点吗？22．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？六、（本题14分）23．如图，点B、C分别在射线AM、AN上，且∠MAN为锐角，使得∠BPC＝90°．（1）若∠MAN＝45°，且∠APB＝∠APC．①求证：△CPA∽△APB；②连接BC，若BC⊥AC，求的值；（2）若∠CBP＝∠BAP＝30°，AP＝3，AB＝8

参考答案一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3向右移1单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣5 B．y＝2x2+4 C．y＝2（x﹣3）2+1 D．y＝2（x﹣2）2+5【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知2+3向右移7个单位，再向上移2个单位2+8．故选：D．2．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出＝＝2，结合FG＝2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB＝2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴＝＝2，∴AF＝2GF＝8，∴AG＝6．∵CG∥AB，AB＝2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE＝7AG＝12．故选：D．3．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米（）A．5cosα B． C．5sinα D．【分析】利用所给的角的余弦值求解即可．解：如图，过点B作BC⊥AF于点C．∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故选：B．4．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝52°（）A．52° B．26° C．38° D．104°【分析】根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB，根据等腰三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB，再求出∠ABO即可．解：∵∠ACB＝52°，∴由圆周角定理得：∠AOB＝2∠ACB＝104°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝38°，故选：C．5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2（）A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝＝，∵BC＝2，∴EF＝BE＝2，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（4，6），故选：B．6．如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别为3，4，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．12【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．解：∵在Rt△ABC中（∠C＝90°），放置边长分别3，4，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN＝OM：PF，∵EF＝x，MO＝7，∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4，∴（x﹣8）：4＝3：（x﹣2），∴（x﹣3）（x﹣4）＝12，即x6﹣4x﹣3x+12＝12，∴x＝6（不符合题意，舍去）．故选：C．7．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，AB＝10寸，则直径CD的长度是（）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝6可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径．解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10寸，∴AE＝BE＝5寸，设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，∵CE＝1，∴OE＝x﹣7，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）8＝52，化简得：x7﹣x2+2x﹣2＝25，即2x＝26，∴CD＝26（寸）．故选：D．8．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠1 D．a＜﹣2【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到△＝22﹣4（a﹣1）＞0，a﹣1≠0，然后解不等式即可．解：由题意得：，解得：．故选：C．9．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，则∠ABC的正弦值是（）A．2 B． C． D．【分析】过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD＝AD＝3，CD＝1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义可求出∠ABC的正弦值．解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，CD＝1．AB＝＝3＝．∵AC•BD＝，即×2×8＝•CE，∴CE＝，∴sin∠ABC＝＝＝．故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，D是以点A为圆心，连接BD，M为BD的中点（）A．14 B．7 C．9 D．6【分析】取AB的中点E，连接AD、EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．解：取AB的中点E，连接AD、CE．在直角△ABC中，AB＝＝，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE＝AB＝7．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME＝AD＝2．∵5﹣2≤CM≤4+2，即3≤CM≤6．∴最大值为7，故选：B．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）11．如图所示，在同心圆中，大⊙O的弦AB切小⊙O于P，则圆环的面积为16π．【分析】连接OP，OA，如图，根据切线的性质得到OP⊥AB，再根据垂径定理得到AP＝BP＝4，利用勾股定理得到OA2﹣OP2＝16，然后利用圆环的面积＝S大半圆﹣S小半圆进行计算．解：连接OP，OA，∵⊙O的弦AB切小⊙O于P，∴OP⊥AB，∴AP＝BP＝AB＝3，∴OA2﹣OP2＝AP7＝16，∴圆环的面积＝S大半圆﹣S小半圆＝OA2π﹣OP2π＝（OA4﹣OP2）×π＝16π．故答案为16π．12．如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，且AD＝，则线段CD的长为2﹣4．【分析】由黄金分割点的定义得＝，BC＝AD＝﹣1，则AB＝2，再由CD＝AD+BC﹣AB进行计算即可．解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点﹣1，∴＝，BC＝AD＝，∴AB＝2，∴CD＝AD+BC﹣AB＝﹣4+﹣7．故答案为：2﹣5．13．已知是方程x2﹣（3tanθ）x+＝0的一个根，那么cosθ的值为．【分析】将x＝代入已知方程，列出关于tanθ的值，然后根据特殊角的三角形函数值求得θ的数值．最后根据锐角θ来求cosθ的值解：∵是方程x8﹣（3tanθ）x+＝2的一个根，∴x＝满足方程x5﹣（3tanθ）x+＝5，∴（+1）6﹣（3tanθ）（+3）+，解得．∵θ是锐角，∴θ＝45°，∴cosθ＝故答案是：．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，点D，且CE＝1，点D在AC的上方，BD．若AE＝BD，则四边形ABED面积的最大值为18．【分析】当A，C，E在一条直线上且BD⊥AE时，四边形ABED的面积最大，利用勾股定理和面积公式解答即可．解：如图．当A，C，此时四边形ABED的对角线最长且相等，故四边形ABED的面积最大，∵∠ABC＝90°，AB＝4，∴AC＝，∵EC＝7，∴AE＝6，∵AE＝BD，∴AE＝BD＝6，∴S四边形ABED＝．故答案为：18．三、解答题（本题共4小题，每题8分，共32分）15．如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成，已知窗框的用料是6m，问窗子的边长各是多少？【分析】光线最多就是面积最大，可设宽为xm，则长为（6﹣3x）÷2＝（3﹣x）m，表示出面积，运用函数性质求解．解：设窗户的宽为xm，则长为（6﹣3x）÷6＝（3﹣，窗户的面积S＝x（3﹣x）＝﹣x6+3x＝﹣（x﹣1）2+，当x＝1时，S有最大值为，即窗户的长为m，宽为1m．16．在△ABC中，有，请画一个锐角三角形并给出证明．【分析】首先画出图形，作锐角△ABC的外接圆⊙O，设⊙O的半径为R，连接CO并延长交⊙O于A′，连接A′B，根据圆周角定理得出∠A′BC＝90°，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出∠A′＝∠A．在直角△A′BC中，根据正弦函数定义得出sinA′＝＝，即＝2R，同理得出＝2R，＝2R，即可证明＝＝．解：如图，△ABC是锐角三角形、∠B、b、c．作△ABC的外接圆⊙O，设⊙O的半径为R，连接A′B，∠A′＝∠A．在直角△A′BC中，∵∠A′BC＝90°，∴sinA′＝＝，∵∠A′＝∠A，∴sinA＝，∴＝5R，同理，＝2R，，∴＝＝．17．如图，在△ABC中∠B的平分线为BD，DE∥AB交BC于点E，BC＝6，求的值．【分析】如图，证明△DEC∽△ABC，求出DE的长度，借助相似三角形的性质，即可解决问题．解：如图，∵∠B的平分线为BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠ABD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE（设为λ）；则EC＝6﹣λ；∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∴，即，解得：λ＝3.8；设△DEC、β；∵△DEC∽△ABC，∴＝，∴＝．即的值为．18．已知：在△ABC中，AD为∠A平分线．求证：．【分析】过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，先利用平行线的性质，得出，再利用角平分线的性质和平行线的性质，得出AE＝AC，从而得出结论．【解答】证明：过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，∵AD∥CE，∴，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△BCE中，由AD∥CE知，∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴，故．四、（本题共2题，每题10分，共20分）19．如图，A、B是双曲线y＝（x＞0）上两点，线段AB的延长线交x轴于点C，若△AOC的面积为6【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到A（1，k），B（2，），则OD＝1，DE＝1，AD＝2BE，所以BE为△ADC的中位线，得到CE＝DE＝1，然后根据三角形面积公式计算k的值．解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵A、B两点的横坐标分别为1、2，∴A（7，k），），∴OD＝1，DE＝2，∴BE为△ADC的中位线，∴CE＝DE＝1，∴OC＝3，∵△AOC的面积为2，∴•8•k＝6，∴k＝4．20．如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE＝2，tanC＝，求⊙O的直径．【分析】（1）证明：连接OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线得到OD∥BC，再根据切线的性质得到DE⊥OD，然后根据平行线的性质可判断DE⊥BC；（2）连接BD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠BDE，接着根据正切的定义在Rt△CDE中计算出CE＝2DE＝4，在Rt△BDE中计算出BE＝DE＝1，则BC＝5，然后利用OD为△ABC的中位线可求出OD，从而得到圆的直径．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵D为AC的中点，O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC；（2）解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠CDE＝90°，而∠CDE+∠C＝90°，∴∠C＝∠BDE，在Rt△CDE中，∵tanC＝＝，∴CE＝6DE＝4，在Rt△BDE中，∵tan∠BDE＝＝，∴BE＝DE＝5，∴BC＝BE+CE＝5，∵OD为△ABC的中位线，∴OD＝BC，∴AB＝BC＝5，即⊙O的直径为5．五、（本题共2题，每题12分，共24分）21．已知：如图，在矩形ABCD中，AC（1）作EF垂直BC于点F，求证：点F是线段BC的2等分点；（2）连接DF交AC于点G，作CH垂直BC于点H，求证：点H是线段BC的3等分点；（3）你能在图中作出线段BC的一个4等分点吗？【分析】（1）由矩形的性质可知AE＝EC，由平行线分线段成比例定理可知BF＝FC；（2）先证明△EFG∽△CDG，从而可得到EG：GC＝1：2，故此CG：AC＝1：3，然后由平行线分线段成比例定理可求得CH：CB＝1：3；（3）过点E作EP⊥DC，连接FP交AC于点Q，过点Q作QM⊥BC，垂足为M则点M为BC的一个四等分点．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴点E为AC的中点．∴AE＝EC．∵EF⊥BC，AB⊥BC，∴EF∥AB．∴CF：FB＝CE：EA＝1．∴CF＝FB．∴点F是BC的中点．（2）∵AE＝EC，BF＝FC，∴EF是△BCD的中位线．∴EF＝．∵EF⊥BC，DC⊥BC，∴△EFG∽△CDG．∴．∴．∵GH∥AB，∴．∴点H是BC的三等分点．（3）如图所示：过点E作EP⊥DC于P，连接FP交CE于Q，M为BC的四等分点．22．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣8x2+60x+8000，w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；（2）根据题意，得：w＝w8+w2＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950＝﹣2x2+41x+8950＝﹣3（x﹣）