2-单自由度受迫振动解析

第2章单自由度系统的受迫振动上一章争论的自由振动只是系统对初始扰动(初始条件)的响应。由于阻尼的存在,振动现象很快就会消逝。要使物体作持续的振动，必需有外界鼓舞输入给系统以补充阻尼消耗的能量。系统在外部鼓舞作用下的振动称为受迫振动或强迫振动。所谓简谐鼓舞就是正弦或余弦鼓舞。2.1.1振动微分方程及其解2.1简谐鼓舞下的受迫振动2.1简谐鼓舞下的受迫振动设单自由度黏滞阻尼系统受到的鼓舞为F(t)=F0sinwt，这里w为激振频率，利用牛顿定律并引入阻尼比z可得到齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为：2.1简谐鼓舞下的受迫振动代入方程确定系数X和a为：其中：为频率比。2.1简谐鼓舞下的受迫振动因此方程的全解为：系数A和B由初始条件确定。设t＝0时,则：所以黏滞阻尼在正弦鼓舞作用下的响应〔解〕最终表示为：2.1简谐鼓舞下的受迫振动上述解的第一局部代表由初位移和初速度引起的自由振动，其次局部代表由干扰力引起的自由振动，它们都是衰减振动，随时间的推移而消逝，称为瞬态响应或暂态响应；最终只剩下第三局部，代表与激振力同形式的等幅的强迫振动，称为稳态响应，而强迫振动局部才是我们最关心的。2.1简谐鼓舞下的受迫振动假设为余弦鼓舞,则响应〔解〕为：2.1简谐鼓舞下的受迫振动无阻尼系统的响应〔解〕正弦鼓舞余弦鼓舞2.1简谐鼓舞下的受迫振动2.1.2复数解法(稳态响应)2.1简谐鼓舞下的受迫振动将振动方程写为复数形式其实部和虚局部别分别代表余弦和正弦鼓舞。令其特解为2.1简谐鼓舞下的受迫振动代入方程得到其中

H(w)称为复频率响应函数，是系统对频率为w的单位谐干扰力的复响应的振幅。2.1简谐鼓舞下的受迫振动令求得C和a为则比较系数得2.1简谐鼓舞下的受迫振动确定C和a后得到2.1简谐鼓舞下的受迫振动这里的X与a和前面给出的结果一样，即分别取z*式的实部和虚部就是对应于余弦和正弦鼓舞的稳态响应。2.1.3稳态响应分析2.1简谐鼓舞下的受迫振动1.幅频特性曲线对于稳态响应x*(t)=Xsin(wt－a)，定义动力放大系数b

为响应的振幅X与最大干扰力F0所引起的静位移的比值：以z为参数，画出b－g曲线即幅频特性曲线，说明白阻尼和激振频率对响应幅值的影响。2.1简谐鼓舞下的受迫振动争论：g<<1时，b≈1。即响应幅值近似等于激振力幅值F0所引起的静位移F0/k;g>>1时2.1简谐鼓舞下的受迫振动振幅的大小主要预备于系统的惯性。这就是高速旋转的机器正常工作时运转特殊平稳的缘由;g≈1〔激振频率接近固有频率〕时，b快速增大，振幅很大，这种现象称为共振;阻尼比z的影响:阻尼越小，共振越厉害。因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。2.1简谐鼓舞下的受迫振动对b求导数取极值令其等于0得2.1简谐鼓舞下的受迫振动而g＝1时则当z很小时b和bmax相差很小，所以在工程中仍认为当w＝wn时发生共振。2.1简谐鼓舞下的受迫振动2.相频特性曲线以z为参数，画出a－g曲线即相频特性曲线，说明白阻尼和激振频率对相位差的影响。争论：从图中可以看出，无阻尼状况下的曲线是由a＝0和a＝p的半直线段组成，在g＝1处发生连续；有阻尼时a为在0～p之间变化的光滑曲线,并且不管a取值多少,当g＝1时都有a＝p/2,即曲线都交于〔1,p/2〕这一点。这一现象可以用来测定系统的固有频率；g→∞时,a→p,系统平稳运行(见例2.2)。3.品质因子〔自学〕2.1简谐鼓舞下的受迫振动2.1简谐鼓舞下的受迫振动例2.2总质量为M的振动机支承在弹簧k和阻尼器c上,两个偏心质量m/2绕相反方向以等角速度w转动。试争论振动机在其平衡位置四周的运动。2.1简谐鼓舞下的受迫振动

解：求振动方程。x方向的动量为代入公式求得响应为利用动量定理得2.1简谐鼓舞下的受迫振动g→∞时,则：MX→ml，sin(wt－a)→－sinwt而振动机质心的位移为2.1简谐鼓舞下的受迫振动由于sin(wt－a)→－sinwt,MX→ml，则：xC→0。这说明：当g→∞〔即高速旋转〕时,振动机的质心几乎保持静止。即机器运行特殊平稳。2.1简谐鼓舞下的受迫振动例题2.1求图示系统在位移鼓舞下系统的响应。解：振动方程为即：代公式即可求出稳态响应……2.1简谐鼓舞下的受迫振动

例题2.2图示系统，假定缸体与活塞杆之间的阻尼系数为c，求缸体振幅与y的关系。解：振动方程为即：代公式即可求出振幅……2.1简谐鼓舞下的受迫振动例题2.4求图示系统质量块的振幅。解：取静平衡位置为坐标原点建立振动方程则：代公式即可求出振幅……而：作业：T2.3，7，11，27假设F(t)是周期为T的函数，表示为F(t±nT)=F(t)，n＝0,1,2,…设函数F(t)在一个周期内分段光滑，则可以表示为傅里叶〔Fourier〕级数:2.2.1傅里叶级数2.2周期鼓舞下的受迫振动

傅里叶级数方法2.2周期鼓舞下的受迫振动其中各个系数计算分为两种状况：当F(t)定义在[－T/2,T/2]上时2.2周期鼓舞下的受迫振动2.2周期鼓舞下的受迫振动假设F(t)为奇函数则an＝0，假设F(t)为偶函数则bn＝0，且可分别写为：当F(t)定义在[0,T]上时2.2周期鼓舞下的受迫振动2.2周期鼓舞下的受迫振动周期鼓舞下的振动方程2.2.2振动方程及其解变为利用上节简谐鼓舞的响应可得到2.2周期鼓舞下的受迫振动其中无阻尼系统在周期鼓舞作用下的响应2.2周期鼓舞下的受迫振动其中复数形式2.2周期鼓舞下的受迫振动系数为(n=0,±1,±2,…)F(t)定义在[－T/2,T/2]F(t)定义在[0,T]复数形式方程2.2周期鼓舞下的受迫振动解为其中H(nw)为对应于频率为nw的复频率响应函数2.1简谐鼓舞下的受迫振动例题2.15求无阻尼系统在图示周期鼓舞下的稳态响应。解：激振力函数为2.1简谐鼓舞下的受迫振动

F为奇函数，可以只在半周期内积分，也可以在0～T积分，而an＝0。在0～T积分时：2.1简谐鼓舞下的受迫振动在半周期内积分时：最终结果均为：作业：T2.14代入公式即可得出响应。本节利用数学的卷积分方法求解任意激振力作用下的响应。其根本思想是将任意激振力表示为无限多个常力之和，通过积分计算响应。2.3任意鼓舞下的受迫振动

卷积分方法2.3任意鼓舞下的受迫振动定义阶跃函数或称单位台阶函数为2.3任意鼓舞下的受迫振动2.3.1阶跃函数H0(t)tO1此函数无量刚，在t＝0处有跳动。类似地，假设在t＝a处有跳动，函数可写为H0(t－a)。2.3任意鼓舞下的受迫振动H0(t-a)tO1ad-函数〔Dirac函数〕或称单位脉冲函数的数学定义为2.3任意鼓舞下的受迫振动2.3.2d-函数OtOt1同样可定义t＝a时的单位脉冲函数2.3任意鼓舞下的受迫振动Ota单位脉冲函数的重要性质：2.3任意鼓舞下的受迫振动单位脉冲鼓舞下系统的运动微分方程为2.3任意鼓舞下的受迫振动2.3.3单位脉冲响应函数设初始条件为0，在Dt＝e内对方程两端积分得而2.3任意鼓舞下的受迫振动〔动量的突变〕〔时间极短，位移无变化〕因此2.3任意鼓舞下的受迫振动说明系统受到脉冲鼓舞后速度发生突变，而位置不变。即获得了初始速度，然后作自由衰减振动。利用上章的公式计算振幅和相位2.3任意鼓舞下的受迫振动于是得到系统对单位脉冲鼓舞的响应为明显对t＝a处的单位脉冲鼓舞的响应为

h(t)和h(t－a)称为单位脉冲响应函数，或简称脉冲响应函数。2.3任意鼓舞下的受迫振动无阻尼系统对单位脉冲鼓舞的响应为对t＝a处的单位脉冲鼓舞的响应为设有图示任意鼓舞F(t)，在时间区间[0,t]内的作用可视为一系列脉冲F(t)dt连续作用叠加而成。2.3任意鼓舞下的受迫振动2.3.4任意鼓舞的响应在任意瞬时t=t处，大小为F(t)dt的脉冲可用d-函数表示为F(t)dtd(t-t)，相应的响应为dx=F(t)dth(t-t)。因而系统对F(t)的总响应为2.3任意鼓舞下的受迫振动这就是系统对任意鼓舞F(t)的零初值响应。称为杜哈美〔Duhamel〕积分。1.阶跃鼓舞2.3任意鼓舞下的受迫振动2.3.5几种常见鼓舞的响应利用杜哈美积分可求得2.3任意鼓舞下的受迫振动特殊地，假设F0＝1，则上式就成为单位台阶函数H0(t)的零初值响应单位脉冲响应函数h(t)和单位台阶函数的响应g(t)之间有下面的关系2.3任意鼓舞下的受迫振动2.斜坡载荷鼓舞F(t)＝at2.3任意鼓舞下的受迫振动3.指数衰减函数鼓舞F(t)＝F0e-at2.3任意鼓舞下的受迫振动无阻尼系统的任意鼓舞零初值响应杜哈美积分阶跃鼓舞斜坡鼓舞指数鼓舞2.3任意鼓舞下的受迫振动

例T1.8

图示系统，质量为m1的物体从高h处自由落下，与悬挂在弹簧k下的质量m2碰撞后一起作微幅振动，求振动的固有频率和响应。2.3任意鼓舞下的受迫振动

分析：碰撞前系统静止，碰撞后两个质量一起振动。

解：以静平衡位置为坐标原点建立方程而则固有频率2.3任意鼓舞下的受迫振动利用动量定理计算碰撞后的初始速度即开头振动时的初始条件为由此初始条件引起的响应为2.3任意鼓舞下的受迫振动利用杜哈美积分计算m1g引起的响应〔即阶跃函数的响应〕则总响应为2.3任意鼓舞下的受迫振动例2.5求无阻尼振动系统在图示矩形脉冲鼓舞作用的零初值响应。解：激振力函数为F(t)tOF0T解法1：

直接利用杜哈美积分。

t在[0,T]内就是阶跃函数的响应2.3任意鼓舞下的受迫振动t在[T,∞)内：2.3任意鼓舞下的受迫振动因而响应为：或写为：2.3任意鼓舞下的受迫振动

解法2：利用两个阶跃激振力叠加，将其写为下面的形式：直接利用阶跃函数鼓舞的响应得到：2.3任意鼓舞下的受迫振动例2.4

求无阻尼振动系统在图示三角形波干扰力作用下的零初值响应。2.3任意鼓舞下的受迫振动

解：激振力函数为2.3任意鼓舞下的受迫振动解法1：

直接利用杜哈美积分。在[0,t1]内：2.3任意鼓舞下的受迫振动在[t1,t2]内：2.3任意鼓舞下的受迫振动在t2以后：解法2：

见书。作业：T2.9，26根底运动引起的强迫振动在工程中常常遇到。设根底的位移为y，质量的位移为x2.6单自由度振动理论的工程应用2.6工程应用根底运动引起的强迫振动则系统的振动微分方程为2.6工程应用假设令相对位移x1=x－y，则用x表示的方程适用于根底运动以位移形式给出;而用x1表示的方程适用于根底运动以速度或加速度形式给出，这时求出的是相对运动x1。例2.8求振动系统受y=Ysinwt的根底运动引起的响应。解：方程为2.6工程应用直接代公式即可求出由kYsinwt和cwYcoswt引起的总响应:2.6工程应用总振幅为根底的运动不但对系统响应有影响,而且系统也同样将力通过弹簧和阻尼传递给根底。为了削减根底和系统之间的相互作用和影响而实行的有效措施称为隔振。隔振有主动隔振和被动隔振。1.主动隔振把振源与根底隔离开来以削减振源对四周的影响而实行的措施叫做主动隔振。2.6工程应用2.6.2隔振主动隔振的目的就是削减振源传递给根底的力，主要措施就是在机器〔振源〕和根底之间安装柔性支撑〔弹簧〕和阻尼器，其理论模型就是类似根底运动这样的典型构造。2.6工程应用经隔振装置〔即前面的模型〕，振动系统传递到根底上的力为2.6工程应用其最大值为设激振力为简谐形式F0sinwt，将传递到根底上力的幅值与激振力幅值的比值定义为评价主动隔振效果的指标——力传递系数，或称力传递率2.6工程应用2.被动隔振为了削减外界振动〔如根底运动〕对设备的影响而实行的隔振措施叫做被动隔振。被动隔振的目的就是减小系统响应的振幅。将根底运动引起系统的振幅与根底振幅的比值定义为评价被动隔振的指标——位移传递系数Tr，或称位移传递率，则2.6工程应用3.隔振效果争论由于力传递系数TF和位移传递系数Tr完全一样，所以在设计主动隔振和被动隔振装置时所遵循的准则是一样的。可以画出传递率与频率比的关系图。2.6工程应用由关系图和传递率的公式得知：〔1〕当g→0即w→0和g→1.414时，传递率为1，与阻尼无关，无振动产生；〔2〕当g→1时，为共振区，无隔振效果；〔3〕当g>1.414时，传递率减小，隔振效果明显，且阻尼越小，效果越好，但假设阻尼过小，经过隔振区时将产生过大的振动。2.6工程应用2.3任意鼓舞下的受迫振动例T2.12弹簧质量系统放在箱子中,箱子从高h处自由落下。求〔1〕箱子下落过程中,质量块相对箱子的运动x;〔2〕箱子落地后传到地面的最大压力。2.3任意鼓舞下的受迫振动解：