高三北师大版数学（理）一轮导学案 2.6 对数与对数函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学案8对数与对数函数导学目标：1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用。2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点,知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数（a>0,a≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．对数的定义如果________________,那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，______叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质(a>0且a≠1）①＝____； ②＝____；③＝____; ④＝____。（2）对数的重要公式①换底公式：logbN＝________________(a，b均大于零且不等于1）；②＝，推广＝________。（3）对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga（MN)＝___________________________；②logaeq\f（M,N）＝______________________;③logaMn＝__________(n∈R）；④＝eq\f(n,m）logaM。3．对数函数的图象与性质a>10〈a<1图象性质（1）定义域：______(2)值域：______（3）过点______,即x＝____时，y＝____（4)当x>1时，______当0〈x〈1时，______（5）当x〉1时，______当0〈x〈1时，______（6）是（0,＋∞)上的______函数（7）是(0,＋∞)上的______函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数____________互为反函数，它们的图象关于直线______对称．自我检测1．（2010·四川)2log510＋log50.25的值为 (）A．0 B．1 C．2 D．42．（2010·辽宁）设2a＝5b＝m，且eq\f（1,a)＋eq\f(1,b）＝2，则m的值为 （）A.eq\r（10） B．10 C．20 D．1003．（2009·辽宁)已知函数f（x）满足：当x≥4时,f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)x；当x〈4时，f（x)＝f（x＋1)．则f(2＋log23）的值为 ()A。eq\f(1，24) B.eq\f(1，12） C。eq\f（1,8) D.eq\f（3,8）4．（2010·安庆模拟)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f（eq\f(1，3)）＝0，则满足>0的x的取值范围是 （)A．（0，＋∞） B．(0，eq\f(1，2））∪(2，＋∞）C．(0，eq\f（1，8))∪(eq\f(1，2），2） D．（0，eq\f(1，2)）5．(2011·台州期末)已知0<a<b〈1<c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是______。探究点一对数式的化简与求值例1计算：(1)；（2）eq\f（1，2)lgeq\f(32，49）－eq\f(4，3)lgeq\r（8)＋lgeq\r(245）;(3)已知2lgeq\f(x－y,2）＝lgx＋lgy，求.变式迁移1计算:（1）log2eq\r(\f(7，48）)＋log212－eq\f(1，2)log242－1；(2)（lg2）2＋lg2·lg50＋lg25。探究点二含对数式的大小比较例2(1)比较下列各组数的大小．①log3eq\f(2,3）与log5eq\f（6,5)；②log1.10.7与log1。2(2)已知logeq\f（1,2）b<logeq\f(1,2）a<logeq\f(1,2）c，比较2b,2a，2c的大小关系．变式迁移2(1）（2009·全国Ⅱ）设a＝log3π，b＝log2eq\r（3)，c＝log3eq\r（2），则 （)A．a>b>c B．a〉c〉bC．b〉a〉c D．b〉c〉a（2)设a，b，c均为正数,且2a＝,（eq\f(1,2））b＝，(eq\f(1,2)）c＝log2c,则 （）A．a〈b〈c B．c〈b<a0C．c<a〈b D．b〈a<c探究点三对数函数的图象与性质例3已知f(x）＝logax(a〉0且a≠1），如果对于任意的x∈［eq\f（1,3），2]都有｜f(x)｜≤1成立,试求a的取值范围．变式迁移3（2010·全国Ⅰ)已知函数f(x）＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f（b），则a＋2b的取值范围是 (）A．(2eq\r(2），＋∞） B．［2eq\r（2)，＋∞)C．（3，＋∞) D．［3，＋∞)分类讨论思想的应用例（12分)已知函数f(x）＝loga（1－ax）(a>0，a≠1）．(1)解关于x的不等式:loga（1－ax）>f(1）;（2)设A(x1，y1)，B(x2，y2）（x1≠x2)是f（x)图象上的两点,求证:直线AB的斜率小于0.【答题模板】（1）解∵f(x)＝loga(1－ax),∴f(1)＝loga(1－a)．∴1－a>0.∴0<a<1.∴不等式可化为loga(1－ax)>loga（1－a)．∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1－ax>0，,1－ax<1－a。）)，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(ax<1，,ax>a.））∴0<x<1.∴不等式的解集为（0,1）．[4分](2）证明设x1〈x2，则f（x2）－f（x1)＝－＝。∵1－ax>0，∴ax〈1.∴a>1时，f（x）的定义域为（－∞，0)；［6分］0<a<1时，f(x）的定义域为（0，＋∞）．当0<a<1时,∵x2〉x1>0，∴<.∴>1.∴<0.∴f(x2)<f(x1)，即y2<y1.同理可证，当a〉1时,也有y2<y1。[10分]综上：y2<y1，即y2－y1<0.∴kAB＝eq\f(y2－y1，x2－x1)〈0。∴直线AB的斜率小于0.[12分]【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a的分类讨论，即a>1或0<a〈1，其次要看定义域，如果将函数变换,务必保证等价性．1．求解与对数函数有关的复合函数的单调性的步骤：(1）确定定义域;(2）弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g（x）;(3）分别确定这两个函数的单调区间；（4)若这两个函数同增或同减，则y＝f（g(x))为增函数,若一增一减,则y＝f(g(x））为减函数，即“同增异减”．2．用对数函数的性质比较大小（1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较logaf（x)与logag(x）的大小，其中a〉0且a≠1.①若a>1,则logaf(x）>logag（x)⇔f（x)>g(x）〉0。②若0〈a<1，则logaf（x)>logag(x）⇔0〈f（x)<g（x）．(2）同真数的对数值大小关系如图：图象在x轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c<d〈1<a<b.3．常见对数方程式或对数不等式的解法(1）形如logaf(x）＝logag(x）(a〉0且a≠1)等价于f（x)＝g(x),但要注意验根．对于logaf(x)>logag（x）等价于0<a<1时，a>1时，(2)形如F（logax）＝0、F（logax)>0或F（logax)〈0，一般采用换元法求解．（满分：75分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．（2010·北京市丰台区高三一调）设M＝｛y｜y＝(eq\f(1,2）)x,x∈［0,＋∞)｝，N＝｛y|y＝log2x，x∈（0,1］｝，则集合M∪N等于 (）A．(－∞,0）∪［1,＋∞) B．［0，＋∞)C．(－∞,1］ D．(－∞，0)∪(0,1）2．（2010·全国Ⅰ)设a＝log32，b＝ln2，c＝5－eq\f(1，2),则 （)A．a〈b<c B．b〈c<aC．c<a〈b D．c〈b〈a3．(2010·天津)若函数f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(log2x，x〉0，，log\f(1,2)（－x），x<0，)）若f（a）>f（－a)，则实数a的取值范围是(）A．（－1,0）∪(0,1） B．(－∞，－1）∪（1，＋∞)C．(－1,0)∪（1，＋∞) D．(－∞，－1）∪（0，1)4．(2011·济南模拟)设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x）＝f（x），且当x≥1时，f(x)＝lnx,则有（)A．f(eq\f（1，3）)<f(2）〈f（eq\f(1,2）)B．f（eq\f(1，2)）〈f(2）〈f(eq\f（1,3））C．f(eq\f（1，2))〈f（eq\f（1，3））〈f（2)D．f（2)〈f(eq\f(1，2)）<f（eq\f（1,3））5．（2011·青岛模拟)已知函数f(x）＝ax＋logax（a>0，a≠1)在[1,2］上的最大值与最小值之和为loga2＋6,则a的值为 ()A.eq\f(1,2) B。eq\f(1，4） C．2 D．4题号12345答案二、填空题(每小题4分,共12分)6．2lg5＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋lg22＝________.7．（2011·湖南师大附中检测)已知函数f(x）＝lgeq\f(ax＋a－2,x）在区间［1，2］上是增函数，则实数a的取值范围是____________．8．已知f（3x)＝4xlog23＋233,则f（2）＋f（4）＋f(8)＋…＋f（28）＝________.三、解答题（共38分)9．（12分）已知f（x）＝2＋log3x，x∈［1，9］，求y＝[f（x)］2＋f（x2）的最大值及y取最大值时x的值．10．(12分）（2011·北京东城1月检测)已知函数f(x）＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.（1)求f(x）的定义域；(2）判断f(x)的奇偶性并予以证明；（3）若a〉1时,求使f（x）>0的x的解集．11．(14分)(2011·郑州模拟）已知函数f（x)＝lg（ax－bx)(a〉1〉b〉0)．(1）求y＝f（x)的定义域;（2）在函数y＝f（x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴;(3）当a，b满足什么条件时，f(x)在（1，＋∞）上恒取正值．答案自主梳理1．ax＝N（a>0，且a≠1)x＝logaNaN2。（1）①N②0③N④1（2)①eq\f(logaN，logab)②logad(3)①logaM＋logaN②logaM－logaN③nlogaM3。(1)(0,＋∞)（2)R（3)(1,0）10(4)y>0y〈0（5)y<0y>0 (6）增（7)减4.y＝logaxy＝x自我检测1．C2.A3．A［因为3<2＋log23<4，故f（2＋log23)＝f(2＋log23＋1)＝f（3＋log23）．又3＋log23〉4，故f（3＋log23）＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2))）3＋log23＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3·eq\f（1,3）＝eq\f(1，24）。］4．B［由题意可得：f（x）＝f(－x）＝f（|x｜），f（|logeq\f(1，8)x｜)>f（eq\f（1,3)），f（x）在［0，＋∞)上递增，于是｜logeq\f（1,8）x｜>eq\f（1,3)，解得x的取值范围是（0，eq\f(1,2)）∪（2,＋∞)．］5．m>n解析∵m<0,n<0，∵eq\f（m，n）＝logac·logcb＝logab〈logaa＝1,∴m〉n.课堂活动区例1解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解(1)方法一利用对数定义求值:设＝x，则（2＋eq\r(3)）x＝2－eq\r（3）＝eq\f（1，2＋\r(3））＝（2＋eq\r(3))－1，∴x＝－1。方法二利用对数的运算性质求解:＝＝＝－1.(2）原式＝eq\f(1,2）(lg32－lg49）－eq\f（4,3）lg8eq\f（1，2）＋eq\f（1,2)lg245＝eq\f（1,2）（5lg2－2lg7）－eq\f(4,3）×eq\f（3，2)lg2＋eq\f（1,2）（2lg7＋lg5）＝eq\f(5，2）lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f（1,2）lg5＝eq\f（1,2)lg2＋eq\f（1,2)lg5＝eq\f（1,2)lg（2×5）＝eq\f（1,2)lg10＝eq\f(1，2）.(3)由已知得lg（eq\f（x－y,2））2＝lgxy,∴（eq\f(x－y，2))2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0。∴（eq\f(x，y）)2－6（eq\f(x,y）)＋1＝0。∴eq\f(x，y）＝3±2eq\r(2).∵eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y〉0，，x>0,，y〉0，)）∴eq\f（x,y）>1，∴eq\f(x,y)＝3＋2eq\r(2)，∴log（3－2eq\r（2))eq\f（x，y）＝log（3－2eq\r（2))(3＋2eq\r(2）)＝logeq\o\al(,3－2\r（2)）eq\f(1,3－2\r（2））＝－1。变式迁移1解（1）原式＝log2eq\f（\r(7）,\r（48))＋log212－log2eq\r（42)－log22＝log2eq\f(\r(7)×12,\r（48)×\r(42)×2)＝log2eq\f(1，2\r（2））＝log22－eq\f（3，2)＝－eq\f(3,2）。(2）原式＝lg2·(lg2＋lg50)＋lg25＝21g2＋lg25＝lg100＝2。例2解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解(1)①∵log3eq\f(2，3)<log31＝0，而log5eq\f（6,5)>log51＝0，∴log3eq\f(2，3)<log5eq\f（6,5).②方法一∵0<0.7<1,1。1〈1.2,∴0〉log0。71.1>log0。71.2。∴eq\f（1，log0。71.1)<eq\f(1，log0。71.2）,由换底公式可得log1。10.7〈log1.2方法二作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0。7相交可知log1.10.7<log1。2(2）∵y＝logeq\f（1,2）x为减函数，且logeq\f（1,2)b<logeq\f(1，2）a<logeq\f(1,2)c,∴b〉a>c.而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2变式迁移2（1)A[a＝log3π〉1，b＝eq\f（1,2）log23，则eq\f(1,2)<b〈1，c＝eq\f(1,2)log32<eq\f（1，2），∴a〉b>c。］(2)A[∵a，b，c均为正，∴logeq\f（1，2)a＝2a〉1，logeq\f(1，2)b＝(eq\f（1,2)）b∈(0，1)，log2c＝(eq\f(1，2）)c∈(0,1）．∴0〈a〈eq\f（1,2）,eq\f（1,2)〈b<1,1〈c〈2。故a<b<c.］例3解题导引本题属于函数恒成立问题,即对于x∈[eq\f(1,3)，2]时，｜f（x）|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a为参数，需对a分类讨论．解∵f（x)＝logax,则y＝|f(x)｜的图象如右图．由图示，可使x∈［eq\f（1,3)，2]时恒有|f（x)｜≤1，只需|f(eq\f（1,3）)｜≤1，即－1≤logaeq\f(1，3）≤1,即logaa－1≤logaeq\f（1，3)≤logaa，亦当a>1时，得a－1≤eq\f（1，3)≤a，即a≥3；当0<a<1时，得a－1≥eq\f(1,3）≥a,得0<a≤eq\f（1,3）.综上所述，a的取值范围是（0,eq\f(1,3)]∪[3，＋∞)．变式迁移3C［画出函数f（x）＝｜lgx|的图象如图所示．∵0<a<b,f(a）＝f（b),∴0〈a<1，b〉1，∴lga<0,lgb>0。由f（a)＝f（b),∴－lga＝lgb，ab＝1.∴b＝eq\f（1，a)，∴a＋2b＝a＋eq\f（2，a)，又0<a〈1，函数t＝a＋eq\f(2，a）在(0,1）上是减函数，∴a＋eq\f(2,a)〉1＋eq\f（2，1）＝3，即a＋2b〉3.］课后练习区1．C［∵x≥0,∴y＝(eq\f（1,2））x∈(0，1］，∴M＝（0,1]．当0〈x≤1时，y＝log2x∈(－∞,0]，即N＝(－∞，0］．∴M∪N＝(－∞，1]．]2．C[∵eq\f（1,a）＝log23>1，eq\f(1，b）＝log2e〉1,log23〉log2e.∴eq\f（1,a）〉eq\f(1，b)>1,∴0〈a〈b<1。∵a＝log32>log3eq\r(3)＝eq\f（1，2），∴a〉eq\f(1，2）.b＝ln2>lneq\r(e）＝eq\f(1，2)，∴b>eq\f(1,2）.c＝5－eq\f（1，2)＝eq\f（1，\r（5））<eq\f（1，2)，∴c<a〈b.］3．C［①当a〉0时，f(a）＝log2a，f（－a)＝，f(a）〉f(－a)，即log2a>＝log2eq\f(1，a)，∴a>eq\f(1，a），解得a>1。②当a〈0时，f(a）＝，f（－a）＝log2(－a）,f(a）>f（－a），即>log2(－a）＝，∴－a<eq\f(1，－a)，解得－1<a<0，由①②得－1〈a<0或a>1。］4．C[由f(2－x）＝f（x)知f（x）的图象关于直线x＝eq\f(2－x＋x,2)＝1对称，又当x≥1时，f（x）＝lnx，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，∵|2－1｜>|eq\f(1,3)－1｜>|eq\f（1，2）－1|，∴f(eq\f(1，2)）〈f（eq\f（1,3))〈f(2）．］5．C[当x〉0时，函数ax，logax的单调性相同，因此函数f(x）＝ax＋logax是(0，＋∞)上的单调函数,f(x)在［1,2]上的最大值与最小值之和为f（1)＋f(2)＝a2＋a＋loga2，由题意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2。即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3（舍去)．］6．37．(1,2)解析因为f(x）＝lgeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a＋\f(a－2，x））)在区间［1，2]上是增函数，所以g(x）＝a＋eq\f(a－2,x)在区间［1,2］上是增函数,且g(1）>0,于是a－2<0，且2a－2>0,即1<a〈2。8．2008解析令3x＝t,f（t）＝4log2t＋233，∴f（2）＋f(4）＋f（8)＋…＋f(28)＝4×（1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1864＝2008。9．解∵f(x)＝2＋log3x,∴y＝[f(x）］2＋f(x2)＝(2＋log3x）2＋2＋log3x2＝logeq\o\al(2，3）x＋6log3x＋6＝（log3x＋3)2－3.……(4分）∵函数f（x）的定义域为[1,9],∴要使函数y＝[f(x）］2＋