2023-2024学年江苏省百校联考高二数学第一学期期末联考试题含解析

2023-2024学年江苏省百校联考高二数学第一学期期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的右焦点为F，则点F到其一条渐近线的距离为（）A.1 B.2C.3 D.42．已知实数x，y满足，则的最大值为（）A. B.C.2 D.13．曲线上的点到直线的距离的最小值是（）A.3 B.C.2 D.4．已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. B.C. D.5．已知，，，若，，共面，则λ等于（）A. B.3C. D.96．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID—19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p=p0时，f（p）最大，则p0=（）A. B.C. D.7．设,,,则,,大小关系为A. B.C. D.8．已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为（）A B.C. D.9．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于（）A.8 B.10C.16 D.3210．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()A. B.C. D.11．已知公比不为1的等比数列，其前n项和为，，则（）A.2 B.4C.5 D.2512．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，，则四棱锥体积为_______14．沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________.15．设等差数列的前项和为，若，，则______16．曲线在点处的切线方程为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，，，用向量表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值18．（12分）某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米（1）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（2）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?19．（12分）已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.20．（12分）已知等差数列满足，，的前项和为.（1）求及；（2）令，求数列的前项和.21．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值22．（10分）在等差数列中，，.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由双曲线方程可写出右焦点坐标，再写一渐近线方程，根据点到直线的距离公式可得答案.【详解】双曲线的右焦点F坐标为，根据双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为，故点F到渐近线的距离为，故选：A2、A【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求出的最大值.【详解】作出可行域如图所示，由可知，此直线可用由直线平移得到，求的最大值，即直线的截距最大，当直线过直线的交点时取最大值，即故选：3、D【解析】求出函数的导函数，设切点为，依题意即过切点的切线恰好与直线平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是；故选：D4、B【解析】根据和可求得，结合等差数列通项公式可求得.【详解】设等差数列公差为，由得：；又，，.故选：B.5、C【解析】由，，共面，设，列方程组能求出λ的值【详解】∵，，共面，∴设(实数m、n)，即，∴，解得故选：C6、A【解析】解设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，则，再利用基本不等式法求解.【详解】解：设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，则，，所以，令，则，，当且仅当，即时，等号成立，即，故选：A7、C【解析】由,可得,,故选C.考点：指数函数性质8、A【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.【详解】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，易知，当三点共线时，取得最小值，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即：.故选：A.注意:9至12题为多选题9、C【解析】根据和为方程两根，得到，然后再利用等比数列的性质求解.【详解】因为和为方程的两根，所以，又因为数列是等比数列，所以，故选：C10、A【解析】已知，,2成等差数列,得到，化简得到【详解】已知，,2成等差数列,得到，化简得到可知是焦点在x轴上的抛物线的一支.故答案为A.【点睛】这个题目考查的是对数的运算以及化简公式的应用，也涉及到了轨迹的问题，求点的轨迹，通常是求谁设谁，再根据题干将等量关系转化为代数关系，从而列出方程，化简即可.11、B【解析】设等比数列的公比为，根据求得，从而可得出答案.【详解】解：设等比数列的公比为，则，所以，则.故选：B.12、C【解析】，故，即，故渐近线方程为.【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】计算，，得到底面，计算，，计算体积得到答案.【详解】由，，所以底面，，故，体积为.故答案为：16.14、33【解析】根据分层抽样的性质进行求解即可.【详解】因为抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，所以有，故答案为：3315、77【解析】依题意利用等差中项求得，进而求得.【详解】依题意可得，则，故故答案为：77.16、【解析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【详解】由题，当时，，故点在曲线上求导得：，所以故切线方程为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详解】，因为，同理可得，所以【小问2详解】因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为18、（1)1600,（平方米）；（2）池底设计为边长40米的正方形时总造价最低，最低造价为268800元.【解析】（1）根据题意，由于修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米可得底面积为1600，池壁面积s=.（2）同时池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元设池底长方形长为x米，则可知总造价s=,x=40时，则.故可知当x=40时，则有可使得总造价最低,最低造价是268800元.考点：不等式求解最值点评：主要是考查了不等式求解最值的运用，属于基础题.19、（1）（2）【解析】（1）由抛物线的几何性质有焦点到顶点的距离为，从而即可求解；（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，联立抛物线的方程，由韦达定理及两点间的斜率公式即可求解.【小问1详解】解：依题意，，解得，∴抛物线的方程为；【小问2详解】解：当直线的斜率不存在时，直线与抛物线仅有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，，，由消去可得，∵直线交抛物线于不同的两点，∴，由韦达定理得，∴.20、（1），；（2）.【解析】（1）根据等差数列的通项公式及已知条件，，解方程组可得，，进而可得等差数列的通项公式，再利用等差数列的前项和公式可得；（2）将数列的通项公式代入可得的通项公式，利用错位相减法求和可得结果.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由于，，所以，，解得，，所以，；（2）因为，所以，故，，两式相减得，所以.【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.21、（1）证明见解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，则，所以，，，，由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，所