殊途同归,打造高效课堂

殊途同归，打造高效课堂——记《船有触礁的危险吗》课堂教学与作业反馈九江市同文中学钟敏例题教学是数学课堂教学的一个重要组成部分，是学生学习基础知识、形成基本技能、培养思维能力的重要途径。课本中的例题往往都是编者精挑细选，通过引入一定的生活情境，激发学生学习兴趣，再由教师引导教学达到教学目标的。如何充分的运用课本上的素材，挖掘习题资源的潜能，引导学生“一题多解、一题多用、多题一法”等，凸显蕴涵其中的数学思想、方法。本文以北师大版《数学》九年级上册1.4《船有触礁的危险吗》为例，共同探究课堂教学到底应该给学生什么，才能更好地提高课堂教学的有效性。教材分析本节选取生活中的几个题材：船有触礁的危险吗、小明测塔的高度、改变楼梯的安全性能等，使学生真正体会三角函数在解决问题中的重要作用，提高学生学习数学的兴趣。本节的重点是让学生亲历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用，能够将实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，提高数学的应用意识和解决问题的能力。学生状况分析大部分学生思维活跃，好奇心强，有强烈的求知欲望，平时课堂上学生爱讨论，往往为一个问题争得面红耳赤。有一部分学生喜爱探究，遇到问题总喜欢探个究竟，爱动手摆一摆、试一试，从不同角度去研究；另外还有一部分学生热爱与生产、生活有密切联系的数学问题，应用意识较强，能把较复杂的问题简单化，有一定转化能力；但也有一部分学生学习被动，不能积极主动参与到学习中去，遇到不懂的问题便放下，等别人来解答。教学片断情境问题(多媒体演示)：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛南偏西25°的C处。之后，货轮继续往东航行。你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流。师问：货轮向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?

生答：由A到BC的最短距离决定，根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险。老师讲解:过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC=20海里.设AD=x海里,则因为20．79>10，所以货轮没有触礁的危险。举一反三，学生实践：做一做：如图，小明想测量塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1m。)

老师先解释仰角的概念，比较学习何为俯角。学生讨论计算结果。生A演板：评析：该生做到这里便停了下来，最终没有完成这道题。从解题方法来看，她并未按照老师在前面所展示的例题模式去应用此类问题的方程解法，而是利用BC为未知数，通过两个直角三角形中锐角三角函数的代入求解，方程看上去稍有些复杂，由于无理数的运算不够熟练，该生最终放弃解题。一方面，我们需要表扬该生通过自己的实践找到了正确解题思路，但从另一个角度来说突出了该生的不自信和计算能力差的弱势。用投影仪展示学生B的解答：评析：该生能找到此题与触礁问题的不同之处，从图形上分析出一个为仰角、一个为俯角，三角函数的边转换又分别采用了乘法运算和除法运算。缺点是过程运算较为复杂，对运算能力较差的学生而言是个很大的障碍。投影仪展示学生C的解题思路：利用互余将仰角转化为俯角，再根据触礁问题的方法解决此题。解答：评析：该生非常聪明的在图形中利用互余将仰角转化为俯角，减少了计算量。同时进一步验证了三角函数公式。学生D主动举手讲解他的解题思路：评析：当大伙儿沉静在设未知数，利用三角函数列方程的思维套路中时，该学生很巧妙的发现了特殊角，找到突破口，利用外角定理得出△ABD是一个等腰三角形，在Rt△BCD中，运用正弦值解决问题。此时，该作法赢得大家一片掌声，但必须强调的是，若∠DBC≠2∠A时，此方法无法应用，虽很巧妙，但过于特殊缺乏普遍意义。本节课我们花了半个小时的时间对该题进行讨论，不可否认学生的热情非常高涨，思维方式被有效拓展，从不同的路径经历了探索的乐趣，这种智慧潜能的激发让老师也颇感意外和欣喜。无独有偶，作业反馈时，恰遇到这样一道中考题。作业反馈：（2010年楚雄中考）如图，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测的∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测的∠CBN=70°，求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）。（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70Sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）以下选取了三位学生的作法并加以评析。学生A：过D作DG⊥MN，则DG=CE，DC=GE=50mBE=CEtan20°,AG=DGtan55°=CEtan55°∵AG+GE=AB+BE∴CEtan55°+50=120+CEtan20°CE=评析：该生虽然完成了此题，但辅助线做的并不理想，梯形AECD被拆分成Rt△ADG和矩形GECD。利用线段的等量关系列出方程解决问题。此方法给人的感觉有些复杂，但体现了该学生爱思考，还是值得老师关注的。学生B：过C作CH∥AD，得四边形AHCD为平行四边形∴AH=CD=50，∴HB=120m-50m=70m∵BE=HE=∴HE-BE=HB∴CE（tan55°-tan20°）=70∴CE=评析：该生所做的辅助线不同于学生A。通过平移变换将已知的线段量转化为Rt△CHE中边CH即可，运用新课中触礁问题的解法便可解决此问题。此做法是对新授课内容的很好应用，举一反三能力得到充分体现，值得称赞。学生C：辅助线同学生B，∵∠HCB=∠HBE-∠CHE=35°∴BC=BH=70∴CE=CBtan70°=70tan70°评析：该生细心地发现∠CBE=2∠A，无需列方程，便可直接求出CE的长度。善于总结，活学活用，确实有事半功倍之效。此次作业反馈的质量比较高，其中学生B和学生C的作法较为广泛，大多数同学能正确运用课堂上所教授的方法，正确合理地计算出结果。本来一道较有难度的习题，无需教师精讲，高效率的课堂交流早已使同学们真正掌握了新课的重难点内容，于是课后很顺利地完成了此题。通过此次课堂教学，我深刻的感受到学生的智慧无处不在，通过多种方法的相互比较基础，不仅可以拓宽所有学生的视野，还可以培养学生思维的深刻性以及对问题进行分析、对比和归纳的习惯和能力。殊途真的可以同归，