2023-2024学年浙江省宁波市咸祥中学高二上数学期末监测试题含解析

2023-2024学年浙江省宁波市咸祥中学高二上数学期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知经过两点（5，m）和（m，8）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A.5 B.8C. D.72．定义运算：．已知，都是锐角，且，，则（）A. B.C. D.3．为了解义务教育阶段学校对双减政策的落实程度，某市教育局从全市义务教育阶段学校中随机抽取了6所学校进行问卷调查，其中有4所小学和2所初级中学，若从这6所学校中再随机抽取两所学校作进一步调查，则抽取的这两所学校中恰有一所小学的概率是（）A. B.C. D.4．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递减C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值5．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A. B.－C. D.6．如图，椭圆的右焦点为，过与轴垂直的直线交椭圆于第一象限的点，点关于坐标原点的对称点为，且，，则椭圆方程为（）A. B.C. D.7．直线的倾斜角为（）A.1 B.－1C. D.8．已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（）A.2 B.C. D.39．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A.2 B.6C.4 D.1210．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝28，则a4＝（）A.4 B.7C.8 D.1411．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A. B.C. D.12．已知不等式解集为，下列结论正确的是（）A. B.C D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点为，点在上，且，则______14．已知圆C：和点，若点N为圆C上一动点，点Q为平面上一点且，则Q点纵坐标的最大值为______15．正四棱柱中，，，点为底面四边形的中心，点在侧面四边形的边界及其内部运动，若，则线段长度的最大值为__________16．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）2017年国家提出乡村振兴战略目标：2020年取得重要进展，制度框架和政策体系基本形成；2035年取得决定性进展，农业农村现代化基本实现；2050年乡村全面振兴，农业强、农村美、农民富全面实现．某地为实现乡村振兴，对某农产品加工企业调研得到该企业2012年到2020年盈利情况：年份201220132014201520162017201820192020年份代码x123456789盈利y（百万）6.06.16.26.06.46.96.87.17.0（1）根据表中数据判断年盈利y与年份代码x是否具有线性相关性；（2）若年盈利y与年份代码x具有线性相关性，求出线性回归方程并根据所求方程预测该企业2021年年盈利（结果保留两位小数）参考数据及公式：，，，，，统计中用相关系数r来衡量变量y，x之间的线性关系的强弱，当时，变量y，x线性相关18．（12分）如图，四棱锥中，，且，（1）求证：平面平面；（2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知公差不为0的等差数列满足：且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前n项和，求证是等差数列20．（12分）设函数，其中，为自然对数的底数.(1)讨论单调性；(2)证明：当时，.21．（12分）如图，正方体的棱长为4，E，F分别是上的点，且.（1）求与平面所成角的正切值；（2）求证：.22．（10分）已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2（1）求直线l的方程；（2）设x轴上关于y轴对称的两点P、Q，（其中P在Q的右侧），过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：始终被x轴平分

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据斜率的公式直接求解即可.【详解】由题可知,,解得.故选：C【点睛】本题主要考查了两点间斜率的计算公式,属于基础题.2、B【解析】，只需求出与的正、余弦值即可，用平方关系时注意角的范围.【详解】解：因为，都是锐角，所以，，因为，所以，即，，所以，，因为，所有，故选：B.【点睛】信息给予题，已知三角函数值求三角函数值，考查根据三角函数的恒等变换求值，基础题.3、A【解析】由组合知识结合古典概型概率公式求解即可.【详解】从这6所学校中随机抽取两所学校的情况共有种，这两所学校中恰有一所小学的情况共有种，则其概率为.故选：A4、C【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；根据函数的导数图象，函数在时，，故函数在区间上单调递减，故正确；由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，故函数处取得极小值，故正确，故选：5、B【解析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故选：B【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).6、C【解析】连结，设，则，，由可求出，进而可求出，得出椭圆方程.【详解】由题意设椭圆的方程：，设左焦点为，连结，由椭圆的对称性易得四边形为平行四边形，由得，又，设，则，，又，解得，又由，，解得，，，则椭圆的方程为.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆的标准方程求解及椭圆的简单几何性质，在求解椭圆标准方程时，关键是求解基本量，，.7、C【解析】根据直线斜率的定义即可求解.【详解】，斜率为1，则倾斜角为.故选：C.8、C【解析】根据，（且），利用累加法求得，再根据恒成立求解.【详解】因为数列满足，，（且）所以，，，，因为恒成立，所以，则M的最小值是，故选：C9、C【解析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，A是椭圆一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，由椭圆定义得，所以的周长故选：C10、A【解析】由等差数列的性质可知，再代入等差数列的前项和公式求解.【详解】数列{an}是等差数列，，那么，所以.故选：A.【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和，属于基础题型.11、B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12、C【解析】根据不等式解集为，得方程解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.【详解】解：因为不等式解集为，所以方程的解为或，且，所以，所以，所以，故ABD错误；，故C正确.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由抛物线的焦半径公式可求得的值.【详解】抛物线的准线方程为，由抛物线的焦半径公式可得，解得.故答案为：.14、【解析】设出点N的坐标，探求出点Q的轨迹，再求出轨迹上在x轴上方且距离x轴最远的点的纵坐标表达式，借助函数最值计算作答.【详解】圆C：的圆心，半径，圆C与x轴相切，依题意，点M在圆C上，设点，则，线段MN中点，因，则点Q的轨迹是以线段MN为直径的圆(除点M，N外)，这个轨迹在x轴上方，于是得这个轨迹上的点到x轴的最大距离为：令，于是得，当，即时，，所以Q点纵坐标的最大值为.故答案为：【点睛】结论点睛：圆上的点到定直线距离的最大值等于圆心到该直线距离加半径.15、【解析】根据正四棱柱的性质、矩形的性质，线面垂直的判定定理，结合勾股定理进行求解即可.【详解】当位于点时，因为是正方形，所以，由正四棱柱的性质可知，平面，因为平面，所以，因为平面，所以平面，平面，所以，因此当位于点时，满足题意，当点位于边点时，若，在矩形中，,因为，所以，因此，所以有，此时，又平面，所以平面，故点的轨迹在线段上，，所以线段长度的最大值为.故答案为：关键点睛：利用特殊点判断出点的轨迹是解题的关键.16、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）年盈利y与年份代码x具有线性相关性（2），7.25百万元【解析】（1）根据表中的数据和提供的公式计算即可；（2）先求线性回归方程，再代入计算即可【小问1详解】由表中的数据得，，，，因为，所以年盈利y与年份代码x具有线性相关性【小问2详解】，，，当时，，该企业2021年年盈利约为7.25百万元18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角定义进行求解即可.【小问1详解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小问2详解】∵平面平面，交AD于点F，平面，平面平面，∴平面，以为原点，，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，求得法向量为，由，所以直线与平面所成角的正弦值为.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)根据等比中项的应用可得，结合等差数列的定义和求出公差，进而得出通项公式；(2)根据等差数列前n项求和公式可得，结合等差数列定义即可证明.【小问1详解】设等差数列的公差为()，由成等比数列，得，又，所以，解得，所以；【小问2详解】由(1)可得，所以，有，故，又，所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列.20、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）求导数，分和，两种情况讨论，即可求得的单调性；（2）令，利用导数求得单调递增，结合，得到，进而证得.【详解】（1）由函数，可得，当时，，在内单调递减；当时，由有，当时，，单调递减；当时，，单调递增.(2)证明：令，则，当时，，单调递增，因为，所以，即，当时，可得，即【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)在正方体中，平面，连接，则为与平面所成的角，在直角三角形，求出即可；(2)∵是正方体，又是空间垂直问题，∴易采用向量法，∴建立如图所示的空间直角