2023-2024学年天一大联考海南省数学高二上期末联考试题含解析

2023-2024学年天一大联考海南省数学高二上期末联考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在直三棱柱中，且，点E为中点．若平面过点E，且平面与直线AB所成角和平面与平面所成锐二面角的大小均为30°，则这样的平面有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个2．已知点到直线：的距离为1，则等于（）A. B.C. D.3．设R，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知向量，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（）A.2个极大值，1个极小值 B.1个极大值，1个极小值C.1个极大值，2个极小值 D.1个极大值，无极小值6．已知椭圆经过点，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（）A. B.C. D.7．某学校的校车在早上6：30，6：45，7：00到达某站点，小明在早上6：40至7：10之间到达站点，且到达的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是（）A. B.C. D.8．已知，若，则（）A. B.2C. D.e9．某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女教师最多为1人的选法种数为（）A.10 B.30C.40 D.4610．某海关缉私艇在执行巡逻任务时，发现其所在位置正西方向20nmile处有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏东30°的方向逃窜，若缉私艇突然发生机械故障，20min后才以的速度开始追赶，则在走私船只不改变航向和速度的情况下，缉私艇追上走私船只的最短时间为（）A.1h B.C. D.11．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最小值为（）A B.C. D.412．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则（）A.16 B.C.14 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．同时掷两枚骰子，则点数和为7的概率是__________.14．设为第二象限角，若，则__________15．瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______16．给出下列命题：①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；③若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直.其中所有正确命题的序号为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知复数，其中i是虚数单位，m为实数（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围18．（12分）（1）已知：函数有零点；：所有的非负整数都是自然数.若为假，求实数的取值范围；（2）已知：；：.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19．（12分）如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，（1）证明：；（2）若点E是棱的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值20．（12分）已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.（1）求的方程；（2）是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21．（12分）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B（1）求集合A，B；（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围22．（10分）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】构造出长方体，取中点连接然后利用临界位置分情况讨论即可.【详解】如图，构造出长方体，取中点，连接则所有过点与成角的平面，均与以为轴的圆锥相切，过点绕且与成角，当与水平面垂直且在面的左侧（在长方体的外面）时，与面所成角为75°（与面成45°，与成30°），过点绕旋转，转一周，90°显然最大，到了另一个边界（在面与之间）为15度，即与面所成角从75°→90°→15°→90°→75°变化，此过程中，有两次角为30

，综上，这样的平面α有2个，故选：B.2、D【解析】利用点到直线的距离公式，即可求得参数的值.【详解】因为点到直线：的距离为1，故可得，整理得，解得.故选：.3、A【解析】根据不等式性质判断即可.【详解】若“”，则成立；反之，若，当，时，不一定成立.如，但.故“”是“”的充分不必要条件.故答案为：A.【点睛】本题考查充分条件、必要调价的判断，考查不等式与不等关系，属于基础题.4、A【解析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的坐标表示公式、充分性、必要性的定义进行求解判断即可.详解】当时，有，显然由，但是由不一定能推出，故选：A5、B【解析】根据图象判断的正负，再根据极值的定义分析判断即可【详解】由，得，令，由图可知的三个根即为与的交点的横坐标，当时，，当时，，即，所以为的极大值点，为的极大值，当时，，即，所以为的极小值点，为的极小值，故选：B6、A【解析】把点代入椭圆方程得，写出椭圆顶点坐标，计算四边形周长讨论它取最小值时的条件即得解.【详解】依题意得，椭圆的四个顶点为，顺次连接这四个点所得四边形为菱形，其周长为，，当且仅当，即时取“=”，由得a2=12，b2=4，所求标准方程为.故选：A【点睛】给定两个正数和(两个正数倒数和)为定值，求这两个正数倒数和(两个正数和)的最值问题，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.7、B【解析】求出小明等车时间不超过5分钟能乘上车的时长，即可计算出概率.【详解】6:40至7：10共30分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分钟，所以所求概率为.故选：B8、B【解析】求得导函数，则，计算即可得出结果.【详解】,.,解得：.故选：B9、C【解析】可分为女教师0人，男教师3人和女教师1人，男教师2人两种情况，用组合数表示计算即得解【详解】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人若女教师为0人，则男教师有3人，有种选择；若女教师为1人，则男教师2人，有种选择；故女教师最多为1人的选法种数为种故选：C10、A【解析】设小时后，相遇地点为，在三角形中根据题目条件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【详解】以缉私艇为原点，建立如下图所示的直角坐标系.图中走私船所在位置为，设缉私艇追上走私船的最短时间为，相遇地点为.则，走私船以的速度向北偏东30°的方向逃窜，60°.因为20min后缉私艇才以的速度开始追赶走私船，所以20min走私船行走了，到达.在三角形中，由余弦定理知：，则，所以.在三角形中，，，有：，化简得：，则.缉私艇追上走私船只的最短时间为1h.故选：A.点睛】11、B【解析】由数量积的坐标运算求得，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：根据题意可得，、，所以，令，由约束条件作出可行域如下图所示，由得，即，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为，即，所以故选：B12、B【解析】由题意得到，根据等比数列的性质得到，化简，即可求解.【详解】由，是函数的两个不同零点，可得，根据等比数列的性质，可得则.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用古典概型的概率计算公式即得.【详解】依题意，记抛掷两颗骰子向上的点数分别为，，则可得到数组共有组，其中满足的组数共有6组，分别为，，，，，，因此所求的概率等于.故答案为：.14、【解析】先求出，再利用二倍角公式求的值.【详解】因为为第二象限角，若，所以.所以.故答案为【点睛】本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15、【解析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后求出欧拉线的方程作答.【详解】因的顶点，，，则的重心，显然的外心在线段AC中垂线上，设，由得：，解得：，即点，直线，化简整理得：，所以欧拉线的方程为.故答案：16、②③【解析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②③；由空间中平面与平面的位置关系判断④【详解】①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；②根据线面垂直的性质知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故正确；③由线面垂直的性质知：若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行，故正确④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，这两个平面相交或平行，故错误.其中所有正确命题的序号为②③故答案为：②③三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）4（2）【解析】（1）根据纯虚数，实部为零，虚部不为零列式即可；（2）根据第三象限，实部小于零，虚部小于零，列式即可.【小问1详解】因为为纯虚数,所以解得或，且且综上可得,当为纯虚数时;【小问2详解】因为在复平面内对应的点位于第三象限,解得或，且即,故的取值范围为.18、（1）；（2）.【解析】(1)易知为真命题，根据且命题的真假可知为假命题，结合函数零点与对应方程的根之间的关系得出，解不等式即可；(2)根据一元二次不等式的解法可得和，结合必要不充分条件的概念可得，利用集合与集合之间的关系即可得出答案.【详解】解：（1）对于：所有的非负整数都是自然数，显然正确.因为为假，所以为假.所以“函数没有零点”为真，所以，解得.所以实数的取值范围是.（2）对于：，解得或.对于，不等式的解集为，因为是的必要不充分条件，所以所以或，所以或，所以实数的取值范围是.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据线面垂直的判定定理证出平面，即可证得；（2）以A为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式即可求出【小问1详解】如图，连接，由已知可得四边形是正方形，所以在直三棱柱中，平面平面，交线为，在中，可知，所以平面，于因为，所以平面，而平面，所以【小问2详解】如图所示，以A为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，于是设平面的法向量为，则，可取而平面的一个法向量为，所以故平面与平面所成锐二面角的余弦值为20、（1）；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）根据题意，列出的方程组，解得，则椭圆方程得解；（2）假设存在点满足题意，设出直线的方程，联立双曲线方程，利用韦达定理以及，即可求解.【小问1详解】双曲线的左焦点，其中一条渐近线，则；对双曲线，令，解得，则，解得，故双曲线方程为：.小问2详解】根据（1）中所求可知，假设存在轴上的点满足题意，若直线的斜率不为零，则设其方程为，联立双曲线方程，可得，则，即，此时直线与双曲线交于两点，则，则，即，即，则，此时满足题意；若直线的斜率为零，且过点，此时，满足题意.综上所述，存在轴上的一点满足.【点睛】本题考察双曲线方程的求解，以及双曲线中存在某点满足条件的问题；解决问题的关键是合理转化，利